Calcolo Numerico (C.d.S. Informatica (L)) A.A.2013/14
(1^ semestre, 2^ anno)
Esame: orale
Crediti: 6
Docente: Giulio Casciola
Avviso
E' disponibile la dispensa del corso (vedi Documenti)
Scopo
Dare i fondamenti del calcolo numerico.
Contenuto
Numeri finiti e aritmetica floating point;
funzioni polinomiali; interpolazione e approssimazione minimi quadrati;
integrazione numerica; equazioni non lineari;
sistemi lineari: metodi diretti e metodi iterativi; calcolo degli
autovalori e autovettori di una matrice;
Il corso prevede un'attività di laboratorio (facoltativa)
in cui si utilizza il sistema MATLAB/Octave.
Testi Consigliati
- R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici,
Zanichelli (1992)
- J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisysy,
(second edition) Springer Verlag (1997)
Altri testi in italiano
- V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni,
McGraw-Hill Libri Italia, (1995)
- I.Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
- F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II,
Pitagora Editrice Bologna (1985)
Orario delle Lezioni
- Le lezioni inizieranno il 23 settembre 2013 con il seguente orario:
Lunedi' ore 15:30-17:30 (17:30-18:30 per recupero) Aula Ercolani 2
Mercoledi' ore 16:30-18:30 Aula Ercolani 1
Lezioni e Argomenti trattati
- Lu.23/09/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
Slide: Introduzione e informazioni sul corso (vedi lucidi).
(file .pdf)
Numeri Finiti
Richiami sui numeri reali, rappresentazione in base, forma scientifica o normalizzata.
Numeri Finiti; approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento.
- Me.25/09/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Insieme F dei numeri finiti: base, mantissa, range degli esponenti;
Rappresentazione di un numero reale nell'insieme dei numeri finiti.
Esempio: determinare e posizionare sull'asse reale gli elementi di F(2,3,-1,2);
considerazioni sulla distribuzione dei numeri finiti sull'asse reale;
memorizzazione dei numeri finiti (segno, esponente e mantissa); esempi.
ANSI/IEEE Std 754-1985: formati Basic-Single e Basic-Double, NaN, infinity, gradual underflow,
arrotondamento ai pari.
Esercitati su conversione e rappresentazione in memoria.
Esempio: dato F(2,5,-3,4) rappresentare in memoria il numero reale in base 10, -13.9;
fare il procedimento opposto per produrre in output quanto memorizzato.
- Lu.30/09/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
esercizio1:
Ripetere l'ultimo esempio con F(2,4,-7,8) per -13.9.
Definizione di errore assoluto e relativo.
Teorema di maggiorazione dell'errore assoluto, definizione di unita' di arrotondamento,
teorema di maggiorazione dell'errore relativo, corollario sulla rappresentazione di fl(a);
Aritmetica floating point: precisione di calcolo fra numeri finiti;
in aritmetica finita non valgono le principali proprieta' sulle operazioni aritmetiche;
caratterizzazione dell'unita' di arrotondamento.
- Me.02/10/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Riassunto dei concetti esposti la lezione precedente.
Pseudocodice di calcolo per determinare l'unità di arrotondamento utilizzando la sua caratterizzazione.
Caratterizzazione di u nel caso di arrotondamento ai pari in ANSI/IEEE Std 754.
esercizio2:
Implementare il codice dato in un qualunque linguaggio e verificare il valore calcolato di u.
Analisi degli errori in avanti e all'indietro.
Analisi in avanti per la moltiplicazione di due numeri reali,
analisi in avanti per l'addizione di due reali, cancellazione numerica.
Esempio numerico sulla cancellazione numerica.
- Lu.7/10/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
Condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo:
Errore Inerente, Algoritmico e Totale, teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG.
Numero di condizione e stima di E_IN nel caso di problemi del tipo f:R->R,
f:R^n->R. Esempi sulle operazioni aritmetiche di moltiplicazione e addizione
fra numeri reali; esempio: sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
- Me.09/10/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Errore inerente per sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
Algoritmo stabile e instabile.
Esempio sulla determinazione delle radici di un'eq. di secondo grado.
Slide: Octave/Matlab (vedi lucidi).
(file .pdf)
Demo su Octave; visionati alcuni programmi Matlab/Octave
Download:
programmi Matlab/Octave di esempio:
(octave_cn1314_1.tgz)
- Lu.14/10/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
Funzioni Polinomiali e Interpolazione
Richiami sui polinomi, valutazione numerica di
un polinomio: metodo di Horner, metodo di Ruffini.
Valutazione numerica della derivata di un polinomio; esempi numerici.
Esempio su errore algoritmico.
- Me.16/10/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
E_IN per la valutazione di un polinomio: esempio
numerico; stima di E_IN in questo caso. Polinomi nella base con centro
ed esempio numerico; analisi di E_IN in questa base;
Componente di E_IN che dipende dalla rappresentazione e componente
che non dipende dalla rappresentazione.
Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo;
ripreso esempio numerico nella base di Bernstein;
base dei polinomi di Bernstein nell' intervallo [0,1] e loro invarianza
per traslazione e scala; ripreso l'esempio.
- Lu.21/10/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
Proprieta' dei polinomi nella base di Bernstein.
Definizione dei polinomi di Bernstein via formula ricorrente, valutazione numerica,
algoritmo che usa formula ricorrente per funzioni base (ALG1), algoritmo di de
Casteljau (ALG2). Complessita' computazionale per gli algoritmi ALG1 e ALG2.
esercizio3:
Realizzare un codice per la valutazione di un polinomio nella base di Bernstein
secondo uno degli algoritmi visti e provarlo in laboratorio.
Suddivisione di polinomi su un intervallo via alg. di de Casteljau.
Formula ricorrente per la derivata dei polinomi base di Bernstein;
valutazione della derivata di un polinomio nella base di Bernstein (de Casteljau);
- Me.23/10/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Antiderivata e integrale di polinomi nella base di Berstein.
Introduzione alle curve di Bezier (definizione vettoriale, punti di controllo, poligonale di controllo).
esercizio4:
Determinare il valore dell'integrale definito dei polinomi base di Bernstein in [0,1] e [a,b].
Slide: Le Curve di Bezier nel disegno al calcolatore
(file .pdf)
- Lu.28/10/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
Introduzione al problema dell'interpolazione polinomiale di dati.
Interpolazione alla Lagrange e all'Hermite. Errore analitico nell'interpolazione.
Esistenza e unicita' del polinomio interpolante (sistema lineare e matrice di Vandermonde);
esempi numerici. Interpolazione nella forma di Lagrange; polinomi elementari di Lagrange;
costo computazionale; prima forma di Lagrange.
- Me.30/10/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Seconda forma di Lagrange.
Interpolazione polinomiale nelle basi di Newton e Bernstein; esempi numerici.
Errore Analitico o di interpolazione.
Download:
programmi Matlab/Octave di esempio:
(octave_cn1314_2.tgz)
- Lu.4/11/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
Sulla convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; esempio test di Runge;
zeri dei polinomi di Chebyshev di grado n+1 e convergenza.
Funzioni di interpolazione polinomiali a tratti.
Interpolazione di Hermite in contrapposizione a interpolazione di Lagrange.
Polinomi a tratti cubici di Hermite di classe C^1 (interpolazione locale);
- Me.6/11/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Stima delle derivate da usare nell'interpolazione a tratti cubici di Hermite C^1;
Polinomi a tratti cubici di classe C^2 (spline) (interpolazione globale).
Un'applicazione: controllo numerico di un robot.
Demo, mediante programmi test in linguaggio Matlab/Octave, sulla convergenza o meno di
interpolanti polinomiali all'aumentare dei punti di interpolazione e dell'interpolazione
polinomiale a tratti locale e globale.
- Lu.11/11/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
Approssimazione ai minimi quadrati con polinomi; problema
di determinare il minimo di una funzione quadratica in piu` variabili:
sistema della equazioni normali; caso polinomiale in una base generica.
Retta di regressione lineare nella base monomiale; esempio numerico;
stesso esempio usando la base con
centro 1 e x-c con c media aritmetica delle ascisse assegnate.
- Me.13/11/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Ancora sull'approssimazione ai minimi quadrati: data fitting e applicazioni;
ricerca della soluzione in una sequenza di spazi polinomiali annidati;
cenno all'utilizzo di polinomi ortogonali.
Integrazione Numerica
Formule di Quadratura Interpolatorie; interpolazione polinomiale nella forma di
Lagrange su punti equispaziati in [a,b] (formule di quadratura di Newton-Cotes);
caso n=1 (trapezi); caso n=2 (Simpson).
- Lu.18/11/13, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 2
Errore di integrazione per trapezi e Simpson;
errore di integrazione per n dispari ed n pari;
esempi numerici.
Formule composte interpolatorie;
formule composte dei trapezi ed errore di integrazione; esempio;
formule composte di Simpson ed errore di integrazione; esempio.
Estrapolazione di Richardson e formule
adattive per l'approssimazione numerica di un integrale definito ad una
tolleranza fissata: caso trapezi e Simpson.
Download:
programmi Matlab/Octave di esempio:
(octave_cn1314_3.tgz)
- Me.20/11/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Equazioni non lineari
Metodo di bisezione, ipotesi di applicazione, iterazioni del metodo, test di arresto.
Metodo della falsa posizione. Metodo di Newton: ipotesi di applicazione,
derivazione del metodo, iterazioni del metodo, significato geometrico; metodi di
iterazione funzionale per trovare il punto fisso di una funzione e convergenza;
interpretazione grafica della convergenza.
- Lu.25/11/13, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 2
Teorema di convergenza al punto fisso di una funzione;
Teorema di convergenza del metodo di Newton.
Propagazione degli errori nei metodi iterativi funzionali.
Test di arresto. Errore inerente del problema.
Esempi: radice quadrata di un numero, inverso di un numero.
Esempio di applicazione della determinazione delle radici di una
equazione polinomiale: l'intersecatore di POV-Ray per superfici implicite.
Sequenza di Sturm per la localizzazione delle radici reali di un'equazione
polinomiale.
Slide: POVRay (Persistent Of Vision RayTracer)
(file .pdf)
- Me.27/11/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Definizione di ordine di convergenza di una successione;
ordine di convergenza dei metodi bisezione, falsa posizione e Newton.
Esempi numerici di applicazione del metodo di Newton.
Metodo delle secanti, teorema di convergenza, ordine di convergenza, confronto con Newton.
Algebra Lineare Numerica
Soluzione di un sistema lineare:
Fattorizzazione LU di una matrice, soluzione del sistema a partire
dalla fattorizzazione LU (sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti
e all'indietro).
- Lu.2/12/13, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 2
Fattorizzazione LU di Gauss e matrici elementari, complessita' computazionale.
Esempio di fattorizzazione e soluzione di un sistema lineare.
Applicazione della fattorizzazione per il calcolo del
determinante e dell'inversa di una matrice.
Fattorizzazione LU con scambio delle righe (o pivoting parziale);
un esempio numerico.
Stabilita` numerica della fattorizzazione LU; fattorizzazione LU
con scambio delle righe e perno massimo. Esempi numerici.
- Me.4/12/13, ore 16.30-18.30: Aula Ercolani 1
Richiami su norme vettoriali e matriciali.
Condizionamento del problema Ax=b.
- Lu.9/12/13, ore 15.30-18.30: Aula Ercolani 2
Soluzione di un sistema lineare mediante fattorizzazione QR.
Matrici elementari di Householder.
Metodo di Householder per fattorizzazione QR.
Esempio numerico; complessita` computazionale; stabilita`.
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari: motivazioni;
decomposizione della matrice e successione di vettori;
convergenza di una successione di vettori. Teorema di convergenza.
- Me.11/12/13, ore 16.30-18.30: LEZIONE SOSPESA
- Lu.16/12/13, ore 15.30-17.30: Aula Ercolani 2
Dimostrazione Teorema di convergenza; condizioni sufficienti per la convergenza. Test di arresto. Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel.
Fine delle Lezioni.
Documenti
Sitografia
Modalita' d'Esame
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