Lun.29/10/01, ore 9-11: teorema di esistenza e unicita` del polinomio
interpolante con dimostrazione; forma di Lagrange: polinomi elementari di
Lagrange, valutazione
numerica di un polinomio nella forma di Lagrange, costo computazionale;
forma di Newton: definizione di differenza divisa, espressione del polinomio
interpolante nella forma di Newton, teorema che giustifica la forma di Newton
con dimostrazione.
Per gli studenti Vecchio Ordinamento: fare i seguenti esercizi di Laboratorio:
Foglio esercizi (C1) (formato PostScript)
Lun.05/11/01, ore 9-11: Formula ricorrente per il calcolo delle differenze
divise; schema triangolare e pseudocodice per differenze divise necessarie per
determinare il polinomio interpolante nella forma di Newton; complessita`, esempi;
esempio test della funzione di Runge e non convergenza del polinomio interpolante
all'aumentare dei punti di interpolazione; errore di interpolazione polinomiale
nel caso di funzioni regolari, esempio in cui di tale errore si puo` dare
una stima superiore e convergenza dell'interpolante alla funzione all'aumentare
dei punti; risultato sulla convergenza nell'intervallo di interpolazione del
polinomio interpolante nel caso di funzione almeno C^1 e punti scelti come zeri
dei polinomi di Chebyshev di grado n+1; approssimazione minimi quadrati, problema
di determinare il minimo di una funzione quadratica in piu` variabili.
Gio.08/11/01, ore 11.30-13.30: metodo delle equazioni normali per la soluzione
del problema di approssimazione ai minimi quadrati, caso polinomiale, retta di
regressione lineare, esempio numerico; cenno all'esistenza di una classe di
funzioni utilizzate in pratica al posto dei polinomi e chiamata spline.
Per gli studenti Vecchio Ordinamento approfondire l'argomento spline sulle
seguenti dispense:
Funzioni Spline (formato PostScript gzip)
e fare i seguenti esercizi di Laboratorio:
Foglio esercizi (C2) (formato PostScript)
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Foglio esercizi (C3) (formato PostScript)
del foglio esercizi (C3) fare solo i punti 1. e 4.
Integrazione Numerica o Quadratura Numerica, formule interpolatorie,
funzioni cardinali, richiamo sui polinomi elementari di Lagrange,
iintroduzione alle formule di quadratura di Newton-Cotes.
Lun.12/11/01, ore 9-11: formule di Newton-Cotes per n=1 (trapezi) ed n=2
(Simpson); esempio, errore di integrazione, formule composte, formule composte
dei trapezi e di Simpson, errore di integrazione, esempio; cenni su estrapolazione
di Richardson e formule adattive per l'approssimazione numerico di un integrale
definito ad una tolleranza fissata.
Per gli studenti Vecchio Ordinamento fare i seguenti esercizi di Laboratorio:
Foglio esercizi (C4) (formato PostScript) solo il punto 1.
Gio.15/11/01, ore 11.30-13.30: equazioni non lineari: metodo di bisezione, metodo
iterativo e test di arresto, accorgimenti implementativi; metodo di Newton, teorema di
convergenza, ordine di convergenza.
Lun.19/11/01, ore 9-11: ordine di convergenza quadratica del metodo di Newton per
radici semplici e lineare per radici multiple, esempi numerici, test di arresto,
condizionamento del problema.
Gio.21/11/01, ore 11.30-13.30: metodo delle secanti, teorema di convergenza,
ordine di convergenza, polialgoritmo per la ricerca delle radici reali di f(x)=0
in un intervallo.
Per gli studenti Vecchio Ordinamento fare i seguenti esercizi di Laboratorio
sulle radici di equazioni non lineari:
Foglio esercizi (C5) (formato PostScript compresso)
Soluzione di un sistema lineare, motivazioni; metodi diretti, fattorizzazione
LU di una matrice, esistenza della fattorizzazione, soluzione del sistema a
partire dalla fattorizzazione LU, metodo di Gauss e matrici elementari di Gauss.
Lun.26/11/01, ore 9-11: Algoritmo di fattorizzaziole LU di Gauss,
complessita` computazionale, esempio di fattorizzazione e soluzione di un
sistema lineare, applicazione della fattorizzazione per il calcolo del
determinante e dell'inversa di una matrice, fattorizzazione LU con scambio
delle righe, esempio, stabilita` numerica di LU, fattorizzazione LU
conscambio delle righe e perno massimo, stabilita` di LU in senso debole.
Gio.29/11/01, ore 11.30-13.30: Condizionamento del problema Ax=b;
norme vettoriali: definizione, proprieta`, esempi, teorema di equivalenza;
norme matriciali: definizione, proprieta`, norme indotte, ulteriori proprieta`,
esempi; condizionamento nel caso di perturbazione del termine noto, nel
caso di perturbazione della matrice dei coefficienti, teorema generale del
condizionamento di Ax=b, numero di condizione.
Lun.01/12/01, ore 9-11: Soluzione di un sistema lineare mediante fattorizzazione
QR della matrice, matrici elementari di Householder, esempio, soluzione del sistema
senza esplicito calcolo della matrice Q, complessita` computazionale.
Gio.06/12/01, ore 11.30-13.30: ripreso il costo computazionale, applicazione
di QR a matrici rettangolari e cenno alla soluzione di sistemi sovradeterminati
con aggancio al problema dei minimi quadrati, stabilita` della fattorizzazione QR.
Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari, motivazioni, convergenza di
una successione di vettori e risultati preliminari, idea generale dei metodi iterativi,
teorema di convergenza, condizioni sufficienti per la convergenza.
Lun.10/12/01, ore 9-11: Controllo della convergenza di un metodo iterativo, test
di arresto, metodi di Jacobi e Gauss-Seidel, esempi.
Per gli studenti Vecchio Ordinamento approfondire l'argomento Gradienti Coniugati
mediante la seguente nota:
Gradienti Coniugati (O'Leary) (formato PostScript gzip)
Per gli studenti Vecchio Ordinamento fare i seguenti esercizi di Laboratorio
riguardanti argomenti di algebra lineare numerica:
Foglio esercizi (C6) (formato PostScript compresso) Algebra Lineare in Matlab
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Foglio esercizi (C7) (formato PostScript compresso) Applicazione e costo di LU
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Foglio esercizi (C8) (formato PostScript compresso) Stabilita` di LU
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Foglio esercizi (C9) (formato PostScript compresso) Condizionamento di matrici
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Foglio esercizi (C10) (formato PostScript compresso) Fattorizzazione QR
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Foglio esercizi (C11) (formato PostScript compresso) Metodi iterativi e Autovalori
Gio.13/12/01, ore 11.30-13.30: Autovalori e Autovettori di una matrice;
raggio spettrale, polinomio ed equazione caratteristica associata ad una matrice,
esempio, matrice companion o di Frobenius, esempio, proprieta` degli autovalori
e degli autovettori, matrici simili e trasformazioni per similitudine, matrice
diagonalizzabile, esempio, forma normale (reale) di Schur, condizionamento del
problema del calcolo degli autovalori.
Lun.17/12/01, ore 9-11: Introduzione ai metodi per il calcolo degli autovalori,
riduzione di una matrice a forma di Hessemberg superiore, metodo QR per il calcolo
di tutti gli autovalori di una matrice, costo computazionale e stabilita`.
Applicazione del calcolo degli autovalori per la valutazione di curve utilizzte
nel grafica computazionale; estensione dello stesso principio a superfici.
Dimostrazione in aula mediante la visione di alcuni programmi.
Fine del Corso
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