Metodi Numerici per il Calcolo (C.d.S. Informatica per il Management (L)) A.A.2012/13
(1^ semestre, 2^ anno)
Esame: prova scritta e/o orale
Crediti: 8
Docente: Giulio Casciola
Esito Prova di Fine Corso
Scopo
Dare i fondamenti del calcolo numerico.
Contenuto
Numeri finiti e aritmetica floating point;
funzioni polinomiali; interpolazione e approssimazione minimi quadrati;
integrazione numerica; equazioni non lineari;
sistemi lineari: metodi diretti e metodi iterativi; calcolo degli
autovalori e autovettori di una matrice;
Il corso prevede un'attività di laboratorio
in cui si utilizza il sistema MATLAB/Octave.
Testi Consigliati
- A. Quarteroni, R.sacco, F. Saleri, Matematica Numerica,
Springer (2008);
- A. Quarteroni, F. Saleri, Calcolo Scientifico esercizi e problemi risolti con Matlab e Octave.
Springer (2008);
- V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni,
McGraw-Hill Libri Italia, (1995)
Altri testi in italiano
- R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici,
Zanichelli (1992)
- J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisys,
(second edition) Springer Verlag (1997)
- I. Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
- F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II,
Pitagora Editrice Bologna (1985)
Orario delle Lezioni
- Le lezioni inizieranno il 24 settembre 2012 con il seguente orario:
Lunedi' ore 13:30-15:30 Aula Medicina Legale
Mercoledi' ore 15:30-18:30 Aula Medicina Legale
Venerdi' ore 15:30-18:30 Aula Medicina Legale
Lezioni e Argomenti trattati
- Lu.24/09/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Introduzione e informazioni sul corso (vedi lucidi).
(file .pdf)
Dispensa:
I Numeri Finiti e l'Aritmetica Floating Point.
(file .pdf)
Numeri Finiti
Insieme F dei numeri finiti: base, mantissa, range degli esponenti; approssimazione della
mantissa per troncamento e arrotondamento. Rappresentazione di un numero reale nell'insieme
dei numeri finiti.
esercizio 1:
Dato l'insieme F(2,3,-1,2), determinare quanti elementi ci sono, come sono fatti e come sono
disposti sull'asse reale.
- Me.26/09/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Svolto esercizio 1 assegnato; casi di underflow e overflow;
rappresentazione in memoria dei numeri Finiti (segno, esponente e mantissa).
Esempi in base 10. Cenni su ANSI/IEEE Std 754-1985.
Definizione di Errore Assoluto e Relativo.
Esempi in base 2 di conversione, memorizzazione, riconversione e calcolo dell'errore relativo,
sia nel caso di troncamento che di arrotondamento; richiamata conversione da base 10 a base 2
di un numero reale (parte intera e frazionaria).
esercizio 2:
Ripetere l'ultimo esempio in F(2,3,-7,8).
Esercitati su conversione e rappresentazione in memoria.
- Ve.28/09/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Teorema di maggiorazione dell'errore assoluto, definizione di unita' di arrotondamento,
teorema di maggiorazione dell'errore relativo di rappresentazione, corollario sulla
rappresentazione di fl(a).
Aritmetica floating point e precisione di calcolo.
esercizio 3:
verificare che in aritmetica finita non vale la proprieta' associativa dell'addizione.
Caratterizzazione dell'unita' di arrotondamento;
esercizio 4:
realizzare un piccolo codice di calcolo per determinare l'unitą di
arrotondamento utilizzando la sua caratterizzazione.
Unita' di arrotondamento in IEEE Basic-Single e Basic-Double.
Precisione di rappresentazione in termini di cifre decimali.
Analisi degli errori in avanti e all'indietro.
Analisi in avanti per la moltiplicazione di due numeri reali,
analisi in avanti per l'addizione di due reali, cancellazione numerica.
- Lu.01/10/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Ripresa caratterizzazione dell'unitą di arrotondamento e rivista nel caso di arrotondamento ai pari.
Ripresa l'analisi in avanti e la cancellazione numerica con esempio.
Condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo:
Errore Inerente, Algoritmico e Totale, teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG.
E_IN ed il numero di condizione (NC); stima di NC nel caso di un problema
modellizzato come f:R-->R derivabile; esempio f(x)=sqrt(1-x).
- Me.03/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Esercitazioni di Laboratorio. Ambiente Octave/MatLab (istruzioni/comandi, built-in function, script,
work-space, ecc.) (vedi lucidi)
(file .pdf);
scaricato archivio mnc1213_1.tgz e analizzati insiemi alcuni semplici
programmi sui numeri finiti.
(vedi piccolo riassunto su esercizi esaminati)
(file .pdf)
esercizio 5:
modificare il codice di compute_u.m per determinare l'unita' di arrotondamento nel caso
single.
- Lu.08/10/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Stima di E_IN nel caso di problemi f:R^n->R ed f:R^n->R^m.
Esempi sulle operazioni aritmetiche di moltiplicazione e addizione/sottrazione fra numeri reali; esempio per sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1); problema esempio per la determinazione delle radici di un'eq. di secondo grado.
esercizio6:
realizzare un piccolo codice che implementi i due ultimi esempi.
- Me.10/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Esercitazione di Laboratorio.
Si sono analizzati altri script dell'archivio gia' scaricato la volta
scorsa (mnc1213_1.tgz) seguendo la traccia del documento seguente
(file .pdf)
- Ve.12/10/12, ore 16.00-18.00: Aula Medicina Legale
Dispensa:
Funzioni Polinomiali e Interpolazione.
(file .pdf)
Funzioni Polinomiali e Interpolazione
Richiami sui polinomi, valutazione numerica di
un polinomio: metodo di Horner, metodo di Ruffini.
Valutazione numerica della derivata di un polinomio.
- Lu.15/10/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Ripreso ultimo argomento con esempi numerici.
E_IN nella valutazione di un polinomio: esempio numerico;
stima di E_IN in questo caso.
Componenti di E_IN: dipendenza dalla rappresentazione e non.
Polinomi nella base con centro; analisi di E_IN in questa base;
esempio numerico e variazione della componente di E_IN.
Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo.
- Me.17/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Esercitazione di Laboratorio.
Scaricato archivio mnc1213_2.tgz e analizzati insiemi alcuni semplici
script e funzioni seguendo la traccia seguente
(file .pdf)
- Ve.19/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Polinomi e invarianza per traslazione scala; analisi di E_IN nella base di Bernstein.
Formula ricorrente sui polinomi di Bersntein e valutazione; algoritmo di de Casteljau.
Problema dell'interpolazione polinomiale di dati.
Esistenza e unicita' del polinomio interpolante: sistema lineare con matrice di Vandermonde;
esercizio7:
Determinare il polinomio interpolante dei seguenti punti: (0,0), (1,1), (2,0).
esercizio8:
Determinare il polinomio interpolante dei seguenti punti: (0,0), (1,1), (2,2).
- Lu.22/10/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Risolti in aula gli esercizi assegnati.
Forma di Newton: base con centri.
Interpolazione nella base di Bernstein.
Forma di Lagrange: funzioni elementari di Lagrange;
prima e seconda forma di Lagrange e complessitą computazionale.
- Me.24/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Esercitazione di Laboratorio.
Scaricato archivio mnc1213_2.tgz e analizzati insiemi alcuni semplici
script e funzioni seguendo la traccia seguente
(file .pdf)
- Ve.26/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Errore di interpolazione polinomiale.
Sulla convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; esempio test di Runge;
zeri dei polinomi di Chebyshev di grado n+1 e convergenza.
Definizione di funzione polinomiale a tratti: motivazione, interpolazione, regolaritą, massimo
raccordo (funzioni spline).
Approssimazione ai minimi quadrati con polinomi; problema
di determinare la funzione polinomiale di grado assegnato che abbia il minimo scarto quadratico
con un set di dati.
- Lu.29/10/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Minimo di una funzione quadratica in piu` variabili:
sistema della equazioni normali; caso polinomiale in una base generica.
Esempio: retta di regressione lineare nella base canonica.
Esempio numerico; retta per il baricentro del set di dati.
Esempio: retta di regressione lineare nella base con centro.
- Me.31/10/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Esercitazione di Laboratorio.
Sempre sull'archivio mnc1213_2.tgz finendo la traccia della volta scorsa
e poi la seguente
(file .pdf)
- Lu.05/11/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Ancora su approssimazione minimi quadrati;
diminuzione del residuo scegliendo Pn con n maggiore.
Dispensa:
Integrazione Numerica.
(file .pdf)
Integrazione Numerica
Formule di Quadratura;
formule interpolatorie polinomiali nella forma di Lagrange su punti equispaziati
(formule di quadratura di Newton-Cotes); caso n=1 (trapezi);
caso n=2 (Simpson); esempio numerico;
errore di integrazione per trapezi e Simpson;
errore di integrazione per n dispari ed n pari.
- Me.07/11/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Esercitazione di Laboratorio.
Scaricato archivio mnc1213_3.tgz e seguita la traccia seguente
(file .pdf)
- Ve.09/11/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Formule di quadratura composte;
formule composte dei trapezi e di Simpson; esempi; estrapolazione e cenno a metodi adattivi.
Dispensa:
Equazioni non lineari
(file .pdf)
Equazioni non lineari
Errore inerente; metodo di bisezione: ipotesi di applicazione, iterazioni del metodo e test di arresto;
- Lu.12/11/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Ancora sul metodo di bisezione; metodo della falsa posizione; metodo di Newton:
ipotesi di applicazione, derivazione del metodo, iterazioni del metodo, interpretazione geometrica.
Equivalenza di f(x)=0 con x=g(x); teorema di convergenza per successioni generate da x_k+1=g(x_k).
Metodo delle secanti.
- Me.14/11/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Esercitazione di Laboratorio.
Scaricato archivio mnc1213_4.tgz e seguita la traccia seguente
(file .pdf)
- Ve.16/11/12, ore 15.30-18.00: Aula Medicina Legale
Convergenza di x_k+1=g(x_k) graficamente; teorema di
convergenza di Newton; test di arresto. Esempi: radice quadrata di un numero, inverso di un numero.
Esempio di applicazione della determinazione delle radici di una
equazione polinomiale: l'intersecatore di POV-Ray per superfici implicite.
Sequenza di Sturm per la localizzazione delle radici reali di un'equazione
polinomiale.
Slide su Pov-Ray (vedi lucidi).
(file .pdf)
- Lu.19/11/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Propagazione degli errori; definizione di ordine di convergenza, ordine di convergenza
di bisezione e Newton. Ripreso metodo delle secanti, teorema di convergenza, ordine di convergenza.
Dispensa:
Algebra Lineare Numerica.
(file .pdf)
Algebra Lineare Numerica
Sistemi lineari quadrati: motivazione per
metodi con complessita` computazionale accettabile.
- Me.21/11/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Esercitazione di Laboratorio.
Scaricato archivio mnc1213_5.tgz e seguita la traccia seguente
(file .pdf)
- Lu.26/11/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Fattorizzazione LU di una matrice, soluzione del sistema a partire
dalla fattorizzazione LU (sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti
e all'indietro).
Metodo di Gauss e matrici elementari di Gauss
per la fattorizzazione LU, complessita' computazionale.
Esempio di fattorizzazione e soluzione di un sistema lineare.
- Me.28/11/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Ripreso esempio numerico.
Applicazione della fattorizzazione per il calcolo del
determinante e dell'inversa di una matrice.
Fattorizzazione LU con scambio delle righe (o pivoting parziale).
Un esempio numerico sulla fattorizzazione con scambio delle righe.
Stabilita` numerica della fattorizzazione LU; fattorizzazione LU
con scambio delle righe e perno massimo.
Esempi numerici.
- Lu.03/12/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Lezione soppressa per indisponibilita' docente.
- Me.05/12/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Richiami su norme vettoriali e norme matriciali; condizionamento del problema Ax=b.
Scaricato archivio mnc1213_6.tgz e seguita la traccia seguente
(file .pdf)
- Lu.10/12/12, ore 13.30-15.30: Aula Medicina Legale
Soluzione di un sistema lineare mediante fattorizzazione QR.
Matrici elementari di Householder. Esempio numerico.
Metodo di Householder per fattorizzazione QR. Costo computazionale e
stabilita` della fattorizzazione QR.
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari: motivazioni;
decomposizione della matrice e successione di vettori (richiami su
convergenza di una successione di vettori).
- Me.12/12/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Teorema di convergenza; condizioni sufficienti per la convergenza.
Test di arresto; complessita' computazionale.
Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel.
Ripreso problema approssimazione minimi quadrati e risolto mediante
fattorizzazione QR.
Scaricato archivio mnc1213_6.tgz e seguita la traccia
(file .pdf)
- Ve.14/12/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Ripresi gli argomenti trattati: Numeri Finiti, Funzioni Polinomiali,
Interpolazione polinomiale e Approssimazione minimi quadrati, Integrazione
Numerica, Equazioni non Lineari, Algebra Lineare Numerica nell'ottica i
dell'obiettivo del corso: Metodi Numerici per il Calcolo.
Riprese e discusse le cose importanti anche ai fini esame.
- Me.19/12/12, ore 15.30-18.30: Aula Medicina Legale
Simulazione Prova d'Esame.
Fine delle Lezioni.
Download Software e Manuali
-
mnc1213_1.tgz (programmi Octave)
-
octave.pdf (Manuale Octave pdf)
-
mnc1213_2.tgz (programmi Octave)
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mnc1213_3.tgz (programmi Octave)
-
mnc1213_4.tgz (programmi Octave)
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mnc1213_5.tgz (programmi Octave)
-
mnc1213_6.tgz (programmi Octave)
Documenti
Sitografia
Modalita' d'Esame
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