Didattica:


          MECCANICA STATISTICA
          A.A. 2006-2007



Nata dal tentativo di de-assiomatizzare la termodinamica deducendola dalla teoria corpuscolare
della materia la disciplina che va sotto il nome di Meccanica Statistica fornisce oggi uno schema
concettuale adatto a formulare e risolvere problemi di varia natura quando i sistemi indagati sono
composti da un grande numero di unità e le grandezze studiate sono quelle medie.

Il corso intende fornire una introduzione ad alcuni dei risultati rigorosi della disciplina e alle
tecniche che essa utilizza. Inoltre, attraverso l'illustrazione di esempi, si vuole anche fornire una
opportunità per conoscere i metodi della modellizzazione cioe del processo che porta dalla
formulazione empirica di un problema alla sua formulazione matematica.

  Lezione introduttiva: giovedi' 22 febbraio 2007

Tra i possibili argomenti:

    Introduzione

        - strumenti di calcolo delle probabilita
        - stati ed osservabili, il teorema GNS
        - modelli  Hamiltoniani
        - spazi di probabilità , variabili aleatorie, medie e medie condizionate
        - legge dei grandi numeri, teorema limite centrale
        - cammini aleatori e moto Browniano
        - processi discreti e processo di Poisson
        - catene di Markov e teorema ergodico
        - le misure di Boltzmann-Gibbs, energia, entropia ed energia libera
        - la famiglia di correlazioni, lo stato di equilibrio  


    Il limite termodinamico e lo stato di Boltzmann-Gibbs

        - il limite termodinamico
        - modelli su reticoli a dimensione finita, modelli di campo medio
        - le equazioni Dobrushin-Lanford-Ruelle
        - il principio variazionale entropico e le equazioni di campo medio
        - dinamiche di campo medio 

    Soluzioni esatte - modello di Ising d=1 con condizioni al bordo arbitrarie

        - modello di Ising d=2 con campo nullo e condizioni perioche
        - modello di Potts
        - le algebre di Temperley-Lieb
        - invarianti topologici, polinomio cromatico e polinomio di Jones.  

    La cluster expansion

        - il controllo analitico delle variabili termodinamiche
        - la cluster expansion, parte combinatoria ed analitica
        - il prodotto di Dirichlet, le equazioni ricorsive per le funzioni Zeta
        - metodo del punto fisso e delle contrazioni su spazi di Banach
        - stime del raggio di convergenza 

    Sistemi complessi - i modelli a interazioni competitive

        - un semplice modello per i mercati finanziari
        - il problema dello spin glass
        - il modello SK e i modelli a dimensione finita
        - la distribuzione delle overlap, la soluzione di Parisi
        - problemi di ottimizzazione combinatoria NP completi e approccio meccanico statistico
        - stabilita stocastica nel campo medio e nei modelli a dimensione finita
        - modelli seno ed equivalenza degli ensemble
 

Informazioni piu dettagliate verranno fornite durante la lezione introduttiva.