AA: 2104/2015
Corso: Geometria e Algebra T
Corso di Laurea: Ing. Aerospaziale e Meccanica

Programma svolto in classe:
22/09/2014 3 ore:
Richiami sui numeri naturali, razionali, reali, complessi, interi
modulo 2. Notazione cartesiana e polare/esponenziale di numeri
complessi. Modulo, coniugio e inverso di un numero complesso.
Definizioni di Gruppo, Anello e Campo. Anelli di polinomi.
Fattorizzazione di polinomi in C[x] e R[x]. Radici di polinomi.
Teorema fondamentale dell'algebra (senza dim.)

23/09/2014 2 ore:
Spazi vettoriali: Definizione ed esempi. R^2 graficamente. K^n, K[x],
funzioni da un insieme a valori in K. Spazio dei polinomi di grado al
piu' n. L'insieme dei polinomi di grado esattamente 2 non e' s.v. C
come spazio vettoriale su R e Q, R come spazio vettoriale su Q.

29/09/2014 3 ore:
Teorema (con dimostrazione): "Intersezione di sottospazi vettoriali e'
sottospazio." Unione di sottospazi in generale non e' sottospazi. Esempi di sottoinsiemi che
non sono sottospazi, esempi di sottospazi. 
Equazioni lineari. Soluzioni di equazioni lineari come elementi di
K^n. Sistemi di equazioni lineari. Sistemi omogenei e non. Risoluzione
di sistemi per sostituzione. 
Matrici mxn a coefficienti in K. Vettori riga e vettori colonna.
Matrici associate a un sistema lineare. Matrice dei coefficienti e
matrice completa. Struttura di spazio vettoriale sull'insieme delle
matrici mxn. Notazione M_{mxn}(K).

30/09/2014 2 ore:
Teorema (con dimostrazione): "L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo a
coefficienti in K ed n incognite e' un sottospazio vettoriale di K^n."
L'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo non e' mai uno
spazio vettoriale.
Sistemi equivalenti come sistemi che ammettono le stesse soluzioni.
Operazioni elementari sulle righe e sulle colonne. Riduzione a scala.
Teorema (senza dim.) "ogni matrice A ammegtte una
riduzione a scala e il numero delle righe non nulle dipende solo da A".
Definizione di Rango come numero delle righe non nulle in una
riduzione a scala. Il rango di A non eccede il numero delle colonne di
A (ne' quello delle righe). 
Teorema di Rouche'-Capelli (senza dim.) "Un sistema lineare in n
incognite, con matrice associata (A|b), ammette soluzione solo se rango(A)=rango(A|b).
Inoltre il numero di parametri liberi che descrivono le soluzioni e'
n-rango(A)". Esempi. Sistemi dipendenti da parametro.

06/19/2014 3 ore:
Trasposta. Moltiplicazione riga per colonna. Sitemi come AX=b.
Matrici quadrate. Identita', inversa. (AB)^T=B^TA^T. (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. 
Teorema (con dimostrazione basata su Rouche'-Capelli) 
"Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se
ha rango n, se e solo se ogni sistema Ax=b ha un'unica soluzione".
Inversa di una matrice tramite risoluzione del sistema AX=I e metodo
di riduzione di Gauss-Jordan. Polinomi a valori matrici, abelianita'
del prodotto, fattorizzazione, radici quadrate dell'identita'.

13/01/2014 3 ore:
Determinante. Definizione tramite lo sviluppo per riga/colonna.
Proprieta' del determinante. Matrice dei cofattori e inversa. Regola
di Cramer per i sistemi lineari.

14/10/2014 2 ore:
Teorema dei minori orlati (senza dimostrazione). Definizione di
lineare indipendenza. Lineare indipendenza di vettori in R^2. Due
vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono uno multiplo
dell'altro. Indipendenza lineare di sen(x) e cos(x) nello spazio di
funzioni da R in se'.


20/10/2014 3 ore:
Lineare indipendenza. Sistemi di generatori. Teorema "sia A una
matrice m x n. Le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo
se il rango(A)=m, le colonne di A generano K^n se e solo se
rango(A)=n". In K^n, n vettori sono generatori se e solo se sono
linearmente indipendenti, se e solo se il determinante della matrice
che formano e' diverso da zero. Un sottoinsieme di vettori lienarmente
indipendenti e' formato da vettori linearmente indipendenti. Un
soprainsieme di un insieme di generatori genera.

21/10/2014 2 ore:
Basi. Teorema "sia A una matrice m x n. Le colonne di A sono una base
di K^n se e solo se m=n e det(A) diverso da zero". Basi canoniche di
K^n, K[x], M_{m x n}(K). K[x] non ha basi finite. Base di C su C e su R.  
Teorema "Se v1...vn generano e w1...wk sono vettori tali che ogni vi
e' combinazione lineare dei wj allora w1...wn generano."
Teorema (no dim.) "ogni spazio vettoriale ha una base" Teorema (no
dim.) "due basi di uno stesso spazio hanno la stessa cardinalita'
(numero di elementi)". Definizione di dimensione. Spazi di dimensione
finita e infinita. Se V e' spazio vettoriale complesso, dim(V) su R=
2(dim(V) su C). Rouche'-Capelli reloaded: dim(AX=0)=n-rango(A) ove
n e' il numero di colonne di A. Metodo per trovare base di {AX=0} e
descrizione delle soluzioni di {AX=b}.

27/10/2014 3 ore:
Estrazione di base da sistema di generatori con il metodo degli scarti
successivi. Estensione a base di un sistema di vettori linearmente
indipendenti, aggiungendo una base e poi operando con scarti successivi.
Estrazione di base tramite i minori nel caso di generatori di K^n.
Le colonne di una matrice A m x n  sono linearmente indipendenti se e
solo se le righe generano K^n e viceversa.  Span(I): spazio generato
da un insieme, equivalenza delle definizioni come intersezione di
tutti i sottospazi contenenti I e come insieme di tutte le
combinazioni lineare di elementi di I. Estrazione di base di span(I)
da I. Teorema (con dim.) "Il rango di una matrice e' uguale alla
dimensione dello spazio vettoriale generato dalle sue righe che e'
uguale alla dimensione dello spazio vettoriale generato dalle sue
colonne." Le colonne di AB sono combinazione lineare delle colonne di
A, le righe di AB sono combinazione lineare delle righe di B. Il
sistema AX=b ha soluzione se e solo se b sta nello span delle colonne
di A. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi vettoriali
(sistemi omogenei) e affini  (sistemi non omogenei) e passaggio dalle
une alle altre.

28/10/2014 2 ore:
Sottospazi vettoriali e sottospazi affini, definizioni analogie e
differenze. Giacitura di un sottospazio affine. Dimensione di un sottospazio
affine. Intersezione di sottospazi affini tramite equazioni cartesiane.
L'intersezione di sottospazi affini e' o nulla o un sottospazio affine
la cui giacitura e' l'interesezione delle giaciture. 
Definizione di somma di sottospazi vettoriali come  span dell'unione.
Formula di Grassmann (con dimostrazione): dati due sottospazi vettoriali V,W
dim(V)+dim(W)-dim(intersezione)=dim(V+W). Equazioni parametriche e
cartesiane di somma e intersezione di sottospazi vettoriali.

03/11/2014 3 ore:
Teorema (con dim): giac(V)+giac(W)=tutto K^n -> intersezione non
nulla. Posizioni reciproche si sottospazi affini. Somma diretta di
sottospazi vettoriali; Teorema (con dim) "V = somma diretta di V e W
se e solo se ogni vettore v di V si esprime in modo unico come v=u+w
con u in U e w in W". Coordinate: Teorema (con dim) "B=(v1,...,vn) e'
una base di V se e solo se ogni vettore v di V si esprime in modo unico
come combinazione lineare dei vi". I coefficienti di tale unica
combinazione lineare si chiamano coordinate di v rispetto alla base B.
Le coordinate *trasformano* ogni spazio V di dimensione finita in
K^n, con n=dim(V). Tale *trasformazione* dipende dalla base scelta.
Esercizi ed esempi su K^n, spazi di polinomi e di matrici.

04/11/2014 2 ore:
Span di uno spazio affine. Punti affinemente indipendenti. Spazio
affine k-dimensionale passante per k+1 punti affinemente indipendenti.
Equazioni cartesiane di una retta per due punti distinti in R^2 e R^3. 
Equazione cartesiana di un piano per tre punti non allineati in R^3.
Coordinate baricentriche di uno spazio affine. Descrizione
dell'inviluppo convesso di k punti in R^n.

10/11/2014 3 ore:
Applicazioni lineari. Definizioni equivalenti. Caratterizzazioni delle
applicazioni lineare da R in R, da R^2 in R e da R^2 in uno spazio
qualsiasi. Caratterizzazione delle applicazioni lineari da K^n in K^m.
Teorema (con dim.) "Un'applicazione lineare e' univocamente determinata dai
valori che assume su una base". Teorema (con dim.) "Se v1,...,vk base
di V e w1,...,wk sono elementi di W allora esiste unica f lineare da V
a W tale che f(vi)=wi". Matrice associata a una applicazione lineare e
a due basi date (una in  partenza e una in arrivo). Matrice della
composizione di funzioni e' il prodotto delle matrici delle funzioni.
Matrice del cambio di base come matrice associata alla funzione
identita' in due basi diverse.  

11/11/2014 2 ore:
Matrice delle rotazioni e della moltiplicazione per numero complesso.
Iniettivita' e suriettivita', applicazioni invertibili, isomorfismi
lineari. Nucleo e Immagine, formula delle dimensioni. Hom(V,W) e 
sua struttura di spazio vettoriale. Costruzione dell(e) applicazione(i)
lineare(i) che manda(no) k vettori dati linearmente indipendenti tra
loro in altri k vettori dati. Trasformazioni affini, affinita'.
Trasformazioni affini che mandano k punti affinemente indipendenti in
k punti dati. 

17/11/2014 3 ore:

Endomorfismi, cambio di base per endomorfismi, matrici simili. Matrice
associata a multipli dell'identita'. Autovalori e autovettori,
definizione: f endomorfismo di V, v vettore non nullo di V, se f(v)=cv
con c un numero di K, allora c si dice autovalore di f e v autovettore
di f relativo all'autovalore c. Teorema (con dim.) "c e' autovalore di
f se e solo se ker(f-cI) e' non banane se e solo se 
f-cI non e' iniettiva se e solo se f-cI non e' invertibile se e solo se
det(A-cI)=0, ove A e' una matrice associata a f." Polinomio
caratteristico. Teorema (corollario diretto del precedente) "c e'
autovalore di f se e solo se p(c)=0, ove p e' il polinomio
caratteristico di f". Autovalori su R e su C in esempi concreti. 

18/11/2014 2 ore:
Molteplicita' algebrica di autovalori. Esempi ed esercizi di calcolo
di autvalori e autovettori per endomorfismi di R^2 e R^3.

25/11/2014 2 ore:
Autospazi, molteplicita' geometrica di autovalori, diagonalizzabilita'
di endomorfismi e matrici. Matrici diagonali e triangolari a blocchi,
sottospazi invarianti. Legami tra molteplicita' algebrica e geometrica
e criteri di diagonalizzabilita'.

01/12/2014 3 ore:
Forme bilineari, definizione ed esempi. Teorema (con dim) "Se V e' uno
spazio vettoriale con una base v1,...,vn allora ogni forma bilineare b 
su V e' univocamente determinata dai valori b(vi,vj) al variare di
i,j=1,...,n". Matrice associata a una forma bilineare in una base
data. Cambio di base, differenze col cambio di base di endomorfismi. 

02/12/2014 2 ore:
Forme bilineari simmetriche definite positive, definizione ed esempi.
Teorema (no dim.) "ogni matrice simmetrica reale e' diagonalizzabile,
una forma bilineare simmetrica e' definita positiva se e solo se tutti
gli autovalori sono positivi" Teorema (no dim) "Una forma bilineare
simmetrica e' definita positiva se e solo se tutti i minori principali
sono positivi".

09/12/2014 2 ore:
Prodotti scalari. Definizione di norma. Ortogonalita'. Definizione di
ortogonale di un insieme. Teorema "l'ortogonale di un insieme e' un
sottospazio vettoriale". Teorema (no dim) "l'ortogonale
dell'ortogonale di I e' span(I)". Teorema (con dim.) "{AX=0}=
ortogonale span(righe A)". Equazioni parametriche e cartesiane dal punto 
di vista dell'ortogonalita': eq. parametriche di W = dare base di W;
eq. cartesiane = dare base dell'ortogonale di W. Teorema (con dim.) "V
e' somma  diretta di span(v) e l'ortogonale di v". Decomoposizione di
un vettore in componenti lungo v e lungo v-ortogonale. Proiezione
ortogonale di  un vettore su span(v). Basi ortogonali e ortonormali.
Teorema (con dim.) "Le coordinate di un vettore v rispetto a una base
ortonormale v1,...,vn sono(<v,v1>,...,<v,vn>)." Matrici ortogonali
definite come matrici la cui trasposta e' uguale all'inversa. Teorema
(con dim.) "v1,...,vn sono una base ortonormale di R^n se e solo se la
matrice M=(v1,...,vn) e' ortogonale." Esempi: trasformazioni rigide
dello spazio. 

15/12/2014 3 ore:
Segnatura di una forma bilineare. Ortogonalizzazione (e
ortonormalizzazione) di Gram-Schmidt. Teorema spettrale su R^n col
prodotto scalare standard (no dim.) "Ogni matrice simmetrica ammette
base ortonormale di autovettori". Teorema (con dim.) "Se A e'
simmetrica, autovettori relativi ad autovalori diversi sono ortogonali
rispetto al prodotto scalare standard di R^n".
Distanza indotta da un prodotto scalare. Angolo tra due vettori.
Definizione di isometria come funzione dale che
d(f(x),f(y))=d(x,y). Teorema (no dim.) "f e' un'isometria se e solo se
<f(x),f(y)>=<x,y>". Teorem "un endormofsimo di V e' un'isometria se e
solo se la matrice associata a f rispetto a una base ortonormale e'
ortogonale". Generalizzazione ad endomorfismi lineari che preservano una forma
bilineare qualsiasi. Esempi: trasformazioni di Lorentz.
Teorema (no dim.) "Un'isometria di R^n standard 
e' sempre un'affinita' f(X)=AX+b con A matrice ortogonale".

16/12/2014 2 ore:
Isometrie di R^2 e dello spazio tempo 1+1. Distanze tramite prodotti
scalari. Formula della distanza da un sottospazio di codimensione uno. 
casi particolari: distanza punto-retta in R^2 e  punto-piano in R^3.
Procedimento generale per trovare la distanza da un sottospazio affine.
Distanza punto-retta in R^3.

22/12/2014 3 ore:
Esercizi su distanza punto retta e punto iperpiano in R^n. Quadriche e
coniche. Forma canonica affine di coniche.