RISPOSTE ESATTE (V) ai quesiti della prova finale di Geometria e Algebra t (Ing. En. Elettrica e dell'Automazione) del 18/1/2019.

1) d

1')a

Propr. IV'.
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2) ad

a: Def. 2.9. Due divisori dello zero si ottengono ponendo (a,b) = (1,0) in una matrice, (a,b) = (0,1) nell'altra.
d: sulle matrici diagonali reali il prodotto è commutativo.

2')bd

È un anello isomorfo al campo dei reali.
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3) c

3')b

Def. 7.1.
0 è un autovalore: gli autovettori corrispondenti sono le successioni il cui primo elemento è nullo.
1 è un autovalore: gli autovettori corrispondenti sono le successioni costanti.
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4) bc

4')ad

Teor. 4.41. Prop. 4.40.
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5) d

Prop. 8.4(c).

5')b

Prop. 8.4(b).
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6) c

6')abd

Prop. 12.86(c2), Teor. 12.88(c2).
Si noti che la quadrica degenere b ha infiniti punti (per esempio (1,0,0)); la quadrica degenere d contiene il punto (0,0,0).
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7) b

Una singola equazione in uno spazio di dimensione 2 rappresenta un sottospazio di dimensione 2-1=1, cioè una retta. Prop. 9.33, considerando che l'asse x ha equazione y=0. [Si noti che l'"assenza" della incognita y garantisce il parallelismo con l'asse coordinato y.]

7')c

Una singola equazione in uno spazio di dimensione 3 rappresenta un sottospazio di dimensione 3-1=2, cioè un piano. Prop. 9.31, considerando che l'asse x ha coefficienti direttori (1,0,0). [Si noti che l'"assenza" delle incognite y e z garantisce il parallelismo con gli assi coordinati y e z.]
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8) bd

Def. 5.1.
La falsità di a si verifica considerando due funzioni che ammettano massimo in punti diversi.
La falsità di c viene dalla contronominale della Prop. 5.4(a).

8')cd

Def. 5.1.
La falsità di a si verifica considerando due funzioni che ammettano massimo in punti diversi.
La falsità di b viene dalla contronominale della Prop. 5.4(a).
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9) c

Teor. 6.12.

9')a

Se S ammette più di una soluzione, allora (Cor. 6.14(a)) il rango della matrice incompleta è minore del numero delle incognite. Cor. 6.14(b).
