RISPOSTE ESATTE (V) ai quesiti della prova finale di Geometria e Algebra t (Ing. En. Elettrica e dell'Automazione) del 19/7/2019.

1) b

1')c

In forma parametrica un sottospazio è presentato come immagine di una trasformazione lineare, la cui matrice è quella dei coefficienti dei parametri. Perciò la dimensione è uguale al rango di tale matrice (Teor. 5.29).
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2) d

p = 5*1 + 1*(1+x) + (-2)*(1+x+x^2) = 4-x-2x^2 (Def. 4.33). Rispetto a B le componenti sono proprio i coefficienti delle tre potenze di x.

2')c

p = 5*1 + 1*x + (-2)*x^2 = 5+x-2x^2. Formando le diverse combinazioni lineari dei vettori di B' con le terne di scalari proposte, si vede che solo c fornisce questo polinomio.

[NB - Si sarebbero potuti ottenere i risultati anche risolvendo semplici sistemi lineari o utilizzando la matrice del cambiamento di base.]
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3) a

Def. 12.25.

3')b

Prop. 12.30.
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4) a

Prop. 7.1.

4')b

Def. 7.2 (ultime righe).
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5) a

Essendo reali simmetriche sono diagonalizzabili per similitudine (Teor. 7.19). Siccome hanno polinomi caratteristici identici, sono simili a matrici diagonali con gli stessi elementi sulla diagonale principale (Oss. 7.15), dunque simili l'una all'altra.
Avendo gli stessi autovalori, hanno la stessa segnatura, quindi sono congruenti (Teor. B.12).

5')c

Avendo polinomi caratteristici diversi non sono simili (Prop. 7.8). Hanno però entrambe due autovalori negativi, quindi hanno la stessa segnatura e sono dunque congruenti (Teor. B.12).
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6) bcd

6')acd

Def. 5.1.
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7) b

Essendo rappresentato da una sola equazione in uno spazio di dimensione 3, il sottospazio ha dimensione 3-1=2, cioè è un piano. Prop. 9.33, considerando che il piano xy ha equazione z=0.

7')d

Essendo rappresentato da una sola equazione in uno spazio di dimensione 3, il sottospazio ha dimensione 3-1=2, cioè è un piano. Manca il termine noto, quindi contiene l'origine, ed è parallelo all'asse z (avente coefficienti direttori (0,0,1); Prop. 9.26.c).
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8) c

Prop. 12.86(a1), Teor. 12.88(a1).

8')b

Prop. 12.86(a2), Teor. 12.88(a2).
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9) c

Il rango della matrice incompleta è < 4. Oss. 6.13 (ultime righe).

9')a

Il sistema contiene un'equazione impossibile (0=1) perciò è impossibile esso stesso (Oss. 6.4).
