Metodi Numerici per il Calcolo (C.d.S. Informatica per il Management (L)) A.A.2014/15
(1^ semestre, 2^ anno)
Esame: prova orale
Crediti: 8
Docente: Giulio Casciola
Esito Prova di Fine Corso
Scopo
Dare i fondamenti del calcolo numerico.
Contenuto
Numeri finiti e aritmetica floating point;
funzioni polinomiali; interpolazione e approssimazione minimi quadrati;
integrazione numerica; equazioni non lineari;
sistemi lineari: metodi diretti e metodi iterativi; calcolo degli
autovalori e autovettori di una matrice;
Il corso prevede un'attività di laboratorio
in cui si utilizza il sistema MATLAB/Octave.
Testi Consigliati
- A. Quarteroni, R.sacco, F. Saleri, Matematica Numerica,
Springer (2008);
- A. Quarteroni, F. Saleri, Calcolo Scientifico esercizi e problemi risolti con Matlab e Octave.
Springer (2008);
- V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni,
McGraw-Hill Libri Italia, (1995)
Altri testi in italiano
- R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici,
Zanichelli (1992)
- J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisys,
(second edition) Springer Verlag (1997)
- I. Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
- F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II,
Pitagora Editrice Bologna (1985)
Orario delle Lezioni
- Le lezioni inizieranno il 29 settembre 2014 con il seguente orario:
Lunedi' ore 13:30-15:30 Aula M1 Mineralogia
Giovedi' ore 16:30-18:30 Aula M1 Mineralogia
Venerdi' ore 13:30-17:30 Aula Ercolani 1
Lezioni e Argomenti trattati
- Lu.29/09/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Introduzione e informazioni sul corso (vedi lucidi).
(file .pdf)
- Gi.2/10/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Numeri Finiti
Richiami sui numeri reali, rappresentazione in base, forma scientifica o normalizzata.
Insieme F dei numeri finiti: base, mantissa, range degli esponenti.
esercizio 1:
Dato l'insieme F(2,3,-1,2), determinare quanti elementi ci sono, come sono fatti e come sono
disposti sull'asse reale (svolto insieme a lezione).
Rappresentazione di un numero reale nell'insieme dei numeri finiti:
casi di underflow e overflow; approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento.
- Ve.3/10/14, ore 13.30-16.30: Aula E1 Ercolani
Rappresentazione in memoria dei numeri Finiti (segno, esponente e mantissa).
Esempi in base 10. Cenni su ANSI/IEEE Std.754-1985.
Esempi in base 2 di conversione, memorizzazione e riconversione nel caso di arrotondamento;
richiamata conversione da base 10 a base 2 di un numero reale (parte intera e frazionaria).
esercizio 2:
Ripetere l'esercizio di conversione, memorizzazione e riconversione per +13.9 in F(2,4,-7,8).
Definizione di Errore Assoluto e Relativo.
Teorema di maggiorazione dell'errore assoluto, definizione di unita' di arrotondamento,
teorema di maggiorazione dell'errore relativo di rappresentazione.
Introduzione e informazioni sul Laboratorio per installazione VM e Octave (vedi lucidi).
(file .pdf)
- Lu.6/10/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Corollario sulla rappresentazione di fl(a).
Ripreso l'ultimo esempio sulla rappresentazione di un reale in memoria
con calcolo dell'errore relativo e confronto con u.
Aritmetica floating point e precisione di calcolo.
Caratterizzazione dell'unita' di arrotondamento.
L'unita' di arrotondamento in Basic-Single e Basic-Double.
esercizio 3:
Realizzare un piccolo codice di calcolo per determinare l'unità di
arrotondamento e il numero t di cifre dedicate alla mantissa nel
sistema floating point in uso.
- Gi.9/10/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Ripresa l'unita' di arrotondamento e la sua caratterizzazione nel caso di arrotondamento ai pari.
Analisi degli errori in avanti. Esempio sulla moltiplicazione di due numeri reali,
esempio sull'addizione di due numeri reali, cancellazione numerica.
- Ve.10/10/14, ore 13.30-16.30: Aula E1 Ercolani
Esempio numerico di cancellazione.
Esempio numerico di cancellazione nel calcolo di sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
Condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo:
Errore Inerente, Algoritmico e Totale, teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG.
E_IN e indice di condizionamento; stima di E_IN nel caso di un problema
modellizzato come f:R->R derivabile; generalizzazione della stima di E_IN
nel caso di problemi f:R^n->R; ripreso esempio sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
Esempi sulle operazioni aritmetiche di moltiplicazione e addizione fra numeri reali;
- Lu.13/10/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Esempio: radici di un'eq. di secondo grado.
Funzioni Polinomiali e Interpolazione
Richiami sui polinomi.
- Gi.16/10/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Valutazione numerica di un polinomio: metodo dalla definizione, metodo di Horner,
metodo di Ruffini; complessità computazionale.
Valutazione numerica della derivata del polinomio.
Esempio numerico di valutazione e derivate. Esempio di errore inerente.
- Ve.17/10/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Attivita' di Laboratorio.
Ambiente Octave/MatLab (istruzioni/comandi, built-in function) (vedi lucidi 'Iparte' in Documenti); Esercitazione 1 (vedi file pdf in Download Software e Manuali).
- Lu.20/10/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Stima di E_IN e applicazione nell'esempio visto.
Polinomi nella base con centro; stima di E_IN in questa base;
variazione delle componenti di E_IN: dipendenza dalla rappresentazione e non.
Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo.
Polinomi e invarianza per traslazione scala (cambio di variabile).
- Gi.23/10/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Cambio di variabile per polinomi nella base di Bernstein;
analisi di E_IN nella base di Bernstein. Ripreso esempio numerico.
Proprieta' dei polinomi base di Bernstein; algoritmo di valutazione mediante
formula ricorrente sui pol. base di Bernstein (Alg.1).
- Ve.24/10/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Attivita' di Laboratorio.
Octave/MatLab (script e function) e ancora su Esercitazione 1;
Octave/MatLab II (vedi lucidi 'IIparte' in Documenti); Esercitazione 2 (vedi file pdf e archivio tgz in Download Software e Manuali); fatto insieme l'esercizio A.
- Lu.27/10/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Algoritmo di valutazione di de Casteljau (Alg.2).
Cenno ad applicazioni dei polinomi nella base di Bernstein (curve di Bezier).
Richiami su polinomio di Taylor.
Problema dell'interpolazione polinomiale di dati.
- Gi.30/10/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Interpolazione alla Lagrange e alla Hermite.
Esistenza e unicita' del polinomio interpolante: sistema lineare e matrice di Vandermonde.
Esempi numerici. Interpolazione nella Forma di Newton: base con centri.
- Ve.31/10/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Attivita' di Laboratorio.
Ancora su Esercitazione 2 sui numeri finiti; Octave/MatLab (vedi lucidi 'IIIparte' in Documenti); Esercitazione 3 (vedi file pdf e archivio tgz in Download Software e Manuali).
- Lu.3/11/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Esempi di interpolazione nella Forma di Newton.
Forma di Lagrange: funzioni elementari di Lagrange;
prima e seconda forma di Lagrange e complessità computazionale.
Interpolazione polinomiale nella base di Bernstein.
- Gi.6/11/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Errore di interpolazione polinomiale.
Sulla convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; esempio test di Runge;
zeri dei polinomi di Chebyshev di grado n+1 e convergenza.
Funzione polinomiale a tratti: motivazioni.
- Ve.7/11/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Esercitazione 4: recupero esercitazioni precedenti (vedi file pdf).
- Lu.10/11/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Integrazione Numerica
Formule di Quadratura; formule interpolatorie polinomiali nella forma di Lagrange
su punti equispaziati (formule di quadratura di Newton-Cotes); caso n=1 (trapezi); caso n=2 (Simpson).
- Gi.13/11/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Esempio numerico di integrazione;
errore di integrazione per trapezi e Simpson;
errore di integrazione per n dispari ed n pari.
Formule di quadratura composte; formule composte dei trapezi e di Simpson;
errore per le formule composte.
- Ve.14/11/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Esercitazione 5: Interpolazione polinomiale (vedi file pdf e archivio tgz in Download Software e Manuali).
- Lu.17/11/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Esempi numerici su formule composte; estrapolazione di Richardson; metodi adattivi
di integrazione basati su stima dell'errore.
- Gi.20/11/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Equazioni non lineari
Metodo di bisezione: ipotesi di applicazione, iterazioni del metodo e
test di arresto; metodo della falsa posizione.
Metodo di Newton: ipotesi di applicazione, derivazione del metodo, iterazioni del metodo.
- Ve.21/11/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Esercitazione 6: Integrazione Numerica (vedi file pdf e archivio tgz in Download Software e Manuali).
- Lu.24/11/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Interpretazione geometrica del metodo di Newton. Teorema di convergenza per successioni generate da x_k+1=g(x_k) e interpretazione
geometrica. Teorema di convergenza di Newton; test di arresto.
Metodo delle secanti, teorema di convergenza.
Definizione di ordine di convergenza, ordine di convergenzai.
- Gi.27/11/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Ordine di convergenza dei metodi di Newton e secanti.
Newton per radici multiple. Esempi: radice quadrata di un numero e inverso di un numero.
Algebra Lineare Numerica
Sistemi lineari quadrati: motivazione per
metodi con complessita` computazionale accettabile.
- Ve.28/11/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Esercitazione 7: Equazioni non lineari (vedi file pdf e archivio tgz in Download Software e Manuali).
- Lu.1/12/14, ore 13.30-15.30: Aula M1 Mineralogia
Fattorizzazione LU di una matrice, soluzione del sistema a partire
dalla fattorizzazione LU (sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti
e all'indietro). Metodo di Gauss e matrici elementari di Gauss
per la fattorizzazione LU, complessita' computazionale.
Esempio di fattorizzazione e soluzione di un sistema lineare.
Applicazione della fattorizzazione per il calcolo del
determinante e dell'inversa di una matrice.
- Gi.4/12/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Fattorizzazione LU con scambio delle righe (o pivoting parziale).
Un esempio numerico sulla fattorizzazione con scambio delle righe.
Stabilita` numerica della fattorizzazione LU; fattorizzazione LU
con scambio delle righe e perno massimo. Esempi numerici.
Richiami su norme vettoriali e norme matriciali; condizionamento del problema Ax=b.
- Ve.5/12/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Esercitazione 8: Fattorizzazione LU (vedi file pdf e archivio tgz in Download Software e Manuali).
- Gi.11/12/14, ore 16.30-18.30: Aula M1 Mineralogia
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari: motivazioni;
decomposizione della matrice e successione di vettori (richiami su
convergenza di una successione di vettori).
Teorema di convergenza; condizioni sufficienti per la convergenza.
Test di arresto. Complessita' computazionale.
Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel.
- Ve.12/12/14, ore 13.30-17.30: Aula E1 Ercolani
Simulazione prova d'esame.
Fine delle Lezioni.
Download Software e Manuali
Documenti
Sitografia
Modalita' d'Esame
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