25/09/2013 3 ore:
Numeri naturali, razionali e reali. Numeri complessi in notazione
cartesiana e polare/esponenziale, coniugio, moltiplicazione e inverso.
Teorema fondamentale dell'algebra. Scomposizione di polinomi a
coefficienti reali con radici complesse coniugate. Interi modulo 2.
Definizioni di Gruppo abeliano, Anello con unita', Anello commutativo,
Campo. Anello dei polinomi. Definizione di spazio vettoriale. Esempi:
R^2, K^n, C come spazio vettoriale su R, spazio dei polinomi, spazio
dei polinomi a grado minore di n, spazio di funzioni, K^I, (Z_2)^8.
Equazioni lineari, definizione di sistema lineare, esempi di equazioni
e sistemi lineari.

26/09/2013 2 ore:
Sistemi lineari. Risoluzione per sostituzione. Esempi di sistemi con
soluzione unica, senza soluzioni, con infinite soluzioni. Gradi di
liberta'.  Descrizione parametrica delle soluzioni. Sitemi omogenei e non. 
Spazio vettoriale delLe soluzioni di un sistema omogeneo.

30/09/2013 2 ore:
Matrici m x n. Matrice associata a un sistema lineare (completa e
incompleta). Sistemi equivalenti. Operazioni elementari sulle righe. 
Riduzione a scala, Rango per righe. 
Teorema di Rouche'-Capelli sulla risolubilita' di sistemi lineari.
Esempio di risoluzione di sistemi lineari dipendenti da un parametro.

02/10/2013 2 ore:
Struttura di spazio vettoriale sull'insieme dell matrici. 
Moltiplicazione riga per colonna tra matrici. Trasposta. Matrici
associate alle operazioni elementari sulle righe e sulle colonne.
Teorema "rango di A= rango di tA" (senza dimostrazione). Corollario: il
rango per righe e' uguale a quello per colonne. Corollario: il rango
di una matrice m x n non eccede il piu' piccolo tra m ed n.
Matrici nxn. Struttura di anello sulle matrici quadrate. Identita',
invertibilita'. Definizione di matrice invertibile. Inversa tramite 
soluzione di sistemi lineari AX=I.
Metodo (A|I) (algoritmo di Gauss-Jordan) per capire se A e' invertibile 
e trovarne l'inversa. Teorema: A e' invertibile se e solo se 
per ogni b il sistema AX=b ha soluzione. In tal caso la soluzione e'
unica e si scrive come X=A^{-1}b.
Teorema: una matrice quadrata e' invertibile se e solo se ha rango
massimo. Inversa e trasposta di un prodotto.

07/10/2013 2 ore:
Determinante di matrici quadrate. Proprieta' fondamentali e
definizione tramite dette proprieta': unica funzione multilineare
alternate sulle righe --- e colonne --- tale che det(I)=1.
Altre proprieta' del determinante. Calcolo del determinante tramite 
sviluppo di una riga o una colonna. Teorema: una matrice quadrata e'
invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero.

09/10/2013 2 ore:
Proprieta' del determinante. Matrice dei cofattori e inversa di una
matrice. Regola di Cramer per i sistemi lineari. Determinante e rango.
Minori come determinanti di sottomatrici quadrate, 
teorema "se A ha un minore non nullo di ordine k allora il
rango di A e' almeno k" con cenno di dimostrazione.  
Metodo dei minori orlati per calcolare il rango di una matrice (senza
dimostrazione). Esempi.

10/10/2013 2 ore:
Lineare dipendenza e indipendenza. Sisitemi di generatori. Basi. Basi
canoniche di K^n, K[x], M_mxn(K).

14/10/2013 2 ore:
Lineare indipendenza e generatori. Esercizi ed esempi. Teorema "ogni
spazio vettoriale ammette una base, due basi hanno sempre la stessa
cardinalita', detta dimensione". Spazi di dimensione finita e infinita.
Estrazione di una base da un sistema di generatori. Completamento a
base di un insieme di vettori linearmente indipendenti. Base di uno
spazio vettoriale definito da AX=0.

16/10/2013 2 ore:
Teorema "B e' una base se e solo se ogni vettore si scrive in modo
unico come combinazione lineare di elementi di B". 
Coordinate di un vettore rispetto a una base. Calcolo di coordinate.
Sottospazi vettoriali. Intersezione di sottospazi e' sottospazio.
Teorema: se W ssv di V allora dim(W) < o = dim(V). Span
(spazio generato da) di un sottoinsieme A, definizione come piu' piccolo
sottospazio contenete A e teoremi di caratterizzazione dello span. 
Esempi. Teorema: Il rango di una matrice e' la dimensione dello 
span delle righe/colonne. Estrazione di una base di span(A) da A stesso.

17/10/2013 2 ore:
Somma di sottospazi. Somma diretta e teoremi collegati. Formula di
Grassmann. Esercizi. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi
vettoriali, passaggio dalle une alle altre.

23/10/2013 3 ore:
Equazioni parametriche e cartesiane per sottospazi affini. Retta per
due punti, piano per tre punti.
Applicazioni lineari: definizione, esempi su spazi di funzioni. Teorema "ogni applicazione lineare
e' determinata dai valori che assume su una base", corollario "una
applicazione lineare da K^n a K^m e' lineare se e solo se le
componenti sono polinomi omogenei di grado uno". Matrice associata ad
un'applicazione lineare in basi prescelte in partenza e in arrivo.
Definizione e struttura di spazi vettoriali per Ker(f), Imm(f),
Grafico(f), L(V,W) (anche denotato come Hom(V,W)).

24/10/2013 2 ore:
Iniettivita', suriettivita', biiettivita' di applicazioni lineari.
Teorema delle dimensioni: "dim V= dim Ker(f) + dim Imm(f)". 
Invertibilita' di funzioni, teorema "F lineare e' invertibile se e
solo se e' biiettiva". Esempi ed esercizi.

28/10/2013 2 ore:
Cambio di base. Matrici del cambio di base. Endomorfismi, cambi di
base e matrici simili. Esercizi.

31/10/2013 2 ore:
Isomorfismo tra L(V,W) e spazio delle matrici. Applicazioni ed
esercizi.

04/11/2013 2 ore:
Autovalori e autovettori.

06/11/2013 3 ore:
Diagonalizzabilita' e triangolabilita' di applicazioni lineari.
Definizioni e caratterizzazioni equivalenti. Molteplicita' algebrica e
geometrica. Criteri di diagonalizzabilita' e triangolabilita' in
termini delle molteplicita' algebriche e geometriche.

07/11/2014 2 ore:
Polinomi di applicazioni lineari e di matrici. p(f) e q(f) commutano
tra loro. Sottospazi invarianti e restrizioni di applicazioni lineari. 
Matrici a blocchi. Matrici diagonali a blocchi. Autospazi generalizzati.
Invarianza degli autospazi generalizzati. Gli autospazi generalizzati
sono in somma diretta. Applicazioni nilpotenti. Triangolabilita' di
applicazioni lineari nilpotenti.

11/11/2013 2 ore:
Triangolabilita' della restrizione di una funzione lineare ad un
autospazio generalizzato. Teorema "la dimensione dell'autospazio
generalizzato relativo a l e' uguale alla molteplicita' algebrica di l".
Teorema "f e' triangolabile se e solo se la somma diretta degli
autospazi generalizzati e' tutto V, se e solo se la somma delle
dimensioni degli autospazi generalizzati e' dim(V), se e solo se la
somma delle molteplicita' algebriche e' dim(V)". Blocchi di Jordan e
forma di Jordan. Teorema "f e' triangolabile se e solo se ammette una
forma di Jordan" (senza dimostrazione). Unicita' (a meno di
permutazioni della base) della forma di Jordan. Forma di Jordan
complessa di un'endomorfismo di R^2 non triangolabile.
forma di Jordan

13/11/2013 2 ore:
Spazio duale. Base duale e isomorfismo tra V* e V. Cambio di base nel
duale. Spazio bi-duale V** e isomorfismo canonico tra V** e V. Esempi:
forme differenziali, gradiente di una funzione. Traccia di una matrice. 
Spazi formali generati da un insieme di simboli. Prodotto tensioriale. 
Isomorfismo naturale tra WxV* e Hom(V,W). Prodotto tensoriale e spazi
di matrici. Prodotto vettoriale V^V. Determinanti. Dimensioni di Rn^Rn.

14/11/2013 2 ore:
Forme bilineari. Matrici associate a forme bilineari, cambio di base.
Forme simmetriche e antisimmetriche. Decomposizione di una forma in
parte simmetrica e parte antisimmetrica. Forme quadratiche, forme
quadratiche associate a forme bilineari. Le forme simmetriche sono
determinate dalla forma quadratica.

18/11/2013 3 ore:
Forme bilineari simmetriche reali: ortogonalita', radicale di una
forma, forme non degeneri, forme definite positive. Basi ortogonali e
ortonormali. Prodotti scalari. Processo di ortonormalizzazione di
Gram-Schmidt per prodotti scalari. 
Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt in generale.
Nota: La dimostrazione di Gram-Schmidt per i prodotti scalari e'
programma d'esame per tutti, 
quella di Gram-Schmidt in generale lo e' solo per chi aspira al 30L.

27/11/2013 3 ore:
Richiami sul procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Segnatura, definizione come tripla (n0,n+,n-).  Teorema di
indipendenza della segnatura dalla base ortogonale
scelta. Teorema "se i deteminati principali sono tutti non nulli
allora n- e' il numero dei cambi di segno" (senza dimostrazione).
Teorema: una forma bilineare simmetrica e' definita positiva se e solo
se tutti i determinanti principali sono positivi. (Senza dimostrazione.)
Distanza associata a un prodotto scalare, disugualianza di Schwarz,
disugualianza triangolare, teorema di piragora, formula di carnot e
definizione di angolo. Isometrie definite come applicazioni lineari
che preservano la distanza. Matrici ortogonali.
Teorema "f e' un'isometria se e solo se
preserva il prodotto scalare, se e solo se preserva la norma, se e
solo se la matrice associata a f in una base ortonormale e' ortogonale,
se e solo se esiste una base ortonormale la cui immagine e' base
ortonormale, se e solo se la condizione precedente vale per ogni base
ortonormale"
Il cambio di base tramite matrici ortogonali fornisce la stessa
formula sia per il cambio di base in End(V) che in Bil(V).

28/11/2013 2 ore:
Autovalori di isometrie, determinanti di isometrie.
Classificazione delle isometrie lineari di R^2 e R^3. Isometrie
lineari dello spazio-tempo unidimensionale. 
Prodotti hermitiani, definizione e descrizione in coordinate.
Aggiunto di un operatore lineare rispetto a un prodotto scalare.
Operatori autoaggiunti.

04/12/2013 3 ore:
Teorema: un operatore autoaggiunto rispetto a un prodotto scalare ha
tutti gli autovalori reali. Teorema spettrale: Un operatore autoaggiunto rispetto a un prodotto
scalare ammette una base ortonormale di autovettori. Formulazione
equivalente: una forma bilineare e un prodotto scalare ammettono una
base ortogonale comune. Corollario: La segnatura si calcola, in
coordinate come n0=kerA, n+=somme delle molteplicita' degli autovalori
positivi, n-=somma delle molteplicita' degli autovalori negativi.
Isometrie di Rn: son tutte del tipo AX+b.
Trasformazioni affini e affinita'. Vettori affinemente indipendenti.
Esistenza, e discussione sull'unicita', di trasformazini affini e
affinita' che trasformano k vettori affinemente indipendenti dati, in
altri k vettori.

05/12/2013 2 ore:
Esercizi su affinita'. Spazi affini, dimensione e giacitura. Posizione
reciproca di spazi affini. Teorema delle dimensioni per spazi affini.
Codimensione. Ortogonalita' e relazioni con le equazioni cartesiane. 
Fascio di piani per una retta data.

11/12/2013 3 ore:
Distanze tra spazi affini: distanza punto piano e punto retta. 
Perpendicolare comune a due rette sghembe.
Quadriche, definizione ed esempi. Enunciato del teorema di
classificazione affine.

12/12/2013 2 ore:
Dimostrazione del teorema di classificazione affine per le coniche. 
Esempi. Medoto del completamento dei quadrati.