Contenuto
Rappresentazione dei dati su un elaboratore e aritmetica floating point. Approssimazione di dati sperimentali e approssimazione di funzioni mediante interpolazione polinomiale. Formule di quadratura per la stima di integrali di funzioni, calcolo degli zeri di funzioni non lineari e risoluzione di sistemi lineari. La parte teorica sarà affiancata da una attività di laboratorio in cui verrà utilizzato il sistema Matlab/Octave per la sperimentazione dei metodi proposti.

Testi Consigliati

• A. Quarteroni, R.sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer (2008);
• A. Quarteroni, F. Saleri, Calcolo Scientifico esercizi e problemi risolti con Matlab e Octave. Springer (2008);
• V.Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni, McGraw-Hill Libri Italia, (1995)

• R.Bevilacqua, D.Bini, M.Capovani, O.Menchi, Metodi numerici, Zanichelli (1992)
• J.Stoer, R.Bulirisch, Introduction to Numerical Analisys, (second edition) Springer Verlag (1997)
• I. Galligani, Elementi di Analisi Numerica, Calderini (1986)
• F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Vol.I e II, Pitagora Editrice Bologna (1985)

• Le lezioni inizieranno il 18 settembre 2023 con il seguente orario:
  martedì ore 9:00-12:00 Aula Magna (Psicologia)
  mercoledì ore 12:00-14:00 Aula Magna (Psicologia)
  venerdì ore 13:00-16:00 Aula Cremona (Dip. Matematica) LAB.

• Ma.19/09/23, ore 9:00-12:00: Aula Magna (Psicologia)
  Slide: Introduzione e informazioni sul corso. (file .pdf)
  Numeri Finiti
  Richiami sui numeri reali, rappresentazione in base, forma scientifica o normalizzata.
  Insieme F dei numeri finiti: base, mantissa, range degli esponenti. Esempio: dato l'insieme F(2,3,-1,2), determinare i suoi elementi e posizionarli sull'asse reale.
  Standard ANSI/IEEE 754 (1985): formati Basic-Single e Basic-Double, rispettivamente a 32 e 64 bit, rappresentazione in memoria (segno, esponente e mantissa) e relativi insiemi dei numeri finiti.
• Me.20/09/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Rappresentazione di un numero reale nell'insieme dei numeri finiti: approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento, rappresentazione dell'esponente (casi di underflow e overflow). Esempi in base 10 e base 2. Standard ANSI/IEEE 754 (1985): arrotondamento ai pari, Nan, Infinity e cenno ai Gradual underflow. Esercizio: si consideri il numero -13.9 in base 10 e si determini la sua rappresentazione in F(2,5,-3,4), quindi lo si rirappresenti in base 10. Richiamata conversione da base 10 a base 2 di un numero reale (parte intera e frazionaria) e svolto l'esercizio. Definizioni di Errore Assoluto e Relativo. Calcolo degli errori assoluto e relativo sulla rappresentazione del numero -13.9 dell'Esercizio precedente.
  Esercizio 1: Si consideri il numero +13.9 in base 10 e si determini la sua rappresentazione in F(2,4,-7,8).
• Ve.22/09/23, ore 13:00-16:00: Aula Tonelli (Dip.Mat.)
  Definizione di unita' di arrotondamento. Teorema di maggiorazione dell'errore relativo di rappresentazione. Verifica sull'errore relativo ottenuto nell'Esercizio. Corollario sulla rappresentazione di fl(a). Unita' di arrotondamento in Basic-Single e Basic-Double. Precisione e cifre significative in base 10 rispetto alle cifre di mantissa in base 2.
  Aritmetica floating point e precisione di calcolo. Esempio che in aritmetica finita non vale la proprieta' associativa dell'addizione.
  Caratterizzazione dell'unita' di arrotondamento, sia per arrotondamento (fl_A) che per arrotondamento ai pari (fl_AP).
  Soluzione dell Esercizio 1.
  Problema ben posto. Modellizzazione di un problema come f:R->R e piu' in generale come f:R^n->R.
  Analisi degli errori: in avanti e all'indietro. Esempio di analisi in avanti sulla moltiplicazione e sull'addizione di due numeri reali.
• Ma.26/09/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Cancellazione numerica. Esempio di cancellazione numerica. Condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo: Errori Totale, Inerente e Algoritmico. Teorema su E_TOT, E_IN ed E_ALG.
  Esempio di analisi in avanti per ricavare E_ALG ed E_IN nell' esempio dell'addizione di due reali. Esempio: espressione ((1+x)-1)/x: analisi in avanti di stabilita' e condizionamento. Stima di E_IN nel caso di un problema modellizzato come f:R->R differenziabile; numero di condizione. Esempio su sqrt(1-x).
• Me.27/09/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Ripreso l'esempio su sqrt(1-x) e concluso con esempio numerico.
  Generalizzazione della stima di E_IN nel caso di problemi f:R^n->R; numero/i di condizione. Esempi sulle operazioni aritmetiche di addizione e moltiplicazione fra numeri reali. Esempio: sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1).
• Ve.29/09/23, ore 13:00-16:00: Aula Tonelli (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Ambiente MatLab e script (istruzioni/comandi, built-in function) (vedi slide su 'MATLAB/Octave I parte' in Documenti).
  Vedi Esercitazione 1 in Download Materiale LAB: svolto insieme l'esercizio A1 e lasciato da terminare l'A2; completare l'esercizio sul fattoriale delle slide.
  L'esercitazione 1 verrà ripresa e completata la prossima lezione di LAB.
• Ma.3/10/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Funzioni Polinomiali
  Richiami sulle funzioni polinomiali. Valutazione numerica di una funzione polinomiale. Metodo dalla definizione in forma canonica, metodo di Horner, metodo di Ruffini; complessità computazionali. Esempio numerico di valutazione. Valutazione numerica della derivata. Esempio numerico di valutazione e valutazione della derivata. Esempio: E_ALG nel caso di valutazione polinomiale con il metodo di Ruffini-Horner di un polinomio lineare. Errore Algoritmico nella valutazione polinomiale con Ruffini/Horner.
• Ve.6/10/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Completata Esercitazione 1: corretto l'esercizio A.2 e svolti insieme gli esercizi B.1, B.2, B.3 e B.4.
  Script, function e grafici in Matlab (vedi slide su 'MATLAB/Octave II parte' in Documenti).
  Vedi Esercitazione 2 in Download Materiale LAB: svolto insieme l'esercizio A.1, lasciato da fare l'esercizio A.2.
• Ma.10/10/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Stima di E_IN per il problema della valutazione polinomiale; valutazione polinomio lineare: esempio numerico ed errore inerente. Base con centro ed E_IN per l'esempio del polinomio lineare. Stima di E_IN per valutazione di polinomi espressi in una generica base. Base dei polinomi di Bernstein su un intervallo. Propietà dei polinomi base di Bernstein. E_IN per l'esempio del polinomio lineare nella base di Bernstein ed esempio numerico.
• Me.11/10/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Ancora su valutazione polinomiale e riduzione dell'E_IN. Polinomi e cambio di variabile. Cambio di variabile per polinomi nella base di Bernstein.
  Esempio numerico nella base di Bernstein con riduzione di E_IN. Formula ricorrente per polinomi base di Bernstein. Algoritmo di valutazione (Alg.1), complessità computazionale e stabilità (E_ALG). Esempio numerico di valutazione con Alg.1.
• Ve.13/10/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Ripresa e comletata l'Esercitazione 2; lasciato da fare a casa l'esercizio B.6.
• Ma.17/10/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Algoritmo di valutazione di de Casteljau (Alg.2), complessita' computazionale. Esempio numerico di valutazione con Alg.2. Suddivisione di una funzione polinomiale. Formula per la derivata di polinomi base di Bernstein. Valutazione delle derivate e funzioni derivate di polinomi nella base di Bernstein. Primitiva di una funzione polinomialiale nella base di Bernstein e suo integrale.
• Me.18/10/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Esercizio 2: Dato il polinomio p(x) di grado 2 nella base di Bernstein di coefficienti [2,-2,2] definito in [2,6] valutarlo insieme alla sua derivata prima nel punto x=3, utilizzando tutti i metodi visti.
  Svolti alcuni punti insieme: cambio di variabile, valutazione usando Alg.1 e Alg.2, valutazione derivata prima usando Suddivisione/de Casteljau, polinomio derivata prima, derivata dei polinomi base di Bernstein di grado 2. Lasciato come compito di completare le parti mancanti e di calcolare l'integrale.
  Iniziata la presentazione delle slide Curve di Bézier e Grafica Vettoriale (vedi Documenti).
  Illustrato il corso online sulle Curve di Bézier e gli Esercizi relativi (vedi Corso online su Curve di Bézier) e quali sezioni ed esercizi guardare.
• Ve.20/10/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Numeri Finiti e libreria anmglib_4.0 per il disegno (vedi slide su 'MATLAB/Octave III parte' in Documenti).
  Vedi Esercitazione 3 in Download Materiale LAB: svolti insieme gli esercizi A.1 e A.4, presentato il toobox anmglib_4.0 e visti gli esercizi B.1, B.2, B.3; lasciati da completare B.4 e B.5.
• Ma.24/10/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Completata la presentazione delle slide Curve di Bézier e Grafica Vettoriale (vedi Documenti).
  Illustrato nuovamente il corso online sulle Curve di Bézier e gli Esercizi relativi (vedi Corso online su Curve di Bézier)
  Riprese e illustrate le slide Trasformazioni Geometriche 2D (vedi Documenti).
• Me.25/10/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Interpolazione Polinomiale
  Problema di interpolazione polinomiale di dati, funzioni e curve 2D. Teorema di esistenza e unicità del polinomio interpolante: sistema lineare e matrice di Vandermonde. Esempi numerici. Interpolazione nella Forma di Newton (base con n-centri). Soluzione via sistema lineare triangolare inferiore. Esempi su interpolazione nella base di Newton.
  Esercizio 3: Determinare il polinomio di interpolazione nella forma di Newton dei seguenti dati: x=[0,1,2],y=[0,1,2], poi di: x=[0,2,1], y=[0,0,1].
• Ve.27/10/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Ripresa e comletata l'Esercitazione 3. Lasciato da svolgere l'esercizio B.8 sulla falsariga di B.1.
• Ma.31/10/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Interpolazione nella forma di Bernstein, soluzione via sistema lineare con matrice totalmente positiva; complessità computazionale. Interpolazione nella Forma di Lagrange: funzioni elementari di Lagrange. Valutazione polinomio nella base di Lagrange: prima e seconda forma baricentrica; complessità computazionale. Interpolazione di punti 2D con una curva 2D nella base di Bernstein; parametrizzazione della corda; applicazione dell'interpolazione di dati con funzioni polinomiali nella base di Bernstein.
• Ve.3/11/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Funzioni Polinomiali e Curve 2D (Curve di Bézier).
  Vedi Esercitazione 4 in Download Materiale LAB: svolti insieme gli esercizi A.1, A.2, A.3 e A.4, lasciato da fare l'A.5. visti gli esercizi B.1, B.2 lasciato da fare, B.3, B.4, B.5, B.6 da completare; B.7 lo faremo.
• Ma.7/11/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Interpolazione di funzioni; teorema sull'errore di interpolazione polinomiale di funzioni. Esempioi su e^x e convergenza dell'interpolante all'aumentare del numero dei punti; fenomeno di Runge; distribuzione di Chebyshev e teorema di convergenza. Errore Inerente (condizionamento) per l'interpolazione polinomiale. Funzioni polinomiali a tratti: motivazioni, differenze con il modello polinomiale, regolarita' e flessibilita'. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti; esempio: interpolazione lineare a tratti C^0; risultato sulla convergenza e velicità di convergenza. Esempio: interpolazione quadratica a tratti C^0.
• Me.8/11/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Esempio: interpolazione cubica a tratti C^1 (interpolazione di Hermite).
  Integrazione Numerica
  Formule di quadratura di Newton-Cotes (formule interpolatorie nella forma di Lagrange su punti equispaziati); caso n=1 (trapezi), caso n=2 (Simpson).
• Ve.10/11/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Ripresi e svolti gli es. B.6 e B.7 dell'Esercitazione 4.
  Interpolazione polinomiale.
  Vedi Esercitazione 5 in Download Materiale LAB: svolti insieme gli esercizi A.1 e A.2, lasciati da fare A.3 e A.4; visti gli esercizi B.1, B.2, B.3 e B.4 lasciando alcune cose da completare.
• Ma.14/11/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Riprese formule dei Trapezi e Simpson; esempio; errori e generalizzazione per n pari ed n dispari. Grado di precisisone di una formula di quadratura. Formule composte; formule composte dei Trapezi e Simpsono; errori e convergenza; esempio.
  Esercizio 4: Si determini il passo da utilizzare nella formula di Simpson composta affinche' l'integrale fra 0 ed 1 di 1/(1+x) sia approssimato alla tolleranza 0.5x10^-3.
  Estrapolazione di Richardson nel caso Trapezi e Simpson Composto; metodi adattivi. Applicazione alla lunghezza ed area di una curva 2D nella base di Bernstein (curva di Bézier).
• Me.15/11/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Equazioni non lineari
  Metodo di bisezione: ipotesi di applicazione, iterazioni del metodo, test di arresto, velocità di convergenza. Metodo della falsa posizione, iterazione del metodo e test di arresto.
  Metodo di Newton o delle tangenti: ipotesi di applicazione, derivazione del metodo, iterazioni del metodo; interpretazione geometrica. Metodi di iterazione funzionale per punto fisso di una funzione. Teorema di convergenza per metodi di iterazione funzionale con dimostrazione.
• Ve.17/11/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Integrazione Numerica.
  Vedi Esercitazione 6 in Download Materiale LAB: svolti gli esercizi A.1 e A.2 (quest'ultimo lasciato da finire); svolto l'esercizio B.1 e parzialmente il B.2 (lasciato da completare). Descritti gli esercizi B.3, B.4 e B.5 da provare a fare in autonomia.
• Ma.21/11/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Interpretazione geometrica della condizione di convergenza. Teorema di convergenza del metodo di Newton con dimostrazione; test di arresto; definizione di ordine di convergenza; ordine di convergenza dei metodi di iterazione funzionale e del metodo di Newton, per radici semplici; esempio numerico; esempi: radice quadrata di un numero e inverso di un numero. Metodo delle secanti, teorema di convergenza, Ordine di convergenza. Errore inerente per f(x)=0.
• Me.22/11/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Algoritmo di Lane-Riesenfeld per zeri di un polinomio nella base di Bernstein in un intervallo; applicazioni al disegno vettoriale; suggerito di guardare altri argomenti nel corso on-line su curve di Bézier.
  Algebra Lineare Numerica
  Soluzione di sistemi lineari quadrati. Motivazioni.
• Ma.28/11/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Soluzione di un sistema lineare Ax=b mediante fattorizzazione LU della matrice A. Sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti e all'indietro e loro complessita' computazionale. Metodo di Gauss e matrici elementari di Gauss per la fattorizzazione LU. Esempio di fattorizzazione di una matrice. Formalizzazione dell'algoritmo di fattorizzazione di Gauss. Complessita' computazionale della fattorizzazione LU. Applicazione della fattorizzazione per il calcolo dell'inversa e del determinante di una matrice. Esempio di fattorizzazione di una matrice. Fattorizzazione LU con scambio delle righe (o pivoting parziale).
• Me.29/11/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Esempio numerico sulla fattorizzazione con scambio delle righe. Analisi all'indietro per la stabilita' della fattorizzazione LU e definizione di stabilità in senso forte e debole della fattorizzazione LU. Fattorizzazione LU con scambio delle righe e perno massimo. Esempi numerici. Proposto un esercizio di fattorizzazione da svolgere in autonomia. Esempio in cui si confronta il risultato ottenuto in aritmetica finita operando senza e con perno massimo.
• Ve.1/12/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Vedi Esercitazione 7 in Download Materiale LAB.
  Svolti gli esercizi A.1, A.2 e A.4, lasciato da fare A.3; svolto l'esercizio B.1 e lasciato da completare, descritto il procedimento di B.2 e B.3, svolto B.4 e B.5 (quest'ultimo lasciato da completare.
• Ma.5/12/23, ore 10:00-12:00: Aula Magna Psicologia
  Condizionamento del problema Ax=b. Norme vettoriali, norme matriciali e norma matriciale indotta. Indice di condizionamento di una matrice.
  Soluzione di un sistema lineare mediante fattorizzazione QR. Matrici elementari di Householder. Esempio.
• Me.6/12/23, ore 12:00-14:00: Aula Magna (Psicologia)
  Algoritmo di fattorizzazione QR, implementazione ottimale, complessita` computazionale, stabilita` numerica.
  Soluzione di sistemi lineari mediante metodi iterativi: motivazioni. Decomposizione della matrice, riscrittura del sistema e idea del metodo iterativo. Richiami su convergenza di una successione di vettori. Teorema di convergenza; condizioni sufficienti per la convergenza. Test di arresto. Cenno ai metodi di Jacobi e Gauss-Seidel.
• Ma.12/12/23, ore 9:00-12:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Attivita' di Laboratorio
  Vedi Esercitazione 8 in Download Materiale LAB. Gli esercizi della parte A sono stati ispiegati e svolti in aula, ma in autonomia; alla fine ripresi dal docente; svolti insieme gli esercizi B.1 e B.2.
• Ve.15/12/23, ore 13:00-16:00: Aula Cremona (Dip.Mat.)
  Incontro in preparazione del preappello. Simulazione della procedura d'esame. Simulazione di esercizio d'esame.
  Fine delle Lezioni

• Indicazioni principali
• FAQ sul compito d'esame

• Dispensa del Corso (file .pdf)
• IEEE Standard 754, 1985 (file .pdf)
• IEEE Standard 754, 2008 (file .pdf)
• What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, by David Goldberg (file .pdf)
• gc_matlab_Iparte.pdf Slide su 'MATLAB/Octave I parte' (file pdf)
  
• gc_matlab_IIparte.pdf Slide su 'MATLAB/Octave II parte' (file pdf)
  
• bezier_vector_graphics.pdf Slide su Curve di Bézier e Grafica Vettoriale (file pdf)
• numerifiniti.pdf Slide 'Sui Numeri Finiti' (file pdf)
  
• gc_matlab_IIIparte.pdf Slide su 'Octave/MATLAB III parte' (file pdf)
  
• trasformazioni_2D.pdf Slide su Trasformazioni Geometriche 2D (file pdf)
  
• LAB4_curve2d.pdf Slide su Valutazione Polinomiale e Curve 2D (file pdf)
  

• Online book on Bézier Curves
  (Guardare le sezioni 1-13 saltando le 2, 6 e 11);
  (Guardare le sezioni 15, 16 (saltando 'quartic curves' e 'quintic and higher degree curves'), 17-19, 24-25, 27-28, 31, 35-36 e 39).
• Exercises and Examples on Bézier Curves (Fare gli esercizi 1-10 saltando il 9).

• mnc2223_es1.pdf (Esercitazioni 1)
  
• matlab_mnc2223_1.zip (script Matlab per Esercitazione 1)
  mnc2324_es2.pdf (Esercitazione 2)
  
• matlab_mnc2324_2.zip (script Matlab per Esercitazione 2)
  
• anmglib_user_guide.pdf (Guida al toolbox anmglib_4.0)
  
• anmglib_4.0.zip (toolbox anmglib 4.0)
  
• mnc2324_es3.pdf (Esercitazione 3)
  
• matlab_mnc2324_3.zip (script Matlab per Esercitazione 3)
  
• mnc2324_es4.pdf (Esercitazione 4)
  
• matlab_mnc2324_4.zip (script Matlab per Esercitazione 4)
  
• mnc2324_es5.pdf (Esercitazione 5)
  
• matlab_mnc2324_5.zip (script Matlab per Esercitazione 5)
  
• mnc2324_es6.pdf (Esercitazione 6)
  
• matlab_mnc2324_6.zip (script Matlab per Esercitazione 6)
  
• mnc2324_es7.pdf (Esercitazione 7)
  
• matlab_mnc2324_7.zip (script Matlab per Esercitazione 7)
  
• mnc2324_es8.pdf (Esercitazione 8)
  
• matlab_mnc2324_8.zip (script Matlab per Esercitazione 8)

• ANSI/IEEE Std 754-1985
• MATLAB The Language of Technical Computing
• Octave home page

• Vedi: modalità d'esame