Contenuto Numeri finiti, aritmetica floating point, analisi degli errori, condizionamento e stabilita'. Funzioni polinomiali, interpolazione polinomiale e cenno ai polinomi a tratti. Metodi numerici per la risoluzione di un'equaizone non lineare. Metodi diretti per la risoluzione numerica di sistemi lineari. Trasformazioni ortogonali: Householed e Givens. Fattorizzazioni ortogonali: QR e SVD. Risoluzione del problema dei minimi uqadrati. Approssimazione dati ai minimi quadrati. Formule numeriche di quadrature: Newton-Cotes e Gauss-Newton. Metodi numerici per il calcolo di autovalori e autovettori. Il corso prevede un'attività di laboratorio in cui si utilizza il sistema MATLAB.

Testi Consigliati

• V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni, McGraw-Hill Libri Italia, (1995), E-book Apogeonline.
• R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici, Zanichelli (1992)
• J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisysy, (second edition) Springer Verlag (1997)

• Le lezioni inizieranno il 24 settembre 2012 con il seguente orario:
  
  Lunedi' ore 11:00-13:00 Aula Tonelli (o Laboratorio)
  Martedi' ore 09:00-11:00 Aula Tonelli

• Lu.24/09/12, ore 11.00-13.00: Aula Tonelli
  Introduzione e informazioni sul corso (vedi lucidi). (file .pdf)
• Ma.25/09/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Dispensa: I Numeri Finiti e l'Aritmetica Floating Point. (file .pdf)
  Numeri Finiti
  Richiami sui numeri reali, rappresentazione in base, forma scientifica o normalizzata. Insieme F dei numeri finiti: base, mantissa, range degli esponenti; approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento. Rappresentazione di un numero reale nell'insieme dei numeri finiti. Esempio: F(2,3,-1,2); quanti numeri finiti ci sono? come sono disposti sull'asse reale?
  Memorizzazione dei numeri finiti (segno, esponente e mantissa); esempi in F(10,5,-50,49) e in F(2,4,-3,4).
  esercizio1: ripetere l'ultimo esempio fatto in F(2,4,-7,8) sia per troncamento che arrotondamento; riconvertire quanto determinato in base 10 e stimare l'errore assoluto.
• Lu.01/10/12, ore 11.00-13.00: Aula Tonelli
  ANSI/IEEE Std 754-1985: formati Basic-Single e Basic-Double, NaN, infinity, gradual underflow, arrotondamento ai pari.
  Esercitati su conversione e rappresentazione in memoria.
  Definizione di errore assoluto e relativo. Teorema di maggiorazione dell'errore assoluto, unita' di arrotondamento, teorema di maggiorazione dell'errore relativo sulla rappresentazaione. Unita' di arrotondamento in IEEE Basic-Single e Basic-Double, precisione di rappresentazione in termini di cifre decimali.
  Aritmetica floating point: precisione di calcolo fra numeri finiti; caratterizzazione dell'unita' di arrotondamento; caratterizzazione di u nel caso di arrotondamento ai pari in ANSI/IEEE Std 754.
  esercizio2: Verificare numericamente che alcune proprieta' delle operazioni, come l'associativita', non sono valide in aritmetica finita.
  esercizio3: Realizzare un piccolo codice di calcolo per determinare l'unità di arrotondamento utilizzando la sua caratterizzazione.
• Ma.02/10/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Analisi degli errori in avanti e all'indietro. Corollario al teorema sull'errore di maggiorazione dell'errore relativo; Analisi in avanti per la moltiplicazione di due numeri reali; analisi in avanti per l'addizione di due reali, cancellazione numerica. Esempio numerico sulla cancellazione numerica. Problema ben posto, condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo: Errore Analitico, Inerente, Algoritmico e Totale, teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG. Numero di condizione e stima di E_IN nel caso di problemi del tipo f:R->R. Algoritmo stabile e instabile.
• Lu.8/10/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno A (I Esercitazione)
• Ma.09/10/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Stima di E_IN nel caso di problemi f:R^n->R (ed f:R^n->R^m). Esempi sulle operazioni aritmetiche di moltiplicazione e addizione/sottrazione fra numeri reali; esempio per sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1); esempio per la determinazione delle radici di un'eq. di secondo grado.
• Lu.15/10/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno B
  L'esercitazione non ha avuto luogo per sospensione delle attivita' didattiche dell'Ateneo.
• Ma.16/10/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Ripreso problema della determinazione delle radici di un'eq. di secondo grado: stima degli E_IN ed esempio numerico. Introdotta l'esercitazione II che verra' svolta in Laboratorio sui Numeri Finiti: argomenti che verranno trattati e finalita' dell'esercitazione.
  Dispensa: Funzioni Polinomiali e Interpolazione. (file .pdf)
  Funzioni Polinomiali e Interpolazione
  I polinomi e le funzioni computabili, valutazione numerica di un polinomio: metodo di Horner, metodo di Ruffini.
• Lu.22/10/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno B (I Esercitazione)
• Ma.23/10/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Valutazione numerica della derivata di un polinomio; esempi numerici. E_IN per la valutazione di un polinomio: esempio numerico; stima di E_IN in questo caso. Componente di E_IN che dipende dalla rappresentazione e componente che non dipende dalla rappresentazione. Polinomi nella base con centro; esempio numerico.
  esercizio4: Analisi di E_IN per la valutazione di un polinomio nella base con centro; applicarla all'esempio numerico.
  Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo; invarianza per traslazione e scala dell'intervallo e polinomi base di Bernstein. Esempio numerico di valutazione nella base di Bernstein; ripreso esempio numerico. Proprieta' dei polinomi base di Bernstein.
• Ve.26/10/12, ore 14.00-16.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno C (II Esercitazione)
• Lu.29/10/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno A (II Esercitazione)
• Ma.30/10/12, ore 09.00-11.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno B (II Esercitazione)
• Lu.05/11/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno A (II Esercitazione: continua)
• Ma.06/10/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Polinomi di Bernstein via formula ricorrente, valutazione numerica, algoritmo che usa formula ricorrente per funzioni base (ALG1), algoritmo di de Casteljau (ALG2). Complessita' computazionale per gli algoritmi ALG1 e ALG2. Algoritmo di de Casteljau per suddividire un polinomio. Formula ricorrente per derivata polinomi base di Bernstein; valutazione della derivata di un polinomio nella base di Bernstein (de Casteljau); antiderivata e integrale di polinomi nella base di Berstein. Interpretazione geometrica dei coefficienti dei polinomi nella base di Bernstein. Stima del numero di condizione per la valutazione di un polinomio in una certa base.
• Ve.09/11/12, ore 14.00-16.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno C (II Esercitazione: continua)
• Lu.12/11/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno B (II Esercitazione: continua)
• Ma.13/11/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Applicazione delle funzioni polinomiali (vedi slide:Funzioni Polinomiali e Disegno al Calcolatore)
  Introduzione al problema dell'interpolazione polinomiale di dati. Esistenza e unicita' del polinomio interpolante (sisteme lineare e matrice di Vandermonde); interpolazione polinomiale nella forma di Lagrange; polinomi elementari di Lagrange.
• Ve.16/11/12, ore 14.00-16.00: Laboratorio Linux
  Studenti Turno C (III Esercitazione)
• Lu.19/11/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno A (III Esercitazione)
• Ma.20/11/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Ripresa forma di Lagrange; prima e seconda forma baricentrica; esempio. Interpolazione polinomiale nella forma di Newton; base di Newton, differenze divise, forma di Newton, formula ricorrente sulle differenze divise, esempio.
• Lu.26/11/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno B (III Esercitazione)
• Ma.27/11/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Vantaggi e svantaggi della Forma di Lagrange rispetto alla forma di Newton. Interpolazione polinomiale nella base di Bernstein. Errore di interpolazione polinomiale. Sulla convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; esempio funzione di Runge. Convergenza del polinomio interpolante per punti zeri dei polinomi di Chebyshev di grado n+1. Condizionamento del problema di interpolazione polinomiale.
• Lu.03/12/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno A (IV Esercitazione)
• Ma.04/12/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Interpolazione polinomiale a tratti; polinomi lineari a tratti: convergenza e stima dell'errore. Esempi di interpolazione quadratica e cubica a tratti. Interpolazione alla Hermite (in contrapposizione alla Lagrange); polinomi a tratti cubici di Hermite di classe C^1 (interpolazione locale); convergenza e stima dell'errore; stima delle derivate. Esempio di approssimazione di f(x)=x^4 su 1, 2, 4, ecc. tratti.
• Ve.07/12/12, ore 14.00-16.00: Laboratorio Linux
  Studenti Turno C (IV Esercitazione)
• Lu.10/12/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Studenti Turno B (IV Esercitazione)
• Ma.11/12/12, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
  Polinomi a tratti cubici di classe C^2 (spline cubica) (interpolazione globale); condizioni aggiuntive di Hermite, Naturale e Periodica; sistema tridiagonale delle derivate; convergenza e stima dell'errore; proprieta' di minimo.
• Lu.17/12/12, ore 11.00-13.00: Laboratorio Linux e Multimediale
  Applicazione dell'interpolazione spline cubiche C^2: controllo numerico di un robot. Presentazione della V Esercitazione da consegnare. Riassunto sulle Esercitazioni precedenti (vedi slide Esempio e riassunto Esercitazioni).
• Ma.16/04/13, ore 10.00-11.00: Aula Tonelli
  Correzione V Esercitazione (I consegna); vedi Esercitazioni di Laboratorio.

• II Esercitazione (Numeri Finiti):
  testo esercizi (file .pdf)
  archivio file Matlab (file .tgz)
• III Esercitazione (Polinomi):
  testo esercizi (file .pdf)
  archivio file Matlab (file .tgz)
• IV Esercitazione (Interpolazione Polinomiale):
  testo esercizi (file .pdf)
• V Esercitazione (Interpolazione Polinomale a tratti), da consegnare:
  testo esercizi (file .pdf)
  archivio file Matlab (file .tgz)
• Correzione V Esercitazione (Interpolazione Polinomale a tratti):
  slide (file .pdf)

• IEEE Standard 754, 1985 (file .pdf)
• IEEE Standard 754, 2008 (file .pdf)
• What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, by David Goldberg (file .pdf)
• The Bernstein polynomial basis: a centennial retrospective, by Rida T. Farouki (file .pdf)
• Slide: Funzioni Polinomiali e Disegno al Calcolatore (file .pdf)
• Slide: Esempio e riassunto Esercitazioni (file .pdf)

• babbage.cs.qc.edu/courses/cs341/IEEE-754.htmlANSI/IEEE Std 754-1985
• www.mathworks.com/products/matlab/ MATLAB The Language of Technical Computing
• www.gnu.org/software/octave/ Octave
• octave.sourceforge.net/ Octave-Forge: Extra packages for GNU Octave
• http://gmplib.org/ GNU Multiple Precision Arithmetic Library

• Vedi: modalita' d'esame