Definizione di integrale di Riemann per funzioni reali definite su di un
intervallo compatto di R. Funzioni continue a tratti e
C(1) a tratti, integrabilità delle funzioni
continue a tratti. Definizione di funzione localmente integrabile secondo
Riemann e di integrale generalizzato secondo Riemann. Teorema fondamentale
del calcolo integrale per funzioni continue a tratti. Teorema di
integrazione per parti per funzioni C(1) a tratti.
Integrale e integrale generalizzato per funzioni complesse di una variabile
reale.
Integrale di Lebesgue per funzioni complesse definite su sottoinsiemi
misurabili di R e di Rn. Il Teorema di convergenza
dominata e le sue conseguenze: continuità e derivabilità
degli integrali dipendenti da un parametro. I Teoremi di Fubini e di
Tonelli. Definizione e proprietà della convoluzione di due funzioni
sommabili. Altri tipi di funzioni che si possono convolvere.
Serie numeriche in C. Successioni e serie di funzioni: convergenza puntuale e uniforme. Scambiabilità di passaggi al limite. Convergenza totale di una serie di funzioni. Serie di potenze: raggio di convergenza, proprietà delle funzioni analitiche (somme di serie di potenze con raggio di convergenza positivo).
Definizione di funzione complessa di una variabile complessa olomorfa e condizioni di Cauchy-Riemann. Definizione di curva nel piano complesso regolare, regolare a tratti, aperta, chiusa, semplice. Definizione di integrale complesso su di una curva regolare a tratti. Primitive di una funzione di una variabile complessa. Indipendenza dal cammino dell’integrale complesso di una funzione che ammette primitive. Il Teorema di Jordan sulle curve semplici e chiuse e l’interno di una curva semplice e chiusa. Il teorema di Cauchy, il teorema di deformazione e la formula integrale di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe. Principio di identità per le funzioni analitiche. Punti singolari isolati di una funzione olomorfa: singolarità eliminabili, polari, essenziali. Cenno alle serie di Laurent. Residuo di una funzione olomorfa in un punto singolare isolato, teorema dei residui. Calcolo di integrali di funzioni reali e complesse per mezzo del teorema dei residui.
Definizione di trasformata di Laplace, ascissa di convergenza. Proprietà formali della trasformata di Laplace. Olomorfia della trasformata di Laplace. Teoremi del valore iniziale e del valore finale. Antitrasformata di Laplace. Applicazione alle equazioni differenziali ordinarie.
Definizione di spazio vettoriale normato e di spazio con prodotto scalare (su C). Completezza di un spazio normato. Spazi di Banach e spazi di Hilbert. Esempi di spazi di successioni e di funzioni (C([a,b]; C), ℓ2, L1, L2). Densità in L1 e in L2 delle funzioni C(∞) a supporto compatto. Sistemi di vettori ortogonali e ortonormali in uno spazio con prodotto scalare. Proiezione di un vettore su di un sottospazio di dimensione finita e disuguaglianza di Bessel. Sistemi di vettori ortogonali. Il teorema di Fisher-Riesz. Identità di Parseval. Il sistema dei fasori è totale in L2(0,T). Serie di Fourier di una funzione periodica di L2(0,T). Coefficienti di Fourier in forma complessa e reale. Convergenza in media quadratica della serie di Fourier. Serie di Fourier di una funzione periodica di L1(0,T). Lemma di Riemann-Lebesgue. Convergenza puntuale di una serie di Fourier: nucleo di Dirichlet, condizione di Dini. Condizioni sufficienti di convergenza puntuale: C(1) a tratti, criterio di Dirichlet.
Definizione di trasformata di Fourier di una funzione sommabile. Continuità e convergenza a zero all’infinito della trasformata di Fourier. Proprietà formali della trasformata di Fourier. Il teorema di inversione per funzioni con trasformata sommabile. Il teorema di inversione nel caso generale. Lo spazio S delle funzioni C(∞) a decrescenza rapida. Isometria della trasformazione di Fourier in S. La trasformata di Fourier per le funzioni di L2. Il teorema di Plancherel e l’uguaglianza di Plancherel-Parseval. La trasformata di Fourier delle funzioni a supporto compatto. Il principio di indeterminazione. Il teorema di Shannon. Cenni sulla trasformata di Fourier per funzioni di due variabili: definizioni ed estensioni dei risultati per la trasformata di Fourier per le funzioni di una variabile. Simmetria radiale della trasformata di Fourier di una funzione a simmetria radiale.