AA: 2015/2016 Corso di laurae: Ing. Aerospaziale e Meccanica. Programma svolto in classe: 24/09/2015 3 ore: Insiemi numerici. Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi. Operazioni sui numeri complessi. Interi modulo 2. Gruppi, Anelli, Campi, definizoni ed esempi. Anello dei polinomi. 25/09/2015 2 ore: Fattorizzazione di polinomi a coefficienti reali e complessi, teorema fondamentale dell'algebra (solo enunciato). Spazi vettoriali, definizione ed esempi. Insiemi chiusi per somma, insiemi chiusi per prodotto, sottospazi. Spazio dei polinomi, sottospazio dei polinomi di grado minore o uguale a k. 01/10/2015 3 ore: Spazio vettoriale delle funzioni da I a K. Ennuple ordinate e spazio vettoriale K^n. Combinazioni lineari, sistemi di generatori. Teorema (con dimostrazione) "Un soprainsieme di un insieme di generatori e' un insieme di generatori". Teorema (con dim.) "Dati v1,...,vk generatori di V, se w1,...,wn sono tali che ogni vi e' combinazione lineare dei wj allora i w1,...,wn generano V". Esempi ed esercizi. Visualizzazione geometrica di R^2 e R^3. 02/10/2015 2 ore: Lineare dipendenza e indipendenza. Teorema (con dim.) "Ogni sottoinsieme di un insieme di vettori linearmente indipendenti tra loro e' formato da vettori linearmente indipendenti tra loro". Teorema (con dim.) "v1,...,vk sono linearmente dipendenti tra loro se e solo se uno di loro si scrive come combinazione lineare degli altri". Definizione di Base. Esempi ed esercizi. 08/10/2015 3 ore: Basi. Sistemi di generatori, lineare indipendenza e basi per insiemi di cardinalita' infinita. Esempi: la circonferenza unitaria genera R^2, una retta genera R^2 se solo se non passa per l'origine. Definizione di insieme chiuso per combinazioni lineari. Teorema (con dim.) "W e' sottospazio se e solo se e' chiuso per combinazioni lineari". Teorema (con dim.) "Un sottospazio di V genera V solo se e' V stesso". Definizione di equazione lineare in n incognite a coefficienti in K e soluzione di equazioni lineari. 09/10/2015 2 ore: Soluzione di un'equazione lineare. Equazioni omogenee e non. Equazioni banali. Sistemi di equazioni lineari. Sistemi omogenei e non. Sistemi equivalenti come sistemi aventi le stesse soluzioni. Soluzione di sistemi per sostituzione. Teorema (con dim.) "Un sistema omogeneo ammette almeno una soluzione" 15/10/2015 3 ore: Esercizi su sistemi lineari a coefficienti complessi. Teorema (no dim.) "Ogni spazio vettoriale ha una base". Teorema (no dim.) "due basi di uno stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi". Definizione di dimensione di un uno spazio vettoriale. Dimensione finita e infinita. Basi canoniche di K^n, K[x], e dello spazio dei polinomi di grado al piu' n. Dimensioni di tali spazi. Dimensione di C su R. Teorema (con dim. lasciata per esercizio) "Se V e' s.v. su C allora V e' s.v. su R e dim_R(V)=2dim_C(V)". Dimensione dello spazio dele soluzioni dell'equazione differenziale x''=-x. 16/10/2015 2 ore: Lemma dello scarto (con dim.) "Se A genera V e v e' combinazione lineare di elementi di A diversi da v, allora A \ {v} genera V". Metodo degli scarti successivi. Teorema dell'estrazione della base (con dim. solo per cardinalita' finite) "Se A genera V allora esiste una base di V contenuta in A". Teorema dell'estensione a base (dim. solo per cardinalita' finite) "Se A e' un insieme di vettori linearmente indipendenti di V allora esiste una base di V che contiene A". Corollario (con dim.) "Se v1,...,vk generano V allora dim(v)<= k, se v1,...,vk sono lin. indip. allora dim(V)>=k" Corollario (con dim.) "Se dim(V)=n allora n vettori v1,...,vn sono lin. indip se e solo se generano se e solo se sono una base di V". Esempi ed esercizi. Teorema (con dim.) "l'intersezione di sottospazi vettoriali e' sottospazio vettoriale". Teorema (con dim.) "L'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea in n incongnite a coefficienti in K e' un sottospazio vettoriale di K^n". Corollario (con dim.) "L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo e' sottospazio". 22/10/2015 3 ore: Spazio generato ta un insieme, span(I). Dimostrazione dell'equivalenza delle tre definizioni. Definizione di V+W come span dell'unione. Formula di Grassmann (con dimostrazione). Esempi ed esercizi. Sottospazi di R^2, R^3 ed R^4. Intersezione di piani vettoriali in R^3 e R^4. Teorema (con dim.) "v1,...,v_n sono una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vi". Definizione di somma diretta. Teorema (con dim.) "U e' somma diretta di V e W se e solo se ogni vettore di U si scompone in modo unico come v+w con v in V e w in W". 23/10/2015 2 ore: Coordinate rispetto a una base. Applicazioni lineari. Definizione "F e' lineare se F(v+w)=F(v)+F(w) e F(av)=aF(v)". Teorema (con dim.) "F e' lineare se e solo se commuta con le combinazioni lineari". Esempi. Derivata, integrale, valutazione in un punto. Teorema (con dim.) "La composizione di applicazioni lineari e' lineare". Definizione di Hom(V,W). Struttura di spazio vettoriale su Hom(V,W). Restrizione. Se V e' sottospazio di W la restrizione come funzione da Hom(W,U) a Hom(V,U) e' lineare. Nucleo e Immagine, notazione Ker(F) e Imm(F). Teorema (con dim.) "Se F:V-> W e' lineare Ker(F) e' sottospazio di V e Imm(F) e' sottospazio di W". Teorema (con dim.) "F lineare e' iniettiva se e solo se Ker(F)=0". Teorema (con dim.) "se F e' lineare e v1,...,v_n sono lin. indip. allora F(v_1),...,F(v_n)" sono lin indip". Teorema (con dim.) "Se F:V -> W e' lineare e v_1,...,v_n generano V allora F(v_1),...,F(v_n) generano Imm(F)". Corollario (con dim.) "v_1,...,v_n base di V, F in hom(V,W) e' suriettiva se e solo se F(v_1),...,F(v_n) generano W". 29/10/2015 3 ore: Teorema (con dim.) "f:V-->W lineare, allora dim(V)=dim(ker(f))+dim(Imm(f))". Corollario (con dim.) "Se dim(V)>dim(W) non esistono f:V-->W lineari e iniettive, ne' f:W-->V lineari suriettive. Se dim(V)=dim(W) allora f:V-->W lineare e' iniettiva se e solo se e' suriettiva". Definizione "f e' invertibile se ha inversa destra e sinistra". Esempi di applicazioni con inversa destra (o sinistra) ma che non sono invertibili. Teo (no dim.) "F :V--> W lineare e' invertibile se e solo se e' biunivoca". Definizione "F:V-->W si dice isomorfismo lineare se e' lineare e invertibile. V e W si dicono isomorfi". Corollario "Le coordinate sono un isomorfismo lineare tra V e K^n ove n=dim(V)". Ogni base induce un isomorfimso di V con K^n, diverso da base a base. Corollario "V e W sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione". Espressione di applicazioni lineari in coordinate. Esempio della derivata su spazi di polinomi con basi varie. Matrici. Definizione come tabelle e notazioni varie. Struttura di spazio vettoriale su M_mxn(K). Moltiplicazione riga per colonna. Moltiplicazione di matrici. Matrici quadrate, matrice identita'. 30/10/2015 2 ore: Data matrice A mxn e colonna X con entrate (x1,...,xn), il prodotto AX e' la combinazione lineare delle colonne di A con coefficienti x1,....,xn. Data matrice A nxk e riga X=(x1,...,xn), il prodotto XA e' la combinazione lineare delle righe di A con coefficienti x1,....,xn. Data A matrice mxn le applicazioni X --> AX e X--> XA sono lineari. Invertibilita' di matrici, calcolo dell'inversa tramite impostazione del sistema lineare AX=I. Teo (con dim.) "L'Inversa di AB e' il prodotto dell'inversa di B per l'inversa di A". Matrici quadrate e potenze, A^n commuta con A. Polinomi di matrici. Trasposta di una matrice, definizione e proprieta'. Teo (no dim.) "la trasposta di AB e' il prodotto di trasposta di B per trasposta di A". La trasposizione e' un applicazione lineare che al quadrato fa l'identita'. Caratterizzazione delle applicazioni lineari da R in R, da K^n in K e da K^n in K^m come applicazioni del tipo f(X)=AX. Matrice associata ad una applicazione lineare e basi in partenza e in arrivo. Teorema (con dim.) "Nelle coordinate date dalle basi di partenza e arrivo, F si scrive come F(X)=AX ove A e' la matrice associata". Teorema (con dim.) "un'applicazione lineare e' univocamente determinata dai valori che assume su una base" Matrice associata alla rotazione di angolo alpha in senso antiorario, rispetto alla base canonica di R^2 sia in partenza che in arrivo. 05/11/2015 2 ore: Esempi ed esercizi su matrici associate ad applicazioni lineari. Matrice della derivata matrice della trasposizione come appl. lin. tra spazi di matrici, matrice dell'applic. lin f(X)=AX tra spazi di matrici. Matrice del cambio di coordinate, cambio di base di partenza e di arrivo per matrici associate ad applicazioni lineari. Matrici associate a rotazioni in R^2 e R^3. Dati v1,...,vn base di K^n e w_1,...,w_n vettori di K^m, calcolo della matrice dell'unica applicazione lineare f tale che f(vi)=wi, in basi canoniche in partenza e in arrivo. 06/11/2015 3 ore: Corrispondenza matrici mxn e hom(K^n,K^m), notazione kerA e ImmA con A matrice. ImmA =span colonne di A. Esercizi del tipo: trovare la dimensione del sottospazio delle applicazioni lineari da V a W che soddisfano alcune condizioni specificate, previa verifica che sia un sottospazio. Matrici associate a sistemi lineari, matrice completa e incompleta. Definizione di sottospazio affine di K^n come insieme delle soluzioni di AX=b. Giacitura come kerA. Teorema (con dim.) Un sottospazio affine e' un sottospazio vettoriale se e solo se coincide con la sua giacitura. Dimensione di uno spazio affine. Teorema (con dim.) "{AX=b}= X_0+ker A con X_0 soluzione particolare" Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Esempi di rette e piani in R^n. Dimensione dello span di un sottospazio affine. Rango di matrici. Definizione di rango come dim ImmA. Teo (no dim.) "rango (A)=rango(trasposta di A)". Corollario "se A e' mxn, allora R(A) e' minore o uguale al minimo tra m ed n". Operazioni elemetari su righe e colonne. Riduzione a scala. Teo (no dim.) "Il rango di A e' il numero di righe non nulle di una sua qualsiasi riduzione a scala". Esempi di calcolo di rango. Teorema (con dim.) di Rouche'-Capelli: "il sistema AX=b ha soluzione se e solo se R(A)=R(Ab) e in tal caso la dimensione di AX=b e' uguale a n - R(A) ove n e' il numero di incognite". Esempi. Soluzione di sistemi dipendenti da parametro. 12/11/2015 2 ore: Inversa di matrici tramite riduzione di Gauss-Jordan. Aree, volumi e Determinante di matrici quadrate. Cofattore A^ij come determinante di cio' che resta da A cancellando la riga i e la colonna j. Definizione di determinante tramite sviluppo per riga/colonna. Teo(no dim.) "Il determinante non dipende dalla riga o colonna scelta per lo sviluppo". Corollario "det(A)=det(A^t)". Proprieta' del determinante. Teo (no dim.) "Il determinante e' multilineare alternante su righe e det(id)=1, in oltre il determinante e' l'unica applicazione da M_{nxn}(K) in K con tali proprieta'". Matrici quadrate e triangolari e loro determinanti. Determinante del prodotto e' il prodotto dei determinanti. Teorema (no dim.) "A e' invertibile se e solo se det(A) e' diverso da zero". Teorema (con dim.) "se A e' invertibile il determinante dell'inversa e' 1/det(A)". Il determinante NON e' lineare come applicazione dallo spazio delle matrici quadrate in K. det(cA)=c^n(det A). 13/11/2015 3 ore: Matrice dei cofattori e calcolo dell'inversa tramite essa. Metodo dei minori orlati per determinare il rango di una matrice. Passaggio tra equazioni paramentriche e cartesiane (e viceversa) per sottospazi affini di K^n. Punti affinemente indipendenti e sottospazio affine da essi individuato. Retta per due punti in R2 e R3, piano per tre punti in R3. Coordinate baricentriche. Posizione reciproca di sottospazi affini. Trasformazioni affini ed affinita'. Teorema (con dim.) "dati P0,P1,...,Pn affinemente indipendenti in K^n e Q0,Q1,...,Qn in K^n esiste una unica trasformazione affine f tale che f(Pi)=Qi per ogni i". Calcolo esplicito della forma matriciale f(X)=AX+b per tale applicazione. 19/11/2015 2 ore: Endomorfismi, notazione End(V). Cambio di base per matrice associata ad endomorfismi, matrici simili. Composizione e potenze di endomorfismi. Teo (con dim.) "A,B rappresentano lo stesso endomorfismo in basi diverse se e solo se sono simili". Sottospazi f-invarianti e decomposizione a blocchi della matrice associata ad f in presenza di una decomposizione di V come somma diretta di W e U con W f-invariante. Definizione di autovalore e autovettore di endomorfismo (e definizione di autovalore e autovettore di matrici quadrate). Autospazi. Teorema (con dim.) "Autospazi relativi ad autovalori diversi sono in somma diretta". Teorema (con dim.) "V_\lambda= Ker(F-\lambda Id)". Definizione di polinomio caratteristico di una matrice quadrata. Teo (con dim.) "Matrici simili hanno lo stesso pol. car." Definizione di polinomio caratteristico di un endomorfismo. Teorema (con dim.) "lambda e' autovalore di f se e solo se e' radice del polinomio caratteristico di f". Esempi di applic. lineari reali con autovalori complessi. Definizione di molteplicita' algebrica e geometrica di autovalori. Teo (con dim.) "La somma delle molteplicita' algebriche/geometriche degli autovalori di un endomorfiso non eccede la dimensione di V". Teorema (con dim.) "1 <= mg(lambda)<=ma(lambda)". 20/11/2015 3 ore: Autovalori e autovettori della derivata seconda in spazi di polinomi e spazi di funzioni differenziabili. Diagonalizzabilita' de triangolabilita' di endomorfismi e matrici, definizioni e criteri usando le molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori. Esercizi su diagonalizzabilita' di endomorfismi, famiglie di endomorfismi dipendenti da parametro. Teorema (no dim.) "Ogni matrice simmetrica a coeff. reali e' diagonalizzabile". Blocchi e matrici di Jordan, dinamica dei blocchi di Jordan con autovalore nullo. Teorema (no dim.) "Ogni F ammette una forma canonica di Jordan, unica a meno di permutazioni dei blocchi". 26/11/2015 2 ore: Autospazi generalizzati e algoritmo per determinare la forma di Jordan di un automorfimi triangolabile. Definizione di forma bilineare. Struttura di spazio vettoriale, notaizone bil(V). Esempi: prodotto riga per colonna, integrale sullo spazio dei polinomi, forme del tipo tXAX. Teorema (con dim.) "ogni forma bilineare e' univocamente determinata dai valori che assume su una base". Matrice associata a forma bilineare in una base data. 03/12/2015 2 ore: Cambio di base per forme bilineari. Forme simmetriche e antisimmetriche. Teo (con dim.) "b e' simmetrica/antisimmetrica se e solo se la sua matrice in una qualsiasi base lo e'". Teo (con dim.) "se 2 e' diverso da zero bil(V) e' somma diretta di simmetriche e antisimmetriche". Parte simmetrica e parte antisimmetrica di una forma bilineare. Forme quadratiche, forma quadratica associata ad una forma bilineare. Teorema (con dim.) "Una forma bil. simm. e' univocamente determinata dalla sua forma quadratica". Calcolo della (matrice associata alla) forma bil. simm. associata ad una forma quadratica. Definizione di prodotto scalare. Esempi. Prodotto scalare standard su R^n, prodotti scalari standard su spazi di funzioni. 04/12/2015 3 ore: Autovalori di matrici associate a prodotti scalari. Segnatura di una forma bilineare simmetrica come terna (n0,n+,n-). Prodotto di Minkowski per lo spazio-tempo. Teorema (no dim.) "La segnatura non dipende dalla base scelta per scrivere la matrice associata al prodotto scalare". Corollario "Una forma bilineare simmetrica e' un prodotto scalare se e solo se ha segnatura (0,dim(V),0)". Criterio dei minori principali (no dim.): "Sia M la matrice associata a una forma bilineare simmetrica b. Allora b e' un prodotto scalare se e solo se tutti i minori principali sono positivi." Definizione v e w sono ortogonali se =0. Definizione di v ortogonale. Definizione dell'ortogonale di un insieme. Teorema (con dim.) "se v e' ortogonale a w1,...,wn allora e' ortogonale a ogni combinazione lineare dei wi". Corollario "v ortogonale e' un sottospazio vettoriale", Corollario "l'ortogonale di un insieme I e' un sottospazio" Corollario "l'ortogonale di I conincide con l'ortogonale di span (I)". Teorema (no dim.) "In dimensione finita l'ortogonale dell'ortogonale di I e' span(I)". Teorema (con dim.) "V e' somma diretta di span(v) e del suo ortogonale" Definizione di proiezione di w lungo v (notazione \pi_v(w)). La proiezione lungo v e' lineare in w. Scomposizione esplicita di w come \pi_v(w) + (w-\pi_v(w)). Teorema (no dim.) "In dimensione finita se W e' un sottospazio di V allora V si spezza come somma diretta di W e del suo ortogonale". In R^n col prod. scal. standard, corrispondenza tra equazioni cartesiane di W ed equazioni paramentriche dell'ortogonale di W. Norma indotta da un prodotto scalare. Disugualianza di Schwarz (o Cauchy-Schwarz) (con dim.) "||<=||v|| ||w||". Teorema di pitagora e definizione dell'angolo tra due vettori tramite prodotto scalare. 10/12/2015 2 ore: Basi ortogonali e ortonormali. Teorema (con dim.) "Sia V sp vett. con prod. scal, se B=(v1,...,vn) e' base ortonormale, le coordinate di v rispetto a B sono (,...,)". Esempio dello spazio delle soluzioni di x''=-x con base ortogonale data da sen(t) e cos(t). Ortogonalizzazione e ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Teorema (con dim.) "Se v1,...,vn e' base di V allora esiste una base ortonormale w1,...,wn tale che wi appartiene a span(v1,...,vn)". Esempi di ortonormalizzazione di basi di R3 e in spazi di polinomi. 11/12/2015 3 ore: Matrici ortogonali. Teorema (con dim.) "M e' ortogonale se e solo se le sue righe/colonne formano una base ortonormale". Teorema spettrale (no dim.) "A simmetrica, allora esiste base di Rn fatta di autovettori di A. Equivalentemente, esiste M ortogonale tale che M^tAM e' diagonale". Spazi metrici. Funzione distanza e disugualianza triangolare. Distanza indotta da un prodotto scalare, con dimostrazione della disugualianza triangolare usando la dis. di Schwarz. Distanze in Rn col prod. scal. standard. Distanza tra due punti, distanza punto retta e punto iperpiano, distanza di un punto da un sottospazio affine, distanza tra due sottospazi affini. Isometrie tra spazi metrici. Un'isometria e' sempre iniettiva (citata differenza tra immersioni isometriche e isometrie). Endomorfismi che preservano una forma bilineare data, equazione in termini matriciali. Esempio con prodotto di Minkowski. Teorema (dim. solo per chi vuole 30L) "Le isometrie di Rn sono tutte e sole del tipo f(X)=AX+b con A ortogonale". Autovalori di isometrie, determinante di isometrie. Isometrie che preservano e invertono l'orientazione. Classificazione delle isometrie di R2 e R3. Isometrie dello spazio tempo 1+1. 18/12/2015 3 ore: Quadriche e coniche. Classificazione affine delle coniche.