(1^ semestre, 1^ anno)
Esame: orale
Crediti: 6
Docente: Giulio Casciola
Scopo
Al termine del corso lo studente conosce approfonditamente le proprietà teoriche e computazionali dei principali metodi numerici per le equazioni differenziali ordinarie, e di alcuni metodi numerici avanzati per problemi alle derivate parziali. In particolare, lo studente è in grado di analizzare le proprietà teoriche dei metodi numerici e di valutare criticamente i risultati ottenuti.
Contenuto
Richiami sul calcolo in aritmetica finita, su teoria dell'approssimazione di funzioni, su basi di rappresentazione polinomiale, su soluzione di sistemi lineari;
applicazione di questi concetti alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie: metodi alle differenze finite e di collocazione spettrale.
Approssimazione bivariata di funzioni e soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali: metodi alle differenze finite e di collocazione spettrale.
Spazi di funzioni spline e spline razionali (caso univariato e bivariato), basi locali di rappresentazione (B-spline), valutazione, derivazione, integrazione, strumenti di raffinamento ed elevamento di grado, proprietà di convergenza dell'approssimazione spline.
Interpolazione e approssimazione ai minimi quadrati (discreti e continui) con funzioni spline.
Metodi di collocazione spline e agli elementi finiti per equazioni differenziali ordinarie con condizioni ai bordi;
Approssimazione di forma spline e spline razionale e progettazione di domini curvi.
Metodi di collocazione, agli elementi finiti e IsoGeometric Analysis (IGA) per equazioni
differenziali alle derivate parziali con condizioni ai bordi di un dominio curvo.
Cenno alla generalizzazione di spazi polinomiali e spline a Chebyshevian space.
Il corso prevede una attività di Laboratorio in cui lo studente potrà mettere in pratica e sperimentare i metodi di calcolo proposti.
Testi Consigliati
- N.J.Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, second edition, SIAM, 2002.
- M.J.D.Powell, Approximation theory and methods, Cambridge University Press, 1981.
- C.de Boor, A practical guide to splines, Springer Verlag, 1978.
- L.Piegl, W.Tiller, The NURBS book, 2nd Edition, Springer, 1997.
- J.A.Cottrel, T.J.R.Hughes, Y.Bazilevs, Isogeometric Analysis, John Wiley & Sons, Ltd, 2009.
Orario delle Lezioni
- Le lezioni inizieranno il 27 settembre 2022 con il seguente orario:
lunedì ore 9:00-11:00 Aula Bombelli, dal 7 novembre aula Arzelà
martedì ore 12:00-14:00 Aula Levi (LAB Linux)
venerdì ore 11:00-12:00 Aula Arzelà
Lezioni e Argomenti trattati
- Ma.27/09/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Introduzione e informazioni sul corso (Vedi slide in Download Documenti).
- Ve.30/09/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
Richiami su aritmetica floating point. Insieme dei numeri finiti, unita' di arrotondamento (U),
errore di rappresentazione, errore di calcolo, analisi in avanti e all'indietro, cancellazione
numerica, errore totale, analitico, inerente e algoritmico.
- Lu.3/10/22, ore 9:00-11:00: Aula Bombelli
Errore inerente nella valutazione di
un polinomio nella base canonica e in una generica base (per esempio base di Bernstein).
Calcolo approssimato delle derivate di una funzione (differenze centrate): esempio su formule
a tre punti per derivata prima e seconda.
- Ve.7/10/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
Introduzione al Metodo delle Differenze Finite per equazioni differenziali ordinare del secondo ordine con condizioni al bordo (Dirichlet, Neumann, miste e Robin). Analisi di convergernza: consistenza e stabilità implicano convergenza.
- Lu.10/10/22, ore 9:00-11:00: Aula Bombelli
Ancora su consistenza (errore locale di troncamento), stabilità e convergenza (errore globale).
Un altro problema del secondo ordine con condizioni al bordo di Dirichlet e relativo metodo delle differenze.
Sulle condizioni al bordo. Stima dell'errore nella soluzione numerica.
- Ma.11/10/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Esercitazione 0: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Ambiente e programmazione Matlab ed elaborazione in aritmetica finita.
Sono stati esaminati insieme i primi 4 esercizi e parzialmente il 5^.
- Ve.14/10/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
Altri richiami di CN: interpolazione polinomiale di dati e interpolazione di funzioni.
Errore di interpolazione (E_AN), condizionamento del problema di interpolazione (E_IN);
Base di Lagrange, costante di Lebesgue, distribuzione di punti e risultato di convergenza per opportune ditribuzioni di punti.
- Lu.17/10/22, ore 9:00-11:00: Aula Bombelli
Riprese nozioni sui polinomi di Lagrange di interpolazione,
valutazione mediante I e II forma baricentrica, valutazione delle derivate.
Metodo di Collocazione Spettrale per l'approssimazione di equazioni differenziali con condizioni ai bordi; convergenza; imposizione delle condizioni al bordo.
Suggerito di leggere il paper ''Barycentric Lagrange Interpolation'' (vedi Download Documenti).
- Ma.18/10/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Esercitazione 1: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Metodo delle Differenze Finite per problemi differenziali.
E' stato svolto l'esercizio A., lasciati da fare gli esercizi B. e C., spiegato l'esercizio D.
e lasciati da visionare e provare i relativi script.
- Ve.21/10/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
Introduzione alla teoria dell'approssimazione nel caso multivariato ed in particolare nel caso bivariato;
spazio polinomiale di grado totale n; interpolazione di Lagrange; spazi di Haar e unisolvenza solo nel caso univariato;
base di Lagrange bivariata su una distribuzione di punti ''unisolventi''; costante di Lebesgue e punti ottimali, punti
quasi ottimali, risultati di convergenza.
- Lu.24/10/22, ore 9:00-11:00: Aula Bombelli
Spazio dei polinomi bivariati prodotto tensoriale; valutazione mediante rappresentazione matriciale.
Interpolazione bivariata di Lagrange su griglia rettangolare; esistenza e unicita' dell'interpolante;
distribuzioni quasi ottimali di punti e convergenza.
Interpolazione bivariata in una generica base prodotto tensoriale su griglia di punti; due approcci matriciali.
- Ma.25/10/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Ripresa l'Esercitazione 1 e riguardati insieme gli esercizi B., C. e D.
Esercitazione 2: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Interpolazione polinomiale e metodo di Collocazione per problemi differenziali.
Iniziato l'esercizio A., lasciato come compito di guardare lo script relativo e leggere il paper
di Berrut e Trefethen citato nell'esercitazione.
- Ve.28/10/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
Metodo di Collocazione e metodo delle Differenze Finite per PDEs del secondo ordine lineari.
- Lu.31/10/22, ore 9:00-11:00: Aula Levi
Ripresa l'Esercitazione 2: svolti gli esercizi A., B. e D.; sono da svolgere autonomamente gli esercizi C., E. ed F.
- Ve.4/11/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
Ripreso il metodo delle Differenze Finite per PDEs.
Migliore approssimazione polinomiale e teorema di Jackson; cenno ai polinomi a tratti e alle funzioni spline.
- Lu.7/11/22, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
Partizione nodale, polinomi a tratti e funzioni spline polinomiali; spline polinomiali a nodi multipli. Base delle potenze troncate.
Partizione nodale estesa, formula ricorrente per funzioni B-spline Normalizzate, esempi.
- Ma.8/11/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Ripresa Esecitazione 2.
Esercitazione 3: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Metodi di Collocazione e Differenze Finite per problemi differenziali alle derivate parziali con condizioni ai bordi.
Presentata l'esercitazione e svolti gli esercizi A e B; iniziato l'esercizio C. e lasciato da completare in autonomia,
così come gli esercizi D. ed E.
- Ve.11/11/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
EGSolutions. Dr.ssa Dal Santo: hypsocad: un software Dentale.
- Lu.14/11/22, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
Lezione Annullata
- Ma.15/11/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Lezione Annullata
- Ve.18/11/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
Lezione Annullata
- Lu.21/11/22, ore 9:00-11:00: Aula Vitali (lezione a distanza)
Riprese funzioni spline, formula ricorrente per B-spline ed
esempio di spazio spline a nodi multipli e rappresentazione grafica delle funzioni B-spline;
proprietà.
Identita' di Marsden e Identita' derivate; rappresentazione B-spline della base polinomiale canonica.
Lineare indipendeza della funzioni B-spline.
Condizionamento della base delle funzioni B-spline.
Metodi di valutazione funzioni spline: algoritmo 1 su formula ricorrente
delle funzioni B-spline. Algoritmo 2 su formula ricorrente sui coefficienti della rappresentazione spline.
Valutazione delle derivate; derivata destra e formula ricorrente.
Espressione della derivata destra: formula sui coefficienti; derivate di ordine superiore; primitiva di funzioni spline e valore dell'integrale di B-spline Normalizzate.
- Ma.22/11/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Esercitazione 4: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Funzioni Spline e B-spline.
Presentata l'esercitazione e svolti gli esercizi A, B (lasciato da fare main per stima dell'ordine di convergenza), C. e D.
- Ve.25/11/22, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
Ordine di approssimazione spline e spline derivate per caso univariato.
Esempio su VDSA (Variation Diminishing Spline Approximation).
Funzioni spline bivariate (prodotto tensoriale), spazio spline prodotto tensoriale, base B-spline bivariata, proprieta'.
Ordine di approssimazione spline per caso bivariato.
Interpolazione di Lagrange ed Hermite; esempi di interpolazione con spline lineari e cubiche
di Hermite e bound di approssimazione.
Risultati su zeri isolati di funzioni spline.
- Ve.25/11/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
DevDept Software srl: Dr. Spagnuolo: Fondamenti di matematica per il CAD.
- Lu.28/11/22, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
Condizioni di Schoenberg-Whitney per l'esistenza e l'unicità dell'interpolazione spline
Scelta dei nodi secondo 'de Boor' per spline di grado generico (not-a-knot nel caso cubico);
scelta dei punti di interpolazionen secondo Greville.
Spline cubiche di interpolazione con condizioni di 'derivate agli estremi', 'naturale' e 'periodica'.
Proprieta' integrale di minimo; xrdine di convergenza delle spline cubiche di interpolazione con 'derivate agli estremi',
'naturale' e 'periodica' per funzioni C^4 in [a,b].
- Ma.29/11/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Esercitazione 5: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Interpolazione Spline e Collocation.
Presentata l'esercitazione. Esaminati gli esercizi A e lasciato da completare l'es. A3; svolto l'esercizio B1
e lasciati da fare gli esercizi B2 e B3.
- Ve.2/12/22, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
Richiami su norme e prodotti interni (vedi dispensa Approssimazione Polinomiale). Migliore approssimazione, esistenza e unicità in norma 2 indotta. Sistema delle equazioni normali. Approssimazione spline minimi quadrati discreti.
- Lu.5/12/22, ore 9:00-11:00: Aula Vitali
Approssimazione spline minimi quadrati continui.
Metodo Least Square Collocation per problemi differenziali lineari (caso continuo e discreto). Operatore differenziale simmetrico e definito positivo. Prodotto interno e norma dell'energia.
Metodo di Rayleigh-Ritz/Galerkin (metodo agli elementi finiti) per approssimare la soluzione
di un problema differenziale nel senso dei minimi quadrati nella norma dell'energia.
Esempio di operatore differenziale lineare simmetrico e definito positivo e soluzione di un problema
differenziale associato con spazio spline;
- Ma.6/12/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Esercitazione 6: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Approssimazione spline Least Square, Least Square Collocation, metodo Rayleigh-Ritz/Galerkin.
- Ve.9/12/22, ore 9:00-10:00: Aula Arzelà
Semplice analisi dell'errore del metodo di Rayleigh-Ritz/Galerkin/FEM su un esempio con spline cubiche; generalizzazione a soluzioni meno regolari e a spline meno regolari (spline lineari a tratti); ordine di approssimazione alla soluzione anche in questi casi.
- Lu.12/12/22, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
Funzioni NURBS univariate; spazio NURBS, RB-spline e proprieta'.
Funzioni NURBS bivariate; spazio ed RB-spline bivariate non prodotto tensoriale.
Funzioni vettoriali spline/NURBS univariate; approssimazione di forma; proprieta'.
Applicazione dell'interpolazione spline per funzioni vettoriali (curve 2D, 3D, parametrizzazione della corda).
Curve NURBS e rappresentazione di coniche (arco di circonferenza e circonferenza a 9 punti).
- Ma.13/12/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Esercitazione 7: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Curve e Superfici spline/NURBS e progettazione/ricostruzione di forme 2D.
Svolti insieme gli esercizi A, B1.1, B1.2, B1.3, B2.1, B2.2, B2.4, lasciati da fare gli altri, ed in particolare gli esercizi C1 e C2.
- Ve.16/12/22, ore 11:00-13:00: Aula Levi (Lab Linux)
Ripresa e completata l'Esercitazione 7; svolto l'esercizio C1 e l'esercizio D1.
Funzioni vettoriali spline/NURBS bivariate; isocurve e curve di bordo.
Progettazione di superfici da curve: ruled, revolved e Coons.
Esempi di superfici piane 2D (domini curvi).
Esercitazione 8-9: vedi testo e materiale in 'Download Materiale LAB'.
Svolto l'esercizio A.
Metodi per la soluzione di PDEs su domini curvi utilizzando il concetto di IGA (IsoGeometric Analysis).
- Lu.19/12/22, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
Geometry Mapp (geometria del dominio curvo) definito da spline bivariata 2D.
Funzioni scalari su domini curvi. Funzioni spline scalari su domini curvi, geometry map 1-1
(concetto isoparametrico e IGA (IsoGeometric Analysis)).
Interpolazione spline di funzioni scalari bivariate su domini curvi.
Knot-Instertion (KI): relazione fra basi B-spline degli spazi spline prima e dopo knot-insertion.
Applicazione del KI per valutazione spline e suddivisione;
Degree-Elevation (DE): algoritmo di DE a tre passi; introduzione ai tool h-, p- e k-refinement;
- Ma.20/12/22, ore 12:00-14:00: Aula Levi (Lab Linux)
Ripresa e completata l'Esercitazione 8-9. Svolti gli esercizi B, C2 e poi C1; lasciati da svolgere autonomamente gli esercizi D. Analizzati gli ordini di approssimazione dei metodi IGA-Elementi Finiti e IGA-Collocazione.
Fine delle Lezioni
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Modalità d'Esame