AA: 2016/2017
Corso di laurae: Ing. Aerospaziale e Meccanica.

Programma svolto in classe:

Lez 1) 23/09/2016 3 ore:
Insiemi numerici. Numeri naturali, interi, razionali, reali,
complessi. Coniugio, modulo e inverso di un numero complesso. 
Operazioni sui numeri complessi in modo algebrico, in notazione cartesiana e
polare.  Interi modulo 2. Definizioni di gruppo, gruppo abeliano,
anello commutativo con 1, campo. Esempi. Esempio delle mossse sul 
cubo di Rubik (gruppo non abeliano).
Anello dei polinomi. Operazioni tra polinomi, grado di un polinomio. Legge
di annullamento per campi: x e y sono diversi da zero allora xy e'
diverso da zero (con dimostrazione). Definzione "a e' radice di P se e
P(a)=0". Teorema della divisione con resto dei polinomi (senza dimostrazione). 
Teorema(con dim.) "dato p in K[x], allora p(a)=0 se e solo se (x-a) divide p".   

Lez 2) 28/09/2016 2 ore:
Algoritmo per eseguire la divisione tra polinomi. Fattorizzazione di 
polinomi a coefficienti reali e complessi. Teorema (con dim.) 
"dato P in K[x], allora P(a)=0 se e solo se P(x)=(x-a)^mQ(x) con Q(a)
diverso da zero ". Definizione: "Il numero m si dice 
molteplicita' algebrica della radice a."
Teorema fondamentale dell'algebra (no dim.) 
Teorema (con dim.) "se a e' radice complessa di un polinomio P 
a coefficienti reali, allora anche il coniugato di a 
e' radice di P". Teorema fondamentale dell'algebra con K=R (con dim. a
partire dal teorema fondamentale dell'algebra.). Definizione di
polinomio monico. Teorema se P in C[x] e' monico allora il termine di
grado zero e' il prodotto delle radici (a meno del segno). Esempi ed
esercizi di fattorizzazione di polinomi. 

Lez 3) 30/09/2016 3 ore:
Definizione di spazio vettoriale. Esempi. K[x], spazio delle funzioni
a valori in K, K^n. Notazione: gli elementi di uno spazio vettoriale
si chiamano vettori, i numeri del campo usato si chiamano scalari.
Visualizzazione geometrica di R^2 e collegamenti con i vettori che
rappresentano le forze in fisica. K=K^1 e' uno spazio vettoriale su K. 
Teorema (con dim.) "Se F e' un sottocampo di K allora ogni spazio
vettoriale V su K lo e' anche su F con le stesse operazioni". Esempi:
R come spazio vettoriale su Q e C come spazio vettoriale su R. Spazio
delle matrici m x n a coefficienti in K. Definizione di somma di
matrici e prodotto di una matrice per un numero. Matrici 1 x n ed 
n x 1. Vettori riga e vettori colonna. Moltiplicazioni di una riga per
una colonna. Moltiplicazione riga per colonna di matrici. Matrici
quadrate di ordine n. Matrice Identita'. Struttura di anello non
commutativo sullo spazio delle matrici quadrate. Esempio di due
matrici quadrate A,B non nulle tali che AB=0 e BA diverso da zero.
Definizione di A^n e calcolo di polimomi a valori matrici quadrate.
Teorema se P,Q sono polinomi in K[x] e A e' una matrice quadrata di
ordine n a coefficienti in K, allora le matrici P(A) e Q(A) commutano. 

Lez 4) 05/10/2016 2 ore:
Soluzioni di equazioni polinomiali nello spazio delle matrici.
Esercizi: soluzioni di X^2-X+1=0 e di X^2=1. Inversa di una matrice.
Calcolo dell'inversa di A tramite soluzione del sistema AX=I.
Definizione di equazione lineare in x_1,...,x_n a coefficienti in K.
Equazioni omogene o non.

Lez 5) 07/10/2016 3 ore:
Soluzioni di equazioni lineari. Sistemi di equazioni linerari. Sistemi
omogenei e non. Sistemi equivalenti (sistemi con le stesse soluzioni).
Risoluzione di sistemi lineari col metodo delle sostituzioni. Sistemi
impossibili (0=1) equazioni banali (0=0). Operazioni elementari sulle
equazioni: riordino delle equazioni, moltiplicazione di un'equazione
per un fattore non nullo, somma di due equazioni. Esempi di
risoluzione su R, C, Z/2Z. Matrici associate a sistemi, matrice dei
coefficienti e matrice completa. Scrittura matriciale come Ax=b. 
Sottoinsiemi di spazi vettoriali chiusi per somma. Sottoinsiemi di
spazi vettoriali chiusi per prodotto per scalare, esempi di insiemi
chiusi per somma e non per prodotto e viceversa. Definizione di sottospazio 
vettoriale come sottoinsieme non vuoto chiuso per somma e prodotto.
Notazione W<V. Sottospazio dei polinomi di grado minore di n. 
Teorema: "Se V e' sp. vett. su K e W<V allora W le operazioni indotte
da V su W definiscono in W una struttura di uno sp. vett. su K".
Corollario: "un sottospazio contiene lo zero". Esempi di sottoinsiemi
che non sono sottospazi ma contengono lo zero. L'insieme dei polinomi
di grado esattamente n non e' un sottospazio (non contiene lo zero).

Lez 6) 12/10/2016 2 ore
Esempi di sottospazi vettoriali. L'insieme delle soluzioni di
un'equazione lineare omogenea in n incognite e' un sottospazio di K^n. 
Teorema (con dim.) "intersezione di sottospazi e' sottospazio".
Corollario: "L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo
di m equazioni in n incognite a coefficienti in K e' un sottospazio di
K^n". Trasposta di matrici Trasp(AB)=trasp(B)trasp(A). Combinazioni
lineari. Se X e' un vettore colonna, AX e' combinazione lineare delle
colonne di A. Se X e' un vettore riga, XA e' combinazione lineare dele
righe di A. Definizione "v_1,...,v_n generano V se ogni vettore di V
si esprime come combinazione lineare di v1,...,v_n". Esempi ed esercizi. 

Lez 7) 14/10/2016 3 ore
Teorema del passaggio a soprainsiemi (con dim): "se v1,...,v_n
generano allora v_1,...,v_n,w_1,...,w_k generano"
Teorema (con dim.) "dati v_1,...,v_n e w_i e' comb. lin. dei {v_i}, SE  
w_1,...,w_k generano ALLORA v_1,...,v_n,w_1,...,w_k generano"
Teorema (con dim.) "dati v_1,...,v_n e w_i e' comb. lin. dei {v_i}, SE  
v_1,...,v_n,w_1,...,w_k generano ALLORA v_1,...,v_n,w_1,...,w_k generano"
Esempi ed esercizi.
Definizine di lineare dipendenza e indipendenza. Discussione su "A
implica B se e solo se non B implica non A". Esempi ed esercizi
Teorema del passaggio a sottoinsiemei (con dim.) "se
v_1,...,v_n,w_1,...,w_k sono lin. indip. allora v_1,...,v_n sono lin.
indip." equivalentemente, "se v_1,...,v_n sono lin. dip. allora anche
v_1,...,v_n,w_1,...,w_k sono lin. dip."
Teorema (con dim.) "v_1,...,v_n sono lin. dip. se e solo se uno di
essi si scrive come combinazione lineare degli altri"
Data una matrice A m per n, le colonne di A:
- Sono linearmente indipendenti se il sistema AX=0 ha un'unica soluzione (quella banale)
- Generano K^m se il sistema AX=b ha soluzione per ogni b.
Definizione di Base di uno spazio vettoriale. Teorema (no dim.) ogni V
ha una B. Basi canoniche. Osservazione: la base canonica di K[x] ha
infiniti elementi, quella di dello spazio dei polinomi di grado al
piu' n ha n+1 elementi, quella di K^n ha n elementi quella di
M_(mxn)(K) ha mn elementi.
Lemma dello scarto (con dim.) "Se v_1,...,v_n generano ma sono
dipendenti, allora se ne puo' buttare via uno e continuano a generare"
Teorema (con dim.) "ogni insieme di generatori contiene una base"
dimostrazione tramite il metodo degli scarti successivi: "al passo
i-esimo controllo se v_i e' combinazione lineare dei rimanenti tra i
precedenti, se si lo scarto, altrimenti lo tengo e continuo".

Lez 8) 19/10/2016 2 ore
Teorema (con dim.) "Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti si
puo' completare a base". Teorema (no dim.) "Due basi di uno stesso
spazio vettoriale han sempre la stessa cardinalita'". Definizione di
dimensione di spazio vettoriale. Dimensioni di K^n, K[x], spazi di
matrici. Dimensione di C su R.
Teorema (con dim.) "Sia dim(V)=n e v_1,..,v_k in V. Se i v_i
generano allora k e' maggiore o uguale a n; se i v_i sono linearmente
indipendenti allora k non eccede n. Se k=n allora i v_i generano se e
solo se sono lin. ind. se e solo se sono una base di V"
Teorema (con dim.) "v_1,...,v_k sono base se e solo se ogni vettore v
si scrive in modo unico come loro combinazione lineare"
Definizione di coordinate ed esempi di calcolo.
Teorema (con dim.) "Un sottoinsieme di V e' un sottospazio se e solo
se e' chiuso per combinazioni lineari". Definizione di Span di un
insieme I come 1) piu' piccolo sottospazio contente I, 2) intersezione
di tutti i sottospazi contenenti I, 3) insieme delle combinazioni
lineare di elementi di I. Dimostrazione dell'equivalenza delle tre
definizioni. Definizione di somma di sottospazi, somma diretta. 

Lez 9) 21/10/2016 3 ore
Discussione sullo spazio nullo: ha una base o no? 
La dimensione di V=0 e' zero per convenzione.
Ripasso su span. Esempi: span di vettori, orbita di un pianeta.
Richiami sulla definizione di somma e somma diretta. Somma e somma
diretta per piu' di due sottospazi. Teorema (con dim.) "V= e' somma direttta di
W1 e W2 se e solo se ogni v in V si scrive in modo unico come w1+w2 con wi in Wi".
Teorema (con dim.) "V e' somma diretta di W1,...,Wk se e solo se ogni v in V si
scrive in modo unico come w1+...+wk con wk in Wk". Esempi con sistemi
e con spazi di polinomi.
Formula di Grassmann (con dim.) "dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1
int. W2)" Corollario (con dim.) "se W1 e W2 sono sottospazi di V e la
somma delle loro dimensioni eccede quella di V allora la loro
intersezione non e' zero."
Esempi ed esercizi su Grassmann. Scomposizione dello spazio delle
matrici quadrate a coefficienti reali (o complessi) come omma diretta dello spazio delle  matrici
simmetriche e quello delle antisimmetriche. Discussione dello stesso
problema con K=Z/2Z.

Lez 10) 26/10/2016 2 ore
Definizione di applicazione lineare. Esempi, coordinate come
applicazione lineare da V a K^m. Derivata, valutazione in un punto.
Struttura di spazio vettoriale su hom(V,W). 
Composizione e restrizione, viste anche come applicazioni lineari 
in hom(hom(V,W), hom(U,W)). Trasposta come applicazione lineare dalle
matrici mxn a quelle nxm. Data una matrice A mxn, AX e' applicazione
lineare dalle matrici nxk a quelle mxk. Nel caso k=1 si ottiene
un'applicazione da K^n a K^m. Ker e Imm. Teo (con dim.) "F lineare e'
iniettiva se e solo se ker(f)=0". Osservazione: f lineare e'
suriettiva se e solo se Imm(f)=W.
Teo (con dim.) "F lineare iniettiva,
v1,...,vk lin indip. allora f(v1),...,f(vk) sono lin. inip.". Teo (con
dim.) "f in hom(V,W), v1,...,vk generano V allora f(v1),...,f(vn)
generano Imm(f)". 

Lez 11) 28/10/2016 3 ore
Applicazioni lineari in R^n come applicazioni che preservano i
parallelogrammi. Linearita' delle rotazioni, non linearita delle
traslazioni. Formula delle dimensioni (con dim.) "f in hom(V,W) allora
dim(V)=dim(kerf)+dim(Immf)". Corollario (con dim.) "se dim(V)>dim(W)
non esiste f in hom(V,W) iniettiva ne' g in hom(W,V) suriettiva".
Esempi con applicazioni del tipo f(X)=AX. Derivata f(M)=M^t+M sullo
spazio delle matrici quadrate. Definizione di inversa, inversa destra
e inversa sinistra. Calcolo dell'inversa in coordinate.
Definizione di isomorfismo lineare, composizione
di isomorfismi e inversa della composizione. Teorema (no dim) "F 
lineare e' invertibile se e solo se e' iniettiva e suriettiva".
Isomorfismo tra V e K^n dato dalle coordinate in una base data.
Lemma (con dim.) "Una applicazione lineare da V in W e' determinata
dai valori che assume su una base di V".
Caratterizzazione delle applicazioni lineari da K^n in K come funzioni
del tipo f(x1,...,xn)=a1x1+...+anxn. Caratterizzazioni delle funzioni
lineari da K^n in K^m come funzioni del tipo f(X)=AX. Matrice
associata ad applicazioni lineari in basi in partenza ed in arrivo. 
Matrice delle rotazioni di R^2 in basi canoniche. Matrice della
riflessione. In C visto come R^2, matrice associata alla
moltiplicazione per lambda=a+ib e matrice del coniugio.

Lez 12) 02/11/2016 2 ore
Matrice associata ad applicazione lineare da V a W in basi B_V e B_W. 
Come si usa. Esempi ed esercizi. Formula delle dimensioni dal punto di
vista matriciale.

Lez 13) 04/11/2016 3 ore
Richiami su coordinate in una base data e matrice associata ad
applicazioni lineari con basi date in partenza e in arrivo.
Matrice della derivata sullo spazio V=span(sen x, cos x). Teorema (con
dim.) "La matrice della composizione gf e' il prodotto  M(g)M(f)
(nelle basi opportune". La matrice della funzione identita' con la
stessa base in partenza e in arrivo e' l'identita'. Corollario: "La
matrice dell'inversa e' l'inversa delle matrici (nelle basi
opportune)". Matrice del cambio di base/coordinate. Cambio di basi per
applicazioni lineari, formula M^{-1}AN. Esempi in K^n. Se B=(v1,...,vn) e'
una base di K^n allora la matrice A=[v1...vn] e' la matrice del cambio
di coordinate dalla base B alla canonica e A^{-1} e' la matrice del
cambio inverso. Teorema di estensione lineare unica (con dim.) "se
v1,...,vn e' una base di V e w1,...,wn sono vettori qualsiasi di W,
allora esiste unica una f in hom(V,W) tale che f(vi)=wi". Metodo per
trovare una tale f in K^n attraverso la matrice del cambio di base: la
matrice di f in canoniche e' [w1...wn][v1...vn]^{-1}. Esempi in R^2.
Esempio: Matrici di rotazioni in R^3 rispetto ad assi qualsiasi.
Isomorfismo di hom(V,W) con lo spazio delle matrici mxn con m=dim(W) e
n=dim(V). Piccola digressione sullo spazio duale e sul significato dei
simboli dx dy dz, tanto usati in fisica (fuori programma d'esame).
Esercizi del tipo "trovare la dimensione del sottospazio di
hom(V,W) dato dalle funzioni tali che bla... bla... bla...". 

Lez 14) 09/11/2016 2 ore
Sottospazi affini di K^n come insiemi non vuoti che siano 
soluzione di u sistemi non omogenei AX=b.
Giacitura e dimensione. Teorema (con dim.) "W s.s.a. e' sempre del
tipo X_0+W_0 con W_0=giac(W) e X_0 in W". Teorema (con dim.) "W={AX=b}
s.s.a.  e' s.s.v. se e solo se W=giac(W) se e solo se W contiene 0". 
Teorema (con dim.) "un s.s.a. W=X_0+W_0 e' s.s.v. se e solo se X_0 sta
in W_0". Equazioni parametriche e cartesiane e passaggio dalle une
alle altre tramite risoluzione di sistemi lineari. Ker e Imm di
matrici come Ker e Imm dell'applicazione lin da K^n a K^m associata
in basi canoniche. Def. Rango(A)=dim(Imm(A)). Def. Rango per
righe/colonne di A = dim(span(righe/colonne)). Teorema (con dim.
parziale) "I tre ranghi coincidono" in particolare R(A)=R(A^T).
Teorema (con dim.) "Se M,N sono invertibili R(A)=R(MAN)".
Operazioni elementari su righe/colonne. Teorema (con dim.) "le op. el.
non cambiano il rango". Matrici ridotte a scala, fatto: ogni matrice
si riduce a scala con op. elem. Operazioni elementari come prodotto (a
dx o sx) per matrici elementari. Teorema (con dim.): "il rango di A e' il 
numero delle righe non nulle in una qualsiasi riduzione a scala di A".
Esempi di riduzione a scala. Legame tra operazioni elementari e
risoluzione di sistemi lineari per sostituzione. Operazione elementare
associata a "ricavo la x e la sostituisco nelle altre equazioni".
Esempio esplicito di come si trasforma la matrice associata a un sistema 
durante la risoluzione per sostituzione. Metodo di riduzione di
Gauss-Jordan per trovare l'inversa di una matrice. Teorema di Rouche'
capelli (con dim.) "un sistema di n equazioni AX=b ha soluzione se e 
solo se R(A)=R(Ab) e in tal caso la sua dimensione e' n-R(A)"

Lez 15) 11/11/2016 3 ore
Richiami sul rango. Se A e' m per n allora R(A) e' minore o uguale sia di n 
che di m. Teorema (con dim.) "v1...vn vettori di k^m. Detta A=[v1...vn],
allora i vettori vi generano se e solo se R(A)=m, sono lin. ind. se e solo 
se R(A)=n, sono base se e solo se R(A)=n=m. In oltre Per
Rouche'-Capelli cio' e' equivalente a che' il sistema AX=b abbia, 
rispettivamente, almeno 1 soluzione, al piu' 1 soluzione, esattamente
1 soluzione per ogni b." Teorema (con dim.) "Siano V,W s.s.a. di K^n.
Se la somma delle giaciture e' K^n allora V e W si intersecano e vale
la formula di Grassmann". Posizioni reciproche di sottospazi affini,
casi generici/stabili e non generici/instabili. Determinante di
matrici quadrate. Interpretazione geometrica come area/volumi.
Determinante di matrici 1 x 1 e matrici 2 x 2. Definizione ricorsiva:
Definizione di cofattore, definizione di det(A) tramite lo sviluppo
per riga/colonna. Esempi. Proprieta' del determinante: det(I)=1,
det(AB)=det(A)det(B), det(A)=det(A^t), deta(A)=0 se e solo se A non e'
invertibile, det(A^{-1})=1/det(A). Multilinearita' e alternanza sulle
riche e sulle colonne. Effetto sul determinante delle operazioni
elementari su righe/colonne. det(a A)=a^n det (A). Matrice dei
cofattori. Teorema (con dim.) "cof(A)^T A=det(A) I". Regola di Cramer:
AX=b, A invertibile allora X=A^{-1}b con A espressa tramite la matrice
dei cofattori. Esempi. Sottomatrici, minori e orlati. Teorema (no dim.) dei
minori orlati "Se A ha un minore non nullo di ordine k allora R(A) e'
almeno k, se in oltre tutti i suoi orlati sono nulli allora R(A)=k".
Esempio di calcolo del rango coi minori orlati. Passaggio da equazioni
paramentriche a cartesiane (per sottospazi affini di K^n)  usando il
metodo dei minori orlati. Esempi espliciti per piani in R^3 e R^4.

Lez 16) 16/11/2016 2 ore:
Punti affinemente indipendenti. Combinazioni affini. Teorema (con
dim.) "Se P0,...,Pk affinemente indipendenti in K^n allora esiste un
unico sottospazio affine k-dimensionale W di K^n che contiene tutti i
Pi. Inoltre W consiste dell'insieme di tutte le combinazioni affini
dei Pi". In equazioni parametriche W=P0+t1(P1-P0)+...+tk(Pk-P0). Per
trovare le equazioni cartesiane basta fare il passaggio da
parametriche a cartesiane, per esempio usando i minori orlati. Esempi:
retta per due punti in Rì2 e R^3, piano per tre punti non allineati in
R^3,R^4. Teorema (con dim.) "P0,...,Pk affinemente indipendenti, W
s.s.a. k-dim che li contiene, allora ogni X in W si scrive in modo
unico come combinazione affine dei Pi". Cio' definisce le coordinate
baricentriche di X rispetto ai Pi. Discussione del significato fisico
delle coordinate baricentriche. Trasformazioni affini e affinita'.
Teorema (con dim.) "Dati P0,...,Pn affinemente indipendenti in K^n, e
Q0,...,Qn in K^n, esiste una unica trasformazione affine f(X)=AX+b
tale che f(Pi)=Qi". Metodo per trovarla in coordinate canoniche.
Esempi: cambi di riferimento affini, rotazioni rispetto a rette
qualsiasi. Esercizio su sottospazi affini dipendenti da parametro.

Lez 17) 18/11/2016 3 ore:
Endomorfismi. Cambio di base per endomorfismi. Matrici simili.
Teorema (con dim.) "Due matrici sono simili se e solo se rappresentano
lo stesso endomorfismo in basi diverse". Esempi.
Sottospazi invarianti e matrici a blocchi. Esempi.
Autovalori e autovettori. Esempi: f=derivata, f(M)=M^T. 
Autospazi: V_a={v in V t.c. f(v)=av}. Teorema (con dim.) "V_a=ker(f-aI)". 
Corollario: "V_a e' un sottospazio vettoriale". Teorema (con dim.)
"Autospazi relativi ad autovalori diversi sono in somma diretta".
Polinomio caratteristico di matrici e di endomorfismi. Teorema (con
dim. lasciata per esercizio) "Il grado del polinomio caratteristico e'
uguale a dim(V)". Teorema (con dim.) "Due matrici simili hanno sempre
lo steso polinomio caratteristico". Teorema (con dim.) "a e'
autovalore per f se e solo se e' radice del polinomio caratteristico
di f". Molteplicita' algebrica e geometrica di autovalori. Teorema
(con dim.) "1 <= m_g<=<=m_a<=dim(V)". Teorema (con dim.) "la somma
delle molteplicita' algebriche degli autovalori e' sempre <= dim(V)".
Definizione "f e' diagonalizzabile se V ammette una base di
autovettori per f". Definizione "A e' diagonalizzabile se e' simile a
una matrice diagonale". Teorema (con dim.) "f e' diagonalizzabile se
la sua matrice in una qualsiasi base e' diagonalizzabile." Definizione
"f e' triangolabile se V ammette una base v1,v2,... tale che f(vi) sta
in span(v1,...,vi) per ogni i". Definizione "A e' triangolabile se e' 
simile a una matrice triangolare". Teorema (con dim.) "f e'
triangolabile se e solo se la sua matrice in una base qualsiasi lo e'.
Teorema (con dim.) "f e' diagonalizzabile se e solo se V e' somma
diretta degli autospazi". Teorema (no dim.) "f e' triangolabile se e
solo se la somma delle molteplicita' algebriche e' uguale alla
dimensione di V". Teorema (con dim.) "f e' diagonalizzabile se e solo
se la somma delle molteplicita' geometriche e' uguale alla dimensione
di V se e solo se e' triangolabile e m_g=m_a per tutti gli autovalori".
Corollario: "Se dim(V)=n e f ha n autovalori distinti allora e'
diagonalizzabile". Teorema (no dim.) "Se A e' simmetrica reale allora e'
diagonalizzabile". Esempi ed esercizi. 

Lez 18) 23/11/2016 2 ore:
Autovettori coplessi delle rotazioni. Polarizzazione complessa e
visione 3D. Esempio di matrice simmetrica non diagonalizzabile su Z/2Z.
Blocchi di Jordan, matrici di Jordan. Dinamica di un blocco di Jordan.
Forma canonica di Jordan. Diagrammi di Young e algoritmo per determinare 
la forma di Jordan. Teorema (no dim.) "ogni automorfismo triangolab
ile ammette una forma di Jordan, unica a meno di permutazione dei
blocchi". Corollario "due matrici quadrate A,B triangolabili sono
simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan". 

Lez 19) 25/11/2016 3 ore:
Esercizi su forma di Jordan. 
Forme bilineari, definizione e proprieta'. Esempi, tra cui:
determinante 2x2, integrale di f per g, X^tAY. Spazio bil(V). Teorema
(con dim.) "ogni forma bilineare e' univocamente determinata dai
valori che assume su una base". Matrice associata a una forma
bilineare in una base fissata. Isomorfismo lineare tra bil(V) e spazio
delle matrici quadrate. Metodi per scrivere la matrice associata.
Forme simmetriche e antisimmetriche. Teorema (con dim.) "b e'
simmetrica se e solo se la sua matrice in una qualsiasi base lo e'; b
e' antisimmetrica se e solo se la sua matrice in una qualsiasi base lo
e'". Teorema (con dim.) "se 2 e' diverso da 0 allora bil(V) e' somma
diretta delle simmetriche e delle antisimmetriche".
Forma quadratica associata a una forma bilineare. Teorema (con
dim.) "se 2 e' diverso da zero allora  una forma bilineare simmetrica
e' univocamente determinata dalla sua forma quadratica". Teorema (con
dim.) "se 2 e' diverso da zero allora la forma quadratica associata a
una forma bilineare antisimmetrica e' nulla."
Definizione di forma non degenere "b(v,w)=0 per ogni w implica v=0".
Teorema (con dim.) "b e' non degenere se e solo se la sua matrice in
una base qualsiasi e' invertibile". 
Fuori programma: Teorema "se b in bil(V) e' non degenere allora per
ogni f in End(V) esiste g tale che b(v,f(w))=b(g(v),w)" tale g si dice
aggiunto di f. f e' autoaggiunto se coincide col suo aggiunto. Se la
matrice di b e' l'identita', cioe' forma quadratica x1^2+...+xn^2,
allora f e' aggiunto se e solo se la sua matrice e' simmetrica (stessa
base per b e f).

Lez 20) 30/11/2016 2 ore:
Prodotti scalari. Prodotti scalari standart su R^n e su spazi di
funzioni. Teorema (con dim.) "un prodotto scalare e' non
degenere". Teorema (con dim) "se A e' la matrice associata a un
prodotto scalare allore gli autovalori di A sono positivi". Criterio
dei minori principali (no dim.). Segnatura, definizione e teorema
(senza dim.) dell'indipendenza dalla base scelta. Radicale di b.
Spazio di Minkowski. Digressione su come si definiscono prodotti
interni su spazi complessi: su C^n e su spazi di funzioni complessi.
Esercizi sulla segnatura. Definizione di ortogonalita', ortogonale di
un vettore e di un insieme. Teorema "l'ortogonale di un vettore e' un
sottospazio". Corollario "l'ortogonale di un insieme e' un
sottospazio". Teorema "l'ortogonale di I e' uguale all'ortogolane di
span(I)". Teorema (no dim.) "In dimensione finita l'ortogonale
all'ortogonale di I e' span I". Corollario "In dimensione finita, se
W<V, l'ortogonale all'ortogonale di W e' W stesso." In R^n col
prodotto scalare standart, corrispondenza tra le equazioni cartesiane
di W e quelle parametriche dell'ortogonale di W e viceversa.

Lez 21) 02/12/2016 3 ore:
Richiami su forme bilineari e ortognonalita'. Passaggio da W al suo
ortogonale con prodotti scalari qualsiasi (in coordinate) sia con
equazioni parametriche che cartesiane. Teorema (con dim.) "In
dimensione finita, se W<V allora V e' somma diretta di W e del suo
ortogonale". Disuguaglianza di Schwarz (con dim.). Definizione di
angolo tra vettori, teoremi di Pitagora e Carnot (con dim.) Proiezione
di un vettore lungo un altro. Teorema (con dim.) "In dimensione
qualsiasi, V e' somma diretta di span(v) e del suo ortogonale".
Sistemi e basi ortogonali/normali. Matrici Ortogonali. Serie di Fourier.
Teorema spettrale (solo enunciato).

Lez 22) 07/12/2016 2 ore:
Richiami su basi ortonormale e matrici ortogonali. Ortonormalizzazione
di Gram-Schmidt. Esempi di calcolo. Applicazioni: matrice della
rotazione rispetto ad asse generica, scomposizione di un vettore in
componente lungo W e lungo W ortogonale con W dato sia in eq.
parametriche che cartesiane. 

Lez 23) 14/12/2016 2 ore:
Richiami su Gram-Schmidt. Lemma (con dim) "Se A e' un operatore
autoaggiunto gli atuospazi relativi ad autovalori diversi sono
ortogonali tra loro". Corollario "Per trovare una base ortonormale di
autovettori per un operatore autoaggionto basta applicare Gram-Schmidt
separatamente su ogni sottospazio". Definizione di distanza (o metrica). 
Distanza indotta da un prodotto scalare e dimostrazione della
disuguaglianza triangolare tramite la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. 
Distanza tra sottospazi affini di R^n con il prodotto scalare
standard. Formule per distanza punto piano e punto retta, usando
equazioni parametriche e cartesiane.