Calcolo Numerico (C.d.S. Informatica (L)) A.A.2012/13
(1^ semestre, 2^ anno)
Esame: orale
Crediti: 6
Docente: Giulio Casciola
Scopo
Dare i fondamenti del calcolo numerico.
Contenuto
Numeri finiti e aritmetica floating point;
funzioni polinomiali; interpolazione e approssimazione minimi quadrati;
integrazione numerica; equazioni non lineari;
sistemi lineari: metodi diretti e metodi iterativi; calcolo degli
autovalori e autovettori di una matrice;
Il corso prevede un'attività di laboratorio (facoltativa)
in cui si utilizza il sistema MATLAB/Octave.
Testi Consigliati
- R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici,
Zanichelli (1992)
- J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisysy,
(second edition) Springer Verlag (1997)
Altri testi in italiano
- V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni,
McGraw-Hill Libri Italia, (1995)
- I. Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
- F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II,
Pitagora Editrice Bologna (1985)
Orario delle Lezioni
- Le lezioni inizieranno il 24 settembre 2012 con il seguente orario:
Mercoledi' ore 11:30-13:30 Aula Ercolani 1
Giovedi' ore 15:30-18:30 Aula Ercolani 1
Lezioni e Argomenti trattati
- Me.26/09/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Slide: Introduzione e informazioni sul corso (vedi lucidi).
(file .pdf)
Dispensa:
I Numeri Finiti e l'Aritmetica Floating Point.
(file .pdf)
Numeri Finiti
Richiami sui numeri reali, rappresentazione in base, forma scientifica o normalizzata.
Insieme F dei numeri finiti: base, mantissa, range degli esponenti;
Approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento.
Rappresentazione di un numero reale nell'insieme dei numeri finiti.
- Gi.27/09/12, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 1
Esempio: determinare e posizionare sull'asse reale gli elementi di F(2,3,-1,2);
considerazioni sulla distribuzione dei numeri finiti sull'asse reale;
memorizzazione dei numeri finiti (segno, esponente e mantissa); esempi.
ANSI/IEEE Std 754-1985: formati Basic-Single e Basic-Double, NaN, infinity, gradual underflow,
arrotondamento ai pari.
Esercitati su conversione e rappresentazione in memoria.
Esempio: dato F(2,4,-3,4) rappresentare in memoria il numero reale in base 10, -13.9;
fare il procedimento opposto per produrre in output quanto memorizzato.
esercizio1:
ripetere l'ultimo esempio con F(2,3,-7,8) per -13.9.
Definizione di errore assoluto e relativo.
Teorema di maggiorazione dell'errore assoluto, definizione di unita' di arrotondamento,
teorema di maggiorazione dell'errore relativo, corollario sulla rappresentazione di fl(a);
- Me.03/10/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Aritmetica floating point: precisione di calcolo fra numeri finiti;
caratterizzazione dell'unita' di arrotondamento;
caratterizzazione di u nel caso di arrotondamento ai pari in ANSI/IEEE Std 754.
esercizio2:
verificare che in aritmetica finita non vale la proprieta' associativa dell'addizione.
esercizio3:
realizzare un piccolo codice di calcolo per sommare il numero reale 0.1 10 volte;
verificare l'attendibilita' del risultato.
esercizio4:
realizzare un piccolo codice di calcolo per determinare l'unità di
arrotondamento utilizzando la sua caratterizzazione.
Analisi degli errori in avanti e all'indietro.
Analisi in avanti per la moltiplicazione di due numeri reali,
analisi in avanti per l'addizione di due reali, cancellazione numerica.
Esempio numerico sulla cancellazione numerica.
- Me.10/10/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo:
Errore Inerente, Algoritmico e Totale, teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG.
Numero di condizione e stima di E_IN nel caso di problemi del tipo f:R->R,
f:R^n->R (ed f:R^n->R^m). Algoritmo stabile e instabile.
Esempi sulle operazioni aritmetiche di moltiplicazione e addizione
fra numeri reali; esempio: sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
- Gi.11/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 1
Errore inerente per sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
Esempio sulla determinazione delle radici di un'eq. di secondo grado.
Demo su Octave; visionati alcuni programmi Matlab/Octave
Download:
programmi Matlab/Octave di esempio:
(octave_cn1213_1.tgz)
- Me.17/10/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Dispensa:
Funzioni Polinomiali e Interpolazione.
(file .pdf)
Funzioni Polinomiali e Interpolazione
Richiami sui polinomi, valutazione numerica di
un polinomio: metodo di Horner, metodo di Ruffini.
Valutazione numerica della derivata di un polinomio; esempi numerici.
E_IN per la valutazione di un polinomio: esempio
numerico; stima di E_IN in questo caso. Polinomi nella base con centro.
- Gi.18/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 1
Ripresa base con centro e l'esempio numerico; analisi di E_IN in questa base;
Componente di E_IN che dipende dalla rappresentazione e componente
che non dipende dalla rappresentazione.
Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo;
ripreso esempio numerico nella base di Bernstein;
base dei polinomi di Bernstein nell' intervallo [0,1] e loro invarianza
per traslazione e scala; ripreso l'esempio.
Proprieta' dei polinomi base di Bernstein.
Definizione dei polinomi di Bernstein via formula ricorrente, valutazione numerica,
algoritmo che usa formula ricorrente per funzioni base (ALG1), algoritmo di de
Casteljau (ALG2). Complessita' computazionale per gli algoritmi ALG1 e ALG2.
esercizio5:
Realizzare un codice che implementi uno degli algoritmi visti per la valutazione di
un polinomio definito nella base di Bernstein.
- Me.24/10/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Esempio numerico per la valutazione mediante alg. di de Casteljau.
Formula ricorrente per la derivata dei polinomi base di Bernstein;
valutazione della derivata di un polinomio nella base di Bernstein (de Casteljau);
antiderivata e integrale di polinomi nella base di Berstein.
Sulla suddivisione di polinomi su un intervallo via alg. di de Casteljau.
Introduzione alle curve di Bezier (definizione vettoriale, punti di controllo, poligonale di controllo).
- Gi.25/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 1
Slide: Le Curve di Bezier nel disegno al calcolatore
(file .pdf)
Introduzione al problema dell'interpolazione polinomiale di dati.
Esistenza e unicita' del polinomio interpolante (sistema lineare e matrice di Vandermonde);
interpolazione polinomiale nella base di Newton e Bernstein; esempio numerico.
esercizio5:
Ripetere l'esercizio numerico, ma nella forma di Newton.
- Me.31/10/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Interpolazione nella forma di Lagrange; polinomi elementari di Lagrange; prima e seconda
forma baricentrica. Errore di interpolazione polinomiale.
Sulla convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; esempio test di Runge;
zeri dei polinomi di Chebyshev di grado n+1 e convergenza.
Funzioni di interpolazione polinomiali a tratti.
- Me.07/11/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Interpolazione di Hermite in contrapposizione a interpolazione di Lagrange.
Polinomi a tratti cubici di Hermite di classe C^1 (interpolazione locale);
polinomi a tratti cubici di classe C^2 (spline) (interpolazione globale).
- Gi.08/11/12, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 1
Ancora su polinomi a tratti cubici di classe C^2 (spline).
Un'applicazione: controllo numerico di un robot.
Demo, mediante programmi test in linguaggio Matlab/Octave, sulla convergenza o meno di
interpolanti polinomiali all'aumentare dei punti di interpolazione e dell'interpolazione
polinomiale a tratti locale e globale.
Download:
programmi Matlab/Octave di esempio:
(octave_cn1213_2.tgz)
- Gi.15/11/12, ore 15.30-18.00: Aula Ercolani 1
Approssimazione ai minimi quadrati con polinomi; problema
di determinare il minimo di una funzione quadratica in piu` variabili:
sistema della equazioni normali; caso polinomiale in una base generica.
Retta di regressione lineare nella base monomiale; esempio numerico;
stesso esempio usando la base con
centro 1 e x-c con c media aritmetica delle ascisse assegnate.
Cenno all'utilizzo di polinomi ortogonali sui punti x_i assegnati;
variazione del residuo all'aumentare delle dimesioni dello spazio Pn.
- Me.21/11/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Dispensa:
Integrazione Numerica.
(file .pdf)
Integrazione Numerica
Formule di Quadratura; formule interpolatorie polinomiali nella forma di
Lagrange su punti equidistanti (formule di quadratura di Newton-Cotes);
caso n=1 (trapezi); caso n=2 (Simpson);
errore di integrazione per trapezi e Simpson;
errore di integrazione per n dispari ed n pari.
esempi numerico. Introduzione alle formule composte.
- Gi.22/11/12, ore 15.30-18.00: Aula Ercolani 1
Formule composte interpolatorie;
formule composte dei trapezi ed errore di integrazione; esempio;
formule composte di Simpson ed errore di integrazione; esempio.
Estrapolazione di Richardson e formule
adattive per l'approssimazione numerica di un integrale definito ad una
tolleranza fissata: caso trapezi e Simpson.
Dispensa:
Equazioni non lineari
(file .pdf)
Equazioni non lineari
Metodo di bisezione, ipotesi di applicazione, iterazioni del metodo, test di arresto.
- Me.28/11/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Metodo della falsa posizione.
Metodo di Newton: ipotesi di applicazione,
derivazione del metodo, iterazioni del metodo, significato geometrico; teorema di
convergenza al punto fisso di una funzione; interpretazione grafica del teorema di
convergenza. Teorema di convergenza del metodo di Newton.
Propagazione degli errori nei metodi iterativi funzionali.
- Gi.29/11/12, ore 15.30-18.00: Aula Ercolani 1
Ancora su propagazione degli errori; test di arresto.
Esempi: radice quadrata di un numero, inverso di un numero.
Errore inerente del problema.
Definizione di ordine di convergenza di una successione,
ordine di convergenza del metodo di Newton.
Esempio di applicazione della determinazione delle radici di una
equazione polinomiale: l'intersecatore di POV-Ray per superfici implicite.
Sequenza di Sturm per la localizzazione delle radici reali di un'equazione
polinomiale.
Slide: POVRay (Persistent Of Vision RayTracer)
(file .pdf)
- Me.05/12/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Esempi numerici di applicazione del metodo di Newton.
Metodo delle secanti, teorema di convergenza, ordine di convergenza.
Algebra Lineare Numerica.
(file .pdf)
Algebra Lineare Numerica
Soluzione di un sistema lineare:
Fattorizzazione LU di una matrice, soluzione del sistema a partire
dalla fattorizzazione LU (sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti
e all'indietro).
Fattorizzazione LU di Gauss e matrici elementari, complessita' computazionale.
- Gi.06/12/12, ore 15.30-18.00: Aula Ercolani 1
Esempio di fattorizzazione e soluzione di un sistema lineare.
Applicazione della fattorizzazione per il calcolo del
determinante e dell'inversa di una matrice.
Fattorizzazione LU con scambio delle righe (o pivoting parziale);
un esempio numerico.
Stabilita` numerica della fattorizzazione LU; fattorizzazione LU
con scambio delle righe e perno massimo.
Richiami su norme vettoriali e matriciali.
- Me.12/12/12, ore 11.30-13.30: Aula Ercolani 1
Condizionamento del problema Ax=b.
Soluzione di un sistema lineare mediante fattorizzazione QR.
Matrici elementari di Householder.
Metodo di Householder per fattorizzazione QR.
- Gi.13/12/12, ore 15.30-18.00: Aula Ercolani 1
Esempio numerico; complessita` computazionale; stabilita`.
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari: motivazioni;
decomposizione della matrice e successione di vettori;
convergenza di una successione di vettori.
Teorema di convergenza; condizioni sufficienti per la convergenza.
Test di arresto. Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel.
Applicazione della fattorizzazione QR: soluzione del problema dei
minimi quadrati.
- Gi.20/12/12, ore 15.30-18.00: Aula Ercolani 1
Richiami su: autovalori e autovettori di una matrice;
matrici simili e trasformazioni per similitudine, matrice diagonalizzabile,
teorema di Schur, riduzione a matrici di Hessemberg superiore, metodo QR.
Applicazione: Page Rank di Google.
Fine delle Lezioni.
Documenti
Sitografia
Modalita' d'Esame
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