Metodi Numerici per il Calcolo (C.d.S. Informatica per il Management (L)) A.A.2015/16
(1^ semestre, 2^ anno)
Esame: prova orale
Crediti: 8
Docente: Giulio Casciola
Esito Prova di Fine Corso
Scopo
Dare i fondamenti del calcolo numerico.
Contenuto
Numeri finiti e aritmetica floating point;
funzioni polinomiali; interpolazione e approssimazione minimi quadrati;
integrazione numerica; equazioni non lineari;
sistemi lineari: metodi diretti e metodi iterativi; calcolo degli
autovalori e autovettori di una matrice;
Il corso prevede un'attività di laboratorio
in cui si utilizza il sistema MATLAB/Octave.
Testi Consigliati
- A. Quarteroni, R.sacco, F. Saleri, Matematica Numerica,
Springer (2008);
- A. Quarteroni, F. Saleri, Calcolo Scientifico esercizi e problemi risolti con Matlab e Octave.
Springer (2008);
- V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni,
McGraw-Hill Libri Italia, (1995)
Altri testi in italiano
- R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici,
Zanichelli (1992)
- J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisys,
(second edition) Springer Verlag (1997)
- I. Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
- F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II,
Pitagora Editrice Bologna (1985)
Orario delle Lezioni
- Le lezioni inizieranno il 21 settembre 2015 con il seguente orario:
Mercoledi' ore 16:00-18:00 Aula Vitali (Dip. Mat.)
Giovedi' ore 16:00-18:00 Aula Vitali (dal 14/10 aula VII Piano) (Dip. Mat.)
Venerdi' ore 13:30-17:30 Aula Ercolani 2
Lezioni e Argomenti trattati
- Me.23/09/15, ore 16:00-18:00: Aula Pincherle
Introduzione e informazioni sul corso (vedi lucidi).
(file .pdf)
Numeri Finiti
Richiami sui numeri reali, rappresentazione in base, forma scientifica o normalizzata.
Insieme F dei numeri finiti: base, mantissa, range degli esponenti.
esercizio 1:
Dato l'insieme F(2,3,-1,2), determinare quanti elementi ci sono, come sono fatti e come sono
disposti sull'asse reale.
- Gi.24/09/15, ore 16:00-18:00: Aula Cremona
Rappresentazione di un numero reale nell'insieme dei numeri finiti:
casi di underflow e overflow; approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento.
Svolto insieme a lezione l'esercizio1.
Rappresentazione in memoria dei numeri Finiti (segno, esponente e mantissa).
Esempi in base 10. Cenni su ANSI/IEEE Std.754-1985: Basic-Single e Basic-Double,
NaN, Inf, gradual underflow, arrotondamneto ai pari.
- Ve.25/09/15, ore 13:30-16:00: Aula E2 Ercolani
Esempi in base 2 di conversione, memorizzazione e riconversione nel caso di troncamento e arrotondamento;
richiamata conversione da base 10 a base 2 di un numero reale (parte intera e frazionaria).
esercizio 2:
Ripetere l'esercizio di conversione, memorizzazione e riconversione per +13.9 in F(2,4,-7,8).
Definizioni di Errore Assoluto e Relativo.
Definizione di unita' di arrotondamento.
Teorema di maggiorazione dell'errore relativo di rappresentazione.
L'unita' di arrotondamento in Basic-Single e Basic-Double.
Corollario sulla rappresentazione di fl(a).
Ripreso l'ultimo esempio sulla rappresentazione di un reale in memoria
con calcolo dell'errore relativo e confronto con u.
Aritmetica floating point e precisione di calcolo.
Esempio su proprieta' associativa dell'addizione in aritmetica finita.
Caratterizzazione dell'unita' di arrotondamento.
esercizio 3:
Realizzare un piccolo codice di calcolo per determinare l'unità di
arrotondamento e il numero t di cifre dedicate alla mantissa nel
sistema floating point in uso.
Introduzione e informazioni sul Laboratorio per installazione VM e Octave (vedi lucidi).
(file .pdf)
- Me.30/09/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Ripresa l'unita' di arrotondamento, esempi e caratterizzazione nel caso di arrotondamento ai pari.
Analisi degli errori: in avanti e all'indietro. Esempio di analisi in avanti sulla moltiplicazione di due numeri reali,
esempio sull'addizione di due numeri reali e cancellazione numerica.
Esempio numerico di cancellazione.
Problema ben posto. Modellizzazione di un problema come f:R->R. Condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo: Errore Inerente, Algoritmico e Totale.
- Gi.1/10/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Ripresi E_IN ed E_ALG. Teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG.
E_IN e numero di condizione; stima di E_IN nel caso di un problema
modellizzato come f:R->R derivabile; generalizzazione della stima di E_IN
nel caso di problemi f:R^n->R; esempi sulle operazioni aritmetiche di moltiplicazione
e addizione fra numeri reali. Esempio: sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
- Ve.2/10/15, ore 13:30-16:00: Aula E2
Ripreso Esempio sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
Esempio: radici di un'eq. di secondo grado.
Esempio: espressione ((1+x)-1)/x: analisi di stabilita'.
Esempio: somma di n numeri reali.
Funzioni Polinomiali e Interpolazione
Richiami sui polinomi. Valutazione numerica di un polinomio.
- Me.7/10/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Valutazione numerica di un polinomio: metodo dalla definizione, metodo di Horner,
metodo di Ruffini; complessità computazionale. Valutazione numerica della derivata del polinomio.
Esempio numerico di valutazione e derivate.
Esempio di errore inerente. Stima di E_IN e applicazione nell'esempio visto.
Polinomi nella base con centro; stima di E_IN in questa base;
variazione delle componenti di E_IN: dipendenza dalla rappresentazione e non.
- Gi.8/10/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo.
Polinomi e invarianza per traslazione e scala (cambio di variabile).
Cambio di variabile per polinomi nella base di Bernstein;
analisi di E_IN nella base di Bernstein. Ripreso esempio numerico.
Proprieta' dei polinomi base di Bernstein; algoritmo di valutazione mediante
formula ricorrente sui pol. base di Bernstein (Alg.1).
- Ve.9/10/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Attivita' di Laboratorio.
Ambiente Octave/MatLab (istruzioni/comandi, built-in function) (vedi slide su 'Octave/MATLAB I parte' in Documenti);
Esercitazione 1 (vedi file pdf e archivio tgz in Download Materiale Lab).
- Me.14/10/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Algoritmo di valutazione di de Casteljau (Alg.2).
Cenno ad applicazioni dei polinomi nella base di Bernstein (curve di Bezier, teorema di Weierstrass).
Richiami ed esempio su polinomio di Taylor.
Problema dell'interpolazione polinomiale di funzioni e dati.
- Gi.15/10/15, ore 16:00-18:00: Aula VII Piano
Esistenza e unicita' del polinomio interpolante: sistema lineare e matrice di Vandermonde.
Esempi numerici. Interpolazione nella Forma di Newton: base con centri.
Interpolazione nella Forma di Lagrange: funzioni elementari di Lagrange.
- Ve.16/10/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Attivita' di Laboratorio.
Octave/MatLab (script e function) ancora su Esercitazione 1;
Octave/MatLab II (vedi lucidi 'IIparte' in Documenti); Esercitazione 2 (vedi file pdf e archivio tgz in Download Materiale Lab).
- Me.21/10/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Prima e seconda forma di Lagrange e complessità computazionale. Esempi numerici.
Interpolazione polinomiale nella base di Bernstein.
Errore di interpolazione polinomiale. Esempio.
Sulla convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; esempio test di Runge;
teorema di convergenza.
- Gi.22/10/15, ore 16:00-18:00: Aula VII Piano
Funzione polinomiale a tratti: motivazioni, differenze con il modello polinomiale, regolarita' e flessibilita'.
Svolti insieme gli esercizi D ed E dell'Esercitazione 2 di Laboratorio.
- Ve.23/10/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Attivita' di Laboratorio.
Octave/MatLab (script e function) ancora su Esercitazione 2;
Octave/MatLab III (vedi lucidi 'III parte' in Documenti); Esercitazione 3 (vedi file pdf e archivio tgz in Download Materiale Lab).
- Me.28/10/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Integrazione Numerica
Formule di Quadratura; formule interpolatorie polinomiali nella forma di Lagrange su punti equispaziati (formule di quadratura di Newton-Cotes); caso n=1 (trapezi); caso n=2 (Simpson).
Esempio numerico. Grado di precisione di una formula di quadratura.
- Gi.29/10/15, ore 16:00-18:00: Aula VII Piano
Errore di integrazione per trapezi e Simpson;
errore di integrazione per n dispari ed n pari.
Formule di quadratura composte; formule composte dei trapezi e di Simpson;
errore per le formule composte. Esempi numerici su formule composte.
- Ve.30/10/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Ancora su Esercitazione 3 su Grafica 2D e Polinomi;
Esercitazione 4: recupero esercitazioni precedenti (vedi file pdf).
- Me.4/11/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Estrapolazione di Richardson; metodi adattivi di integrazione basati su stima dell'errore.
Equazioni non lineari
Metodo di bisezione: ipotesi di applicazione, iterazioni del metodo e
test di arresto; metodo della falsa posizione, iterazioni del metodo e test di arresto.
- Gi.5/11/15, ore 16:00-18:00: Aula VII Piano
Metodo di Newton: ipotesi di applicazione, derivazione del metodo, iterazioni del metodo.
Interpretazione geometrica del metodo di Newton. Teorema di convergenza per successioni generate
da x_k+1=g(x_k) e interpretazione geometrica. Teorema di convergenza di Newton.
Esempi: radice quadrata di un numero e inverso di un numero.
- Ve.6/11/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Esercitazione 5: Interpolazione polinomiale (vedi file pdf e archivio tgz in Download Materiale Lab).
- Me.11/11/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Definizione di ordine di convergenza, risultati su ordine di convergenza per x_k+1=g(x_k).
Ordine di convergenza del metodo di Newton, per radici semplici; esempi.
Metodo delle secanti, teorema di convergenza, Ordine di convergenza. Errore Inerente. Test di arresto.
- Gi.12/11/15, ore 16:00-18:00: Aula VII Piano
Algebra Lineare Numerica
Soluzione di sistemi lineari quadrati: motivazioni;
Fattorizzazione LU di una matrice, soluzione del sistema a partire
dalla fattorizzazione LU (sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti
e all'indietro). Metodo di Gauss e matrici elementari di Gauss
per la fattorizzazione LU, complessita' computazionale.
- Ve.13/11/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Esercitazione 6: Integrazione Numerica (vedi file pdf e archivio tgz in Download Materiale Lab).
- Me.18/11/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Esempio di fattorizzazione e soluzione di un sistema lineare.
Applicazione della fattorizzazione per il calcolo del
determinante e dell'inversa di una matrice.
Fattorizzazione LU con scambio delle righe (o pivoting parziale).
- Gi.19/11/15, ore 16:00-18:00: Aula VII Piano
Esempio numerico sulla fattorizzazione con scambio delle righe.
Stabilita` numerica della fattorizzazione LU; fattorizzazione LU
con scambio delle righe e perno massimo.
- Ve.20/11/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Esercitazione 7: Equazioni non lineari (vedi file pdf e archivio tgz in Download Materiale Lab).
- Me.25/11/15, ore 16:00-18:00: Aula Vitali
Esempi numerici di fattorizzazione LU.
Richiami su norme vettoriali e norme matriciali; condizionamento del problema Ax=b.
- Gi.26/11/15, ore 16:00-18:00: Aula VII Piano
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari: motivazioni.
Richiami su autovalori e autovettori e convergenza di una successione di vettori.
Decomposizione della matrice, riscrittura del sistema e idea del metodo iterativo.
Complessita' computazionale. Teorema di convergenza; condizioni sufficienti per la convergenza.
- Ve.27/11/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Esercitazione 8: Fattorizzazione LU (vedi file pdf e archivio tgz in Download Materiale Lab).
- Gi.3/12/15, ore 16:00-18:00: Aula VII Piano
Ancora sulla convergenza. Test di arresto. Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel.
Condizioni sufficienti di convergenza. Esempi numerici.
- Ve.4/12/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Conclusione del corso riprendendo gli argomenti trattati (Numeri Finiti, Funzioni Polinomiali,
Interpolazione polinomiale, Integrazione Numerica, Equazioni non Lineari, Algebra Lineare Numerica)
- Ve.18/12/15, ore 13:30-16:30: Aula E2
Prova d'esame per chi ha seguito il corso.
Fine delle Lezioni.
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Documenti
Sitografia
Modalita' d'Esame
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