A.A. 2005-2006
Nata dal tentativo di de-assiomatizzare la termodinamica deducendola
dalla
teoria corpuscolare
della materia la disciplina che va sotto il nome di Meccanica
Statistica fornisce oggi uno schema
concettuale adatto a formulare e risolvere problemi di varia natura
quando
i sistemi indagati sono
composti da un grande numero di unità e le grandezze
studiate
sono quelle medie.
Il corso intende fornire una introduzione ad alcuni dei risultati
rigorosi della disciplina e alle
tecniche che essa utilizza. Inoltre, attraverso l'illustrazione di
esempi,
si vuole anche fornire una
opportunità per conoscere i metodi della modellizzazione
cioe
del processo che porta dalla
formulazione empirica di un problema alla sua formulazione matematica.
Tra i possibili argomenti:
Introduzione
- strumenti di calcolo delle
probabilita
- stati ed osservabili, il
teorema GNS
- modelli Hamiltoniani
- spazi di probabilità ,
variabili aleatorie, medie e medie condizionate
- legge dei grandi numeri,
teorema limite centrale
- cammini aleatori e moto
Browniano
- processi discreti e processo di
Poisson
- catene di Markov e teorema
ergodico
- le misure di Boltzmann-Gibbs,
energia, entropia ed energia libera
- la famiglia di correlazioni, lo
stato di equilibrio
Il limite termodinamico e lo stato di Boltzmann-Gibbs
- il limite termodinamico
- modelli su reticoli a dimensione finita, modelli di campo medio
- le equazioni Dobrushin-Lanford-Ruelle
- il principio variazionale entropico e le equazioni di campo medio
- dinamiche di campo medio
Soluzioni esatte - modello di Ising d=1 con condizioni al bordo arbitrarie
- modello di Ising d=2 con campo nullo e condizioni perioche
- modello di Potts
- le algebre di Temperley-Lieb
- invarianti topologici, polinomio cromatico e polinomio di Jones.
La cluster expansion
- il controllo analitico delle variabili termodinamiche
- la cluster expansion, parte combinatoria ed analitica
- il prodotto di Dirichlet, le equazioni ricorsive per le funzioni Zeta
- metodo del punto fisso e delle contrazioni su spazi di Banach
- stime del raggio di convergenza
Sistemi complessi - i modelli a interazioni competitive
- un semplice modello per i mercati finanziari
- il problema dello spin glass
- il modello SK e i modelli a dimensione finita
- la distribuzione delle overlap, la soluzione di Parisi
- problemi di ottimizzazione combinatoria NP completi e approccio meccanico statistico
- stabilita stocastica nel campo medio e nei modelli a dimensione finita
- modelli seno ed equivalenza degli ensemble
Informazioni piu dettagliate verranno fornite durante la lezione
introduttiva.