Calcolo Numerico (C.d.S. Matematica (L)) A.A.2014/15
Avviso
Sono stati definite le esercitazioni da portare agli
appelli d'esame
Ciclo: annuale, 2^ anno
Crediti: 7+2
Esame:
Docente modulo 1 (CFU 4+1): Valeria Simoncini
Docente modulo 2 (CFU 3+1): Giulio Casciola
Tutor: Dr.ssa Margherita Porcelli, Dr. Davide Palitta
Studente Tutor: Irene Udassi
Scopo
Dare i fondamenti del calcolo numerico.
Contenuto
Numeri finiti, aritmetica floating point, analisi degli errori, condizionamento e stabilita'.
Funzioni polinomiali, interpolazione polinomiale e cenno ai polinomi a tratti.
Metodi numerici per la risoluzione di un'equaizone non lineare.
Metodi diretti per la risoluzione numerica di sistemi lineari.
Trasformazioni ortogonali: Householed e Givens. Fattorizzazioni ortogonali: QR e SVD.
Risoluzione del problema dei minimi quadrati. Approssimazione dati ai minimi quadrati.
Formule numeriche di quadrature: Newton-Cotes e Gauss-Newton.
Metodi numerici per il calcolo di autovalori e autovettori.
Il corso prevede un'attività di laboratorio
in cui si utilizza il sistema MATLAB.
Testi Consigliati
- V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni,
McGraw-Hill Libri Italia, (1995), E-book Apogeonline.
- R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici,
Zanichelli (1992)
- J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analysis,
(second edition) Springer Verlag (1997)
Orario delle Lezioni
- Le lezioni inizieranno il 23 febbraio 2015 con il seguente orario:
Lunedi' ore 09:00-11:00 Aula Tonelli (e/o Laboratorio)
Lunedi' ore 14:00-16:00 Aula Tonelli (e/o Laboratorio)
Giovedì' ore 09:00-11:00 Aula Tonelli
Lezioni e Argomenti trattati
- Lu.23/02/15, ore 11.00-13.00: Aula Tonelli
Introduzione e informazioni sul corso (vedi lucidi).
(file .pdf)
Richiami su Numeri Finiti e Aritmetica Floating Point.
- Gi.26/02/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Analisi in avanti per l'addizione di due reali, cancellazione numerica, esempio numerico.
Problema ben posto, condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo:
Errore Analitico, Inerente, Algoritmico e Totale.
Stima dell'Errore Inerente nel caso di problemi della forma f:R^n->R differenziabili.
Funzioni polinomiali e loro valutazione numerica: metodo di Horner, metodo di Ruffini.
Valutazione numerica della derivata di un polinomio.
- Lu.2/03/15, ore 11.00-13.00: Aula Tonelli
E_ALG di Ruffini-Horner.
E_IN per la valutazione numerica di un polinomio: esempio numerico;
stima di E_IN in questo caso.
Stima di E_IN per valutazione di polinomio in una base assegnata.
Componente di E_IN che dipende dalla rappresentazione in base e componente
che non dipende dalla rappresentazione.
Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo;
esempio numerico di valutazione nella base di Bernstein;
cambio di variabile e base di Bernstein;
ripreso esempio numerico.
Proprieta' dei polinomi base di Bernstein.
- Gi.5/03/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Polinomi di Bernstein via formula ricorrente, valutazione numerica,
algoritmo che usa formula ricorrente per funzioni base (ALG1), algoritmo di de
Casteljau (ALG2). Complessita' computazionale per gli algoritmi ALG1 e ALG2.
Algoritmo di de Casteljau per suddividire un polinomio.
- Lu.9/03/15, ore 9.00-11.00: Aula Tonelli, LAB1 e LAB2
Esercitazione 0 di Laboratorio; vedi sezione "Esercitazioni e Download Codice Matlab"
- Lu.9/03/15, ore 14.00-16.00: Aula Tonelli e LAB1
Esercitazione 0 di Laboratorio; completamento/ripetizione
- Gi.12/03/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Formula ricorrente per derivata polinomi base di Bernstein;
valutazione della derivata di un polinomio nella base di Bernstein (mediante de Casteljau); derivate di ordine superiore;
primitiva e integrale di polinomi nella base di Berstein.
Problema dell'interpolazione polinomiale di dati.
Approssimazione di funzioni mediante interpolazione polinomiale.
Teorema di esistenza e unicita' del polinomio interpolante di grado n;
Interpolazione con polinomi nella base di Bersntein.
- Lu.16/03/15, ore 9.00-11.00: Aula Tonelli, LAB1 e LAB2
Esercitazione 1 di Laboratorio; vedi sezione "Esercitazioni e Download Codice Matlab"
- Lu.16/03/15, ore 14.00-16.00: Aula Tonelli e LAB1
Esercitazione 1 di Laboratorio; completamento/ripetizione
- Gi.19/03/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Base di Newton; interpolazione polinomiale nella forma di Newton via sistema lineare
e via differenze diviose; differenze divise, formula ricorrente, esempi.
Polinomi elementari di Lagrange; interpolazione polinomiale nella forma di Lagrange.
- Lu.23/03/15, ore 9.00-11.00: Aula Tonelli e LAB Linux (LAB1 e LAB2)
Esercitazione 1 di Laboratorio; vedi sezione "Esercitazioni e Download Codice Matlab"
- Lu.23/03/15, ore 14.00-16.00: Aula Tonelli e LAB Linux
Esercitazione 1 di Laboratorio; ripetizione/recupero
- Gi.26/03/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Ripresa forma di Lagrange; prima e seconda forma di Lagrange.
Vantaggi e svantaggi della Forma di Lagrange rispetto alla forma di Newton.
Condizionamento del problema di interpolazione polinomiale.
Errore di interpolazione. Formula dell'errore di Lagrange; esempi.
Convergenza del polinomio per punti zeri dei polinomi di Chebyshev di grado n+1.
- Lu.30/03/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Interpolazione alla Hermite; esempio; errore di interpolazione di Hermite.
Funzioni polinomiali a tratti; interpolazione polinomiale a tratti con
funzioni lineari e cubiche; stima dell'errore e convergenza.
Interpolazione a tratti cubica C^1 di Hermite (interpolazione locale); stima
dell'errore e convergernza. Interpolazione a tratti cubica C^2 (spline).
- Lu.13/04/15, ore 9.00-11.00: Aula Tonelli e LAB Linux (LAB1 e LAB2)
Esercitazione 2 di Laboratorio; vedi sezione "Esercitazioni e Download Codice Matlab"
- Lu.13/04/15, ore 14.00-16.00: Aula Tonelli e LAB Linux
Esercitazione 2 di Laboratorio; ripetizione/recupero
- Gi.16/04/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Ripresa Interpolazione a tratti cubica C^2 (spline) con condizioni aggiuntive;
sistema tridiagonale a diagonale dominante; convergenza e stima dell'errore; proprieta'
di minimo.
Integrazione Numerica: motivazioni. Formule di Quadratura Interpolatorie;
formule di quadratura di Newton-Cotes (interpolazione polinomiale nella forma di
Lagrange su punti equispaziati in [a,b]).
Caso n=1 (trapezi).
- Lu.20/04/15, ore 9.00-11.00: Aula Tonelli e LAB Linux (LAB1 e LAB2)
Esercitazione 2 di Laboratorio; vedi sezione "Esercitazioni e Download Codice Matlab"
- Lu.20/04/15, ore 14.00-16.00: Aula Tonelli
Esercitazione 2 di Laboratorio; ripetizione/recupero
- Gi.23/04/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Caso n=2 (Simpson). Esempio numerico. Grado di precisione; Errore di
integrazione per trapezi e Simpson; errore di integrazione per n dispari
ed n pari. Formule composte interpolatorie;
formule composte dei trapezi ed errore di integrazione;
formule composte di Simpson ed errore di integrazione; assegnato esercizio;
Estrapolazione di Richardson per trapezi e simpson composti;
Formule di quadratura di Gauss; polinomi ortogonali di Legendre.
- Lu.27/04/15, ore 9.00-11.00: Aula Tonelli e LAB Linux (LAB1 e LAB2)
Esercitazione 3 di Laboratorio; vedi sezione "Esercitazioni e Download Codice Matlab"
- Lu.27/04/15, ore 14.00-16.00: Aula Tonelli
Esercitazione 3 di Laboratorio; ripetizione/recupero
- Gi.30/04/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Zeri di Legendre e pesi di Gauss; convergenza. Formule di Gauss composte.
Metodi adattivi: utilizzo di formule composte e stima dell'errore di integrazione.
Estrapolazione di Richardson per stima dell'errore; funzione ricorsiva per
implementare un metodo adattivo. Metodo adattivo dei trapezi e Simpson.
Equazioni non lineari o zeri di funzione in un intervallo. Metodo iterativo di bisezione;
test di arresto.
- Lu.4/05/15, ore 9.00-11.00: Aula Tonelli e LAB Linux (LAB1 e LAB2)
Esercitazione 3 e 4 di Laboratorio; vedi sezione "Esercitazioni e Download Codice Matlab"
- Lu.4/05/15, ore 14.00-16.00: Aula Tonelli
Esercitazione 3 e 4 di Laboratorio; ripetizione/recupero
- Gi.7/05/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Ancora su test di arresto. Metodi di iterazione funzionale per la determinazione di un
punto fisso di una funzione; risultati di convergenza e definizione di ordine di convergenza.
Metodo di Newton, convergenza e ordine di convergenza per radici semplici e multiple.
Metodo delle secanti, convergenza e ordine di convergenza. Confronto fra metodo di Newton
e delle secanti.
- Lu.11/05/15, ore 9.00-11.00: Aula Tonelli e LAB Linux (LAB1 e LAB2)
Esercitazione 4 di Laboratorio; vedi sezione "Esercitazioni e Download Codice Matlab"
- Lu.11/05/15, ore 14.00-16.00: Aula Tonelli
Esercitazione 4 di Laboratorio; ripetizione/recupero
- Gi.14/05/15, ore 09.00-11.00: Aula Tonelli
Errore Inerente e propagazione degli errori nei metodi iterativi.
Fine delle Lezioni.
Esercitazioni e Download Codice Matlab
es_cn1415_0.pdf (Esercitazione 0 del 9/3)
matlab_cn1415_0.tgz (Codice per Esercitazione 0)
es_cn1415_1.pdf (Esercitazione 1 del 16/3 e 23/3)
matlab_cn1415_1.tgz (Codice per Esercitazione 1)
es_cn1415_2.pdf (Esercitazione 2 del 13/4 e 20/4)
matlab_cn1415_2.tgz (Codice per Esercitazione 2)
es_cn1415_3.pdf (Esercitazione 3 del 27/4 e 4/5)
matlab_cn1415_3.tgz (Codice per Esercitazione 3)
es_cn1415_4.pdf (Esercitazione 4 del 4/5 e 11/5)
matlab_cn1415_4.tgz (Codice per Esercitazione 4)
Documenti
IEEE Standard 754, 1985 (file .pdf)
IEEE Standard 754, 2008 (file .pdf)
What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, by David Goldberg (file .pdf)
Slide: Funzioni Polinomiali e Disegno al Calcolatore (file .pdf)
Un esempio (file .pdf)
Dispensa del Corso (Modulo 2) (file .pdf) (aggiornata il 15 aprile)
Sitografia
Modalita' d'Esame
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