Analisi Numerica (C.d.S. Triennale in Informatica)

Argomenti trattati a Lezione

• Mer.02/10/02, ore 9-11: richiami sui numeri reali e loro rappresentazione, forma scientifica; numeri finiti: approssimazione della mantissa per troncamento e arrotondamento, range degli esponenti, insieme F dei numeri finiti, esempio/esercizio sulla distribuzione dei numeri finiti sull'asse reale prendendo come esempio F(2,3,-1,2), memorizzazione dei numeri finiti (segno, esponente e mantissa), esempio.
• Lun.07/10/02, ore 11-13: cenni su standard ANSI/IEEE 754-1985, definizione di errore assoluto e relativo, definizione di Unita' di arrotondamento, teorema su maggiorazione dell'errore relativo, corollario sulla rappresentazione di fl(a), caratterizzazione unita' di arrotondamento, unita' di arrotondamento in IEEE Basic-Single e Basic-Double e precisione in termini di cifre decimali, aritmetica floating point, non valgono le classiche proprieta' (esempio su proprieta' associativa dell'addizione), analisi degli errori in avanti e all'indietro, esemplificazione, analisi in avanti per la moltiplicazione di due numeri reali.
• Mer.09/10/02, ore 11.00-13.00: analisi in avanti per l'addizione su due reali, cancellazione numerica, condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo, formalizzazione mediante teorema che lega E_TOT, E_IN ed E_ALG, numero di condizione, problema del tipo f:R->R ed espressione per E_IN, problema del tipo f:R^n->R e ed espressione per E_IN, problema del tipo f:R^n->r^m; formulazione per E_ALG; esempio di E_IN per la moltiplicazione e l'addizione di due reali, connessione con quanto trovato per lo stesso problema eseguendo l'analisi in avanti degli errori; esempio di sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1);
• Lun.14/10/02, ore 10.30-12.30: E_IN per il problema sqrt(x_1+x_2) - sqrt(x_1); problema esempio per la determinazione delle radici di un'eq. di secondo grado; valutazione di un polinomio: esempio numerico per un polinomio lineare; E_IN per il problema dell'esempio; condizionamento di una base polinomiale; base delle potenze traslate; riformulazione del problema mediante cambio di base ed esempio numerico per lo stesso polinomio lineare; E_IN per quest'ultimo esempio; introduzione discorsiva alla base dei polinomi di Bernstein.
• Mer.15/10/02, ore 9.00-11.00: definizione della base dei polinomi di Bernstein su un intervallo, esempio numerico per lo stesso polinomio lineare della lazione precedente; base dei polinomi di Bernstein nell' intervallo [0,1] e loro invarianza per traslazione e scala; proprieta', formula ricorrente per la loro definizione in [0,1], algoritmo di de Casteljau per la valutazione di un polinomio rappresentato nella base di Bernstein; complessita' computazionale; valutazione di un polinomio nella base monomiale; algoritmo di Ruffini-Horner, complessita' computazionale;
• Lun.21/10/02, ore 10.30-12.30: ripreso algoritmo di Ruffini-Horner a partire dalla divisione di un polinomio per un binomio; valutazione della derivata di un polinomio; esempi numerici; intepolazione di dati con funzioni di un assegnato spazio; scelta dello spazio dei polinomi per l'interpolazione; esistenza e unicita' del polinomio interpolante via soluzione di un sistema lineare con matrice di Vandermonde; >Mer.13/10/02, ore 9.00-11.00: interpolazione polinomiale nella base di Bernstein; interpolazione polinomiale nella base di Lagrange (funzioni cardinali); esempi numerici; differenze divise; interpolazione polinomiale nella base di Newton; Teorema sull'interpolazione nella forma di Newton; formula ricorrente per le differenze divise; applicazione di tale formula;
• Lun.28/10/02, ore 10.30-12.30: pseudocodice per il calcolo delle differenze divise e loro complessita' computazionale; esempi numerici; aggiunta di un punto di interpolazione con la forma di Newton; errore di interpolazione polinomiale nel caso di funzioni regolari; esempio in cui di tale errore si puo` dare una stima superiore e convergenza dell'interpolante alla funzione all'aumentare dei punti; esempio test della funzione di Runge e non convergenza del polinomio interpolante all'aumentare dei punti di interpolazione; risultato sulla convergenza nell'intervallo di interpolazione del polinomio interpolante nel caso di funzione almeno C^1 e punti scelti come zeri dei polinomi di Chebyshev di grado n+1; cenno all'esistenza di una classe di funzioni utilizzate in pratica al posto dei polinomi e chiamata spline.
• Mer.30/10/02, ore 9.00-11.00: approssimazione minimi quadrati; problema di determinare il minimo di una funzione quadratica in piu` variabili: metodo delle equazioni normali; caso polinomiale, retta di regressione lineare, esempio numerico.
• Lun.04/11/02, ore 10.30-12.30: Integrazione Numerica o Quadratura Numerica, formule interpolatorie, funzioni cardinali e polinomi elementari di Lagrange, introduzione alle formule di quadratura di Newton-Cotes; formule di Newton-Cotes per n=1 (trapezi) ed n=2 (Simpson); esempio; errore di integrazione per trapezi e Simpson; formule composte: formule composte dei trapezi ed errore di integrazione.
• Mer.06/11/02, ore 9.00-11.00: formule composte di Simpson, errore di integrazione, esempio; cenni su estrapolazione di Richardson e formule adattive per l'approssimazione numerica di un integrale definito ad una tolleranza fissata. Equazioni non lineari: metodo di bisezione, ipotesi di applicazione, iterazioni del metodo e test di arresto, accorgimenti implementativi; metodo di Newton, ipotesi di applicazione, derivazione del metodo, iterazioni del metodo e test di arresto;
• Lun.11/11/02, ore 10.30-12.30: teorema di convergenza del metodo di Newton, definizione di ordine di convergenza di una successione, ordine di convergenza quadratica del metodo di Newton per radici semplici e lineare per radici multiple, esempi numerici, ulteriori test di arresto per il condizionamento del problema. Applicazione del metodo di Newton per determinare la radice quadrata e l'inverso di un numero.
• Mer.13/11/02, ore 9.00-11.00: metodo delle secanti, teorema di convergenza, ordine di convergenza. Soluzione di un sistema lineare: motivazione di metodi a complessita` computazionale accettabile; metodi diretti, fattorizzazione LU di una matrice, soluzione del sistema a partire dalla fattorizzazione LU (sistemi Ly=b ed Ux=y per sostituzioni in avanti e all'indietro), metodo di eliminazione di Gauss e matrici elementari di Gauss per la fattorizzazione LU, complessita' computazionale.
• Lun.18/11/02, ore 10.30-12.30: esempio di fattorizzazione e soluzione di un sistema lineare; applicazione della fattorizzazione per il calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice; fattorizzazione LU con scambio delle righe; esempio; stabilita` numerica di LU; fattorizzazione LU conscambio delle righe e perno massimo; stabilita` di LU in senso debole.
• Mer.20/11/02, ore 9.00-11.00: Condizionamento del problema Ax=b; norme vettoriali: definizione, proprieta`, esempi, teorema di equivalenza; norme matriciali: definizione, proprieta`, norme indotte, ulteriori proprieta`, esempi; condizionamento nel caso di perturbazione del termine noto, nel caso di perturbazione della matrice dei coefficienti, teorema generale del condizionamento di Ax=b, numero di condizione.
• Lun.25/11/02, ore 10.30-12.30: Soluzione di un sistema lineare mediante fattorizzazione QR della matrice; matrici elementari di Householder; esempio; soluzione del sistema senza esplicito calcolo della matrice Q.
• Mer.27/11/02, ore 9.00-11.00: complessita` computazionale della soluzione di un sistema lineare via fattorizzazione QR; stabilita` della fattorizzazione QR; applicazione di QR a matrici rettangolari e soluzione di sistemi sovradeterminati con aggancio al problema dei minimi quadrati. Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari, motivazioni. Richiami su autovalori e autovettori di una matrice: raggio spettrale, polinomio ed equazione caratteristica associata ad una matrice, esempio, matrice companion o di Frobenius, esempio.
• Lun.02/12/02, ore 10.30-12.30: convergenza di una successione di vettori e risultati preliminari; metodi iterativi; decomposizione della matrice e successione di vettori; teorema di convergenza; condizioni sufficienti per la convergenza; controllo della convergenza di un metodo iterativo; test di arresto.
• Mer.04/12/02, ore 9.00-11.00: la lezione e' stata spostata.
• Lun.09/12/02, ore 10.30-12.30: metodi di Jacobi e Gauss-Seidel, esempi. Proprieta' degli autovalori, matrici simili e trasformazioni per similitudine, matrice diagonalizzabile, esempio.
• Mer.11/12/02, ore 9.00-11.00: forma normale (reale) di Schur, introduzione ai metodi, riduzione di una matrice a forma di Hessemberg superiore, esempio, metodo di Francis o QR per il calcolo degli autovalori di una matrice, costo computazionale e stabilita`, condizionamento del problema del calcolo degli autovalori.
• Ven.13/12/02, ore 9.30-11.30: Applicazione del calcolo degli autovalori per la valutazione di curve utilizzate nel grafica computazionale; estensione dello stesso principio a superfici.

Appelli d'esame

• Prova Scritta: Martedi` 07/01/03 ore 15.00, Cremona + VII piano (A-L ed M-Z congiuntamente).
• Prova Orale: Venerdi` 10/01/03 ore 10.00, VII piano (A-L ed M-Z congiuntamente).

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  ATTENZIONE: le date sopra indicate per il primo appello SONO CONFERMATE.

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• Prova Scritta: Mercoledi` 05/02/03 ore 10.00 , Cremona + VII piano (A-L ed M-Z congiuntamente).
• Prova Orale: Venerdi` 07/02/03 ore 10.00, VII piano (A-L ed M-Z congiuntamente).