Contenuto
Richiami sul calcolo in aritmetica finita, su teoria dell'approssimazione di funzioni, su basi di rappresentazione polinomiale, su soluzione di sistemi lineari;
applicazione di questi concetti alla soluzione di equazioni differenziali ordinarie: metodi alle differenze finite e collocazione spettrale.
Approssimazione bivariata di funzioni e soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali: metodi alle differenze finite e collocazione spettrale.
Spazi di funzioni spline e spline razionali (caso univariato e bivariato), basi locali di rappresentazione (B-spline), valutazione, derivazione, integrazione, strumenti di raffinamento ed elevamento di grado, proprietà di convergenza dell'approssimazione spline.
Interpolazione e approssimazione ai minimi quadrati (discreti e continui) con funzioni spline.
Metodi di collocazione spline e agli elementi finiti per equazioni differenziali ordinarie con condizioni ai bordi;
Approssimazione di forma spline e spline razionale e progettazione di domini curvi.
Metodi di collocazione, agli elementi finiti e IsoGeometric Analysis (IGA) per equazioni differenziali alle derivate parziali con condizioni ai bordi di un dominio curvo.
Il corso prevede una attività di Laboratorio in cui lo studente potrà mettere in pratica e sperimentare i metodi di calcolo proposti.

Testi Consigliati

• N.J.Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, second edition, SIAM, 2002.
• M.J.D.Powell, Approximation theory and methods, Cambridge University Press, 1981.
• R.J.LeVque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM, 2007.
• M.S.Gockenbach, Understanding and Implementing the Finite Element Method, SIAM, 2006
• L.Piegl, W.Tiller, The NURBS book, 2nd Edition, Springer, 1997.
• J.A.Cottrel, T.J.R.Hughes, Y.Bazilevs, Isogeometric Analysis, John Wiley & Sons, Ltd, 2009.
• C.de Boor, A practical guide to splines, Springer Verlag, 1978.

• Le lezioni inizieranno il 18 settembre 2023 con il seguente orario:
  
  lunedì ore 9:00-11:00 Aula Arzelà o Levi
  martedì ore 14:00-16:00 Aula Bombelli
  venerdì ore 11:00-12:00 Aula Arzelà

• Lu.18/09/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Introduzione e informazioni sul corso (Vedi slide in "Download Documenti").
• Ma.19/09/23, ore 14:00-16:00: Aula Bombelli
  Richiami su aritmetica floating point: insieme dei numeri finiti, unita' di arrotondamento (U), errore di rappresentazione, errore di calcolo, analisi in avanti e all'indietro, cancellazione numerica, errore totale, analitico, inerente e algoritmico. Esempio: errore inerente nella valutazione polinomiale nella base canonica e in una generica base (per esempio base di Bernstein).
• Ve.22/09/23, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
  Problema differenziale nel continuo, discretizzazione del problema continuo ovvero metodo numerico. Errore, raffinamento della discretizzazione, schema di discretizzazione e parametro di discretizzazione. Convergenza, consistenza e stabilità. Teorema fondamentale dell'analisi numerica.
• Lu.25/09/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Calcolo approssimato delle derivate di una funzione (differenze centrate): esempio su formule a tre punti per derivata prima e seconda.
  Metodo delle Differenze Finite per equazioni differenziali ordinare del secondo ordine con condizioni al bordo (Dirichlet, Neumann, miste e Robin). Teorema di convergenza a due passi: consistenza e stabilità implicano convergenza.
• Ma.26/09/23, ore 14:00-16:00: Aula Bombelli
  Esercitazione 0: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB". Ambiente e programmazione Matlab ed elaborazione in aritmetica finita.
  Questa esercitazione ha come obiettivo riprendere dimestichezza con l'ambiente Matlab e con l'elaborazione in aritmetica floating point. Sono stati esaminati insieme i primi esercizi e visionati velocemente gli ultimi tre.
• Ve.29/09/23, ore 11:00-12:00: Aula Arzelà
  Un altro problema del secondo ordine con condizioni al bordo di Dirichlet e relativo metodo delle differenze. Gestione delle condizioni al bordo di Neumann e Robin.
• Lu.2/10/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Richiami su interpolazione polinomiale di dati e interpolazione di funzioni. Errore di interpolazione (E_AN), condizionamento del problema di interpolazione (E_IN); Base di Lagrange, costante di Lebesgue, distribuzione di punti e risultato di convergenza per opportune ditribuzioni di punti.
  Sui polinomi base di Lagrange di interpolazione, valutazione mediante I e II forma baricentrica, valutazione delle derivate nei punti.
• Ma.3/10/23, ore 14:00-16:00: Aula Bombelli
  Esercitazione 1: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB". Sul Metodo delle Differenze Finite.
  E' stato svolto l'esercizio A., lasciati da fare gli esercizi B. e C., spiegato l'esercizio D (lasciati da visionare e provare i relativi script).
• Lu.9/10/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Riprese le cose più importanti sull'interpolazione polinomiale viste la settimana scorsa.
  Metodo di Collocazione Spettrale per l'approssimazione di equazioni differenziali con condizioni ai bordi; convergenza; imposizione delle condizioni al bordoi, sistemi lineari associati.
  Introduzione alla teoria dell'approssimazione nel caso multivariato ed in particolare nel caso bivariato; spazio polinomiale di grado totale n; interpolazione polinomiale, unisolvenza e distribuzione dei punti; base di Lagrange bivariata su una distribuzione di punti ''unisolvente'', interpolante nella base di Lagrange. Coordinate baricentriche e base di Bernstein a grado totale n su triangolo (caso bivariato).
• Ma.10/10/23, ore 14:00-16:00: Aula Bombelli
  Esercitazione 2: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB". Su Interpolazione polinomiale e metodo di Collocazione per equazioni differenziali ordinarie con condizioni ai bordi.
  E' stato svolto l'esercizio A., introdotti gli esercizi B. e C., svolto l'esercizio D e lasciato da completare meglio sia il punto D.1 che D.2. Lasciati gli esercizi E. ed F.
• Lu.16/10/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Ripreso spazio dei polinomi multivariato a grado totale; costante di Lebesgue e punti ottimali, punti quasi ottimali, risultati di convergenza.
  Spazio dei polinomi bivariati prodotto tensoriale; valutazione in un punto e in una griglia rettangolare di punti mediante rappresentazione matriciale. Interpolazione bivariata di Lagrange su griglia rettangolare ... (la lezione è stata interrrotta per allarme antincendio).
• Ma.17/10/23, ore 14:00-16:00: Aula Bombelli
  Ripresa interpolazione bivariata di Lagrange su griglia rettangolare; esistenza e unicita' dell'interpolante; distribuzioni quasi ottimali di punti e convergenza. Interpolazione bivariata in una generica base prodotto tensoriale su griglia rettangolare; due approcci.
  Metodo di Collocazione per PDEs del secondo ordine lineari (equazione di Poisson con condizioni di Dirichlet omogenee).
• Lu.23/10/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Metodo delle Differenze Finite per PDEs del secondo ordine lineari.
  Migliore approssimazione polinomiale e teorema di Jackson; motivazione per polinomi a tratti e spline.
  Partizione nodale, definizione di polinomi a tratti, spline polinomiali e spline polinomiali a nodi multipli. Dimensione dello spazio spline a nodi multipli. Partizione nodale estesa per base B-spline.
• Ma.24/10/23, ore 14:00-16:00: Aula Bombelli
  Esercitazione 3: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB". Sui metodi di Collocazione e Differenze Finite per PDEs con condizioni ai bordi.
  Ripresa Esercitazione 2 e vista la soluzione D.1. Esercitazione 3: visti gli esercizi A, B, C (lasciato da fare script main su convergenza), D (lasciato da fare script mai su convergenza), F (lasciato da modificare codice per interpolazione bivariata a grado totale).
• Lu.30/10/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Formula ricorrente per funzioni B-spline, esempi. Prime proprietà (supporto locale, non negative). Identita' di Marsden e rappresentazione B-spline della base polinomiale canonica. Lineare indipendeza della funzioni B-spline. Altre proprietà. Condizionamento della base delle funzioni B-spline.
• Ma.31/10/23, ore 14:00-16:00: Aula Bombelli
  Metodi di valutazione funzioni spline: algoritmo 1 schema triangolare sulle funzioni B-spline. Algoritmo 2 (de Boor) schema triangolare sui coefficienti della rappresentazione spline. Valutazione delle derivate; derivata destra e formula ricorrente. Espressione della derivata destra: formula sui coefficienti; derivate di ordine superiore; primitiva di funzioni spline e valore degli integrali delle B-spline. Ordine di approssimazione spline e spline derivate (caso univariato); ordine di approssimazione per metodi spline, esempio metodo VDSA (Variation Diminishing Spline Approximation).
• Lu.6/11/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Funzioni spline bivariate (prodotto tensoriale), spazio spline prodotto tensoriale, base B-spline bivariata, proprieta'. Ordine di approssimazione spline per caso bivariato. Cenno a spline bivariate (grado totale) su triangolazione.
  Interpolazione spline (di Lagrange). Zeri isolati di funzioni spline e risultati. Esistenza e unicità dell'interpolazione spline; condizioni di Schoenberg-Whitney.
• Ma.7/11/23, ore 14:00-16:00: Aula Bombelli
  Esercitazione 4: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB". Funzioni Spline e B-spline.
  Scaricate e installate le librerie an_spline_lib e geoPDEs e realizzato script add_path; visti gli esercizi A e B e su quest'ultimo fatto insieme script main per ordine convergenza, spiegati gli esercizi C e D e lasciato da fare script main su convergenza. Con riferimento all'Esercitazione 3, ripreso esercizio F su interpolazione bivariata a grado totale.
• Lu.13/11/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Migliore approssimazione, esistenza e unicità in norma indotta da un prodotto interno (norma 2). Sistema delle equazioni normali. (vedi dispensa Approssimazione Polinomiale in "Download Documenti").
  Spline di approssimazione nel senso dei minimi quadrati discreti e continui. Metodo Least Square Collocation per problemi differenziali lineari (caso continuo e discreto).
• Ma.14/11/23, ore 14:00-16:00: Aula Arzelà
  Esercitazione 5: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB".
  Interpolazione spline e collocation; visti gli esercizi A.1, A.2 e B.1, descritti gli esercizi opzionali A.3 e A.4, lasciato da provare B.2; spiegati il C.1 e il D.1. (vedi anche slide "spline.pdf" in Download Documenti)
• Lu.20/11/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Operatore differenziale simmetrico e definito positivo. Prodotto interno e norma dell'energia. Metodo di Rayleigh-Ritz/Galerkin/agli elementi finiti per approssimare la soluzione di un problema differenziale nel senso dei minimi quadrati nella norma dell'energia. Esempio di problema del secondo ordine con condizioni al bordo omogenee; verifica che l'operatore differenziale lineare è simmetrico e definito positivo e soluzione del problema in uno spazio spline cubico; analisi dell'errore.
• Ma.21/11/23, ore 14:00-16:00: Aula Arzelà
  Ripresa stima dell'errore del metodo di Rayleigh-Ritz/Galerkin/FEM su un esempio con spline cubiche; generalizzazione a soluzioni meno regolari e a spline meno regolari (spline lineari a tratti); ordine di approssimazione alla soluzione anche in questi casi.
  Funzioni NURBS univariate; spazio NURBS, RB-spline e proprieta'. Funzioni NURBS bivariate; spazio ed RB-spline bivariate non prodotto tensoriale.
• Lu.27/11/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Curve e superfici spline/NURBS; curve spline: approssimazione di forma; proprieta'. Applicazione dell'interpolazione spline per funzioni vettoriali (curve 2D, 3D, parametrizzazione della corda). Curve NURBS: rappresentazione di coniche (arco di circonferenza e circonferenza a 9 punti). Superfici spline/NURBS: spline/NURBS bivariate; isocurve e curve di bordo; progettazione di superfici da curve: extruded, ruled, revolved; progettazione/ricostruzione di forme 2D.
• Ma.28/11/23, ore 14:00-16:00: Aula Arzelà
  Esercitazione 6: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB".
  Approssimazione Spline, Least Square Collocation e Ritz-Galerkin. Descritti tutti gli esercizi; visto l'esercizio B, e i primi due esempi dell'esercizio C. (per l'esercizio C vedere la dispensa "Introduzione a Metodi per Equazioni Differenziali" in Download Documenti)
• Lu.4/12/23, ore 9:00-10:00: Aula Arzelà
  Ancora su progettazione di superfici da curve: superficie di Coons (Bilinerly Blended Coons Patch); Progettazione di domini curvi mediante superfici spline/NURBS 2D (trasformazione isoparametrica); funzioni scalari su domini curvi.
• Lu.4/12/23, ore 10:00-11:00: Aula Arzelà
  Dr.ssa Stefania Dal Santo, EGSolutions srl, hypsocad: un software Dentale.
• Ma.5/12/23, ore 14:00-16:00: Aula Arzelà
  Esercitazione 7: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB".
  Curve e Superfici spline/NURBS e progettazione/ricostruzione di forme 2D.
  Visti gli esercizi A.1.1, A.1.2, A.1.3, A.2.1, A.2.2, A.2.3 (lasciato da completare il revolve). Proseguiremo la prossima esercitazione di LAB.
• Lu.11/12/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Funzioni spline scalari su domini curvi, geometry map 1-1 (concetto isoparametrico) e IGA (IsoGeometric Analysis)).
  Knot-Instertion (KI): relazione fra basi B-spline degli spazi spline prima e dopo KI; relazione fra i coefficienti spline prima e dopo KI. Applicazione del KI per valutazione spline e suddivisione; Degree-Elevation (DE): algoritmo di DE a tre passi; introduzione ai tool h-, p- e k-refinement;
• Ma.12/12/23, ore 14:00-16:00: Aula Arzelà
  Ripresa l'Esercitazione 7; svolti insieme gli esercizi A.2.3, A.2.4, B1.1, lasciato da fare il B.2, visto insieme C.1 e lasciato da fare C.2.
  Esercitazione 8: vedi testo e materiale in "Download Materiale LAB".
  IGA Collocation e IGA Elementi Finiti (GeoPDEs) su domini curvi.
  Svolti gli esercizi A e B; proseguiremo la prossima lezione di LAB.
• LU.18/12/23, ore 9:00-11:00: Aula Arzelà
  Ancora su Esercitazione 8 (IGA Collocation e IGA Elementi Finiti su domini curvi).
  Soluzione di PDEs su domini curvi utilizzando il concetto di IGA (IsoGeometric Analysis).
  Visto insieme l'esercizio D.2 per imaparare a utilizzare il package GeoPDEs, visti altri esempi sempre con GeoPDEs. Sperimentato l'ordine di approssimazione del metodo IGA-Elementi Finiti.
  
  Fine delle Lezioni

• Slide: Introduzione al corso (file .pdf)
• Documento: Introduzione al corso (file .pdf)
• Paper: ''The Bernstein polynomial basis: a centennial retrospective'' (file .pdf)
• Dispensa: Introduzione a Metodi per Equazioni Differenziali (file .pdf)
• Slide: Matlab_built_in.pdf su funzioni utili in Matlab (file pdf)
  
• Dispensa: Approssimazione Polinomiale (file .pdf)
• Paper: ''Barycentric Lagrange Interpolation'' (file .pdf)
• Dispensa: Funzioni Spline e NURBS (file .pdf)
• Slide: Matlab_Grafici.pdf su funzioni grafiche 2D e 3D in Matlab (file pdf)
  
• Slide: spline.pdf Risultati su Funzioni Spline (file pdf)
  
• Dispensa: Curve e Superfici Spline/NURBS (file .pdf)
• Slide: Curve e Superfici spline/NURBS: toolbox-nurbs (file .pdf)
• Paper: ''Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement'' (file .pdf)

• Esercitazione 0: LAB0_num_finiti.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB0.zip (semplici script e function Matlab per Esercitazione 0)
  
• Esercitazione 1: LAB1_finite_diff.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB1.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 1)
  
• Esercitazione 2: LAB2_interp_colloc.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB2.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 2)
  
• Esercitazione 3: LAB3_bivariato.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB3.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 3)
  
• Esercitazione 4: LAB4_toolbox.pdf (file .pdf)
• an_spline_lib.zip (libreria di funzioni Matlab per spline)
  
• anmat_LAB4.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 4)
  
• Esercitazione 5: LAB5_spline_interp_colloc.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB5.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 5)
  
• Esercitazione 6: LAB6_spline_ls_colloc_galerkin.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB6.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 6)
  
• Esercitazione 7: LAB7_spline_nurbs.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB7.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 7)
  
• Esercitazioni 8: LAB8_curvdom_IGA_COLL_FEM.pdf (file .pdf)
• anmat_LAB8.zip (funzioni e script Matlab per Esercitazione 8)
  
• P_cube.txt.zip (file dati mancante per l'Esercitazione 8)
  

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• CAE - Wikipedia
• SCIVIS - Wikipedia
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• Coefficienti del metodo delle differenze finite (wikipedia-it)
• Finite difference coefficient (wikipedia-en)

• Vedi: modalità d'esame