A.A. 2018/2019
Corsi di laurea: Ing. Aerospaziale e Meccanica

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Lez 1) 18/09/2018 3 ore:
Insiemi, notazione con le parentesi graffe {a,b,c} (che e' uguale a
{b,c,a}) oppure tramite formule {x | p(x)}. Battaglie navali e Prodotti 
cartesiani. Notazione (a,b) come coppia ordinata e generalizzazione.
(a,b,c) e' diverso da (b,a,c). Esempi di insiemi numerici e di insiemi
non numerici (l'insieme delle persone di quest'aula che si chiamano
Giovanni etc...) Funzioni tra insiemi, notazione con la freccia F:A-->B.
Funzioni da prodotti come funzioni di piu' variabili, 
(esempio f:RxR-->R data da f(x,y)=x+y e simili). Inversa insiemistica:
se f:X-->Y e' una funzione, l'inversa insiemistica f^-1:{sottoinsiemi
di Y}-->{sottoinsiemi di X} e' definita come f^-1(A)={x in X t.c. f(x)
e' in A}. Esempi con insiemi numerici e non. Composizione di funzioni.
Composizione come funzione {f:X-->Y}x{f:Y-->Z}-->{f:X-->Z}. 
Definizione di operazione associativa su un insieme X come funzione da
XxX in X tale che x(yz)=(xy)z (in notazione moltiplicativa).
Definizione di operazione commutativa. Esempi e non esempi (le 4
operazioni classiche e la composizione). Definizione di Gruppo e
gruppo abeliano. Notazione additiva di +,0,-x per i gruppi abeliani.
Esempi e non esempi: N,Z,Q col +,* usuali, Q\{0} col
+ e * usuali. Definizione di Anello e Campo (da approfondire la
prossima volta). Nel corso della lezione sono stati introdotti e
spiegati i comuni simboli in uso nella matematica come ad esempio il
"per ogni" e "esiste" il simbolo di appartenenza la sottrazione tra
insiemi etc...

Lez 2) 21/09/2018 2 ore:
Numeri complessi e interi modulo due e loro struttura di campo.
Polinomi a coefficienti in K, notazione K[x], struttura di anello
con le usuali operazioni. Notazione "Sigma" per le sommatorie.
Definizione a e' radice di p se p(a)=0. Teorema (no dim.) a e' radice
di p se e solo se (x-a) divide p.

Lez 3) 25/09/2018 3 ore:
Teorema fondamentale dell'algebra su C e su R (senza dimostrazione).
Radici reali e radici complesse coniugate di polinomi a coefficienti
reali. K^n come insieme delle ennuple ordinate. Equazioni lineari omogene e 
non. Soluzioni di equazioni lineari come elementi di K^n. Esempi di rette in 
R^2. Sistemi di equazioni lineari, sistemi omogenei e non. Equazioni
0=0 e 0=1. Somma in K^n, visualizzazione geometrica e regola del 
parallelogramma in R^2. Struttura di gruppo su (K^n,+), moltiplicazione di 
una ennupla per un numero.  Soluzioni di sistemi lineari. Algoritmo di 
risoluzione di sistemi per sostituzione. Esempi.
Sistemi in R^3 che hanno soluzioni tipo "moto rettilineo uniforme"
S(t)=Vt+S(0). Stesso tipo di sistemi pero' in (Z/2Z)^3. Esempi di sistemi con
piu' equazioni che incognite e sistemi con meno equazioni che incognite.
Sistemi impossibili.

Lez 4) 28/09/2018 2 ore:
Matrici. Una matrice m x n a coefficienti in K e' una tabella con m
righe e n colonne le cui caselle sono tutte occupate da numeri di K.
Notazione M_(m x n)(K). Identificazione di K^n com matrici riga o con
matrici colonna. Notazione A=(a_ij) e A_ij. Esempi di matrici
(A_ij=i+j, A_ij=ij, A_ij=(-1)^(i+j), A_ij=delta_ij etc...).
Definizione di somma di matrici: (A+B)_ij=A_ij+B_ij. L'insieme delle
matrici m x n con tale somma e' un gruppo abeliano, il cui neutro e'
la matrice nulla, quella con tutti 0. Moltiplicazione di una matrice
per un numero. Esempi numerici. Matrici associate a sistemi lineari:
matrice dei coefficienti, colonna dei termini noti e matrice completa.
Esempi di passaggio Matrice-Sistema e viceversa. Matrici (e sistemi)
dipendenti da parametri: si tratta il parametro come numero, stando
attenti quando si divide che la quantita' per cui si divide non sia
mai nulla, e ci si comporta come al solito. Moltiplicazione riga per
colonna, caso di una riga per una colonna, esempi numerici e
discussione del fatto che il risultato e' un numero. Esempio di
moltiplicazione di una riga per una colonna di incognite. Caso
generale. Discussione su matrici moltiplicabili tra loro. Esempi
numerici. Si e' evidenziato che la i-esima riga di AB si ottiene
moltiplicando la i-esima riga di A per B e che la j-esima colonna di
AB si ottiene moltiplicando A per la j-esima colonna di B. Casi di
righe/colonne del tipo (1,0,0), (0,1,0) etc... Moltiplicazione di una
matrice per una colonna di incognite. Sistemi lineari in forma
matriciale AX=b. Non commutativita' del prodotto. Esempi. Mancanza
della legge di cancellazione: esempio di matrice non nulla A tale che
A^2=0.

Lez 5) 02/10/2018 3 ore:
Una riga per una colonna dà un numero, una colonna per una riga dà una matrice.
Trasposizione di matrici. Teorema (con 2 dim.) "(AB)^T=B^TA^T". 
Anello delle matrici quadrate. Non commutatività, matrice identita'.
Teorema (con dim.) "AI=A=IA". Inversa di una matrice e matrici invertibili. 
Teorema (no dim.) "Se A e B sono matrici quadrate a coefficienti in K
tali che AB=I allora anche BA=I". Calcolo dell'inversa tramite
risoluzione del sistema lineare AX=I. Esempi numerici di risoluzione
di tale sistema, casi di matrici invertibili e non.  Polinomi valutati
su matrici. Esempi, alcune soluzioni di x^2=1 nello spazio delle
matrici 2 x 2.
Definizione di spazio vettoriale su un campo K: (V,+,*) ove (V,+) e' un gruppo
abeliano, * e' la moltiplicazione mista o per scalare *:V x K --> V,
tali che valgano le usuali proprietà distributive a associativa e tale
che 1v=v. Esempi di spazi vettoriali: K, K^n, K[x], M_{m x n}(K).
Spazio K^X delle funzioni da X in K. Definzione di combinazione lineare. 
Esempi di combinazioni lineari in ognuno degli spazi descritti.
Vettori elementari del tipo (0,0,...0,1,0,...,0) in K^n. Matrici
elementari E_ij. Cambiamento di fase come combinazione lineare
(cos(x+pi/3)=1/2 cos x - sqrt 3/2 sen x). Definizione di insiemi
chiusi per somma e prodotto. Esempi in R^2: Z^2 e' chiuso per somma ma
non per prodotto per scalare, la retta di equazione y=x+1 non e'
chiusa ne' per somma ne' per prodotto, l'insieme descritto
dall'equazione xy=0 e' chiuso per prodotto ma non per somma. La retta
dei numeri reali, come sottoinsieme di C e' chiuso per somma ma non
per moltiplicazione per scalare complesso.  

Lez 6) 05/10/2018 2 ore:
Richiami su combinazioni lineari. Teorema (con dim.) "Se A e' una
matrice e X un vettore colonna allora AX e' la combinazione lineare
delle colonne di A con coefficienti x1,...,xn". Definizione di insieme
chiuso per combinazioni lineari. Teorema (con dim.) "Un sottoinsieme
di uno spazio vettoriale V e' chiuso per combinazioni lineari se e
solo se e' chiuso per somma e prodotto". Discussione su come si
dimostrano affermazioni del tipo "se e solo se". Definizione di
sottospazio vettoriale come sottoinsieme non vuoto chiuso per combinazioni
lineari. Notazione W<V. Se W<V allora le operazioni di V inducono
operazioni su W, che risulta uno spazio vettoriale su K. Teorema (con
dim.) "Se W < V allora lo zero di V sta in W". Esempi e non esempi 
di sottospazi. Sottospazio dei polinomi di grado al piu' n.
Sottospazio di polinomi che si annullano in zero. Sottospazio delle
soluzioni di f''=-f (oscillatore armonico). Sottospazio delle matrici
simmetriche e antisimmetriche. Rette in R^2: quelle passanti per
l'origine sono sottospazi, le altre no. Visualizzazione
dell'invarianza per somma e prodotto in R^2 attraverso omotetie e
parallelogrammi. Teorema (con dim.) "Intersezione di sottospazi e'
sottospazio".   

Lez 7) 09/10/18 3 ore:
Teorema (con dim.) "L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare
omogeneo e' un sottospazio di K^n (ove n e' il numero delle
incognite)" Definizione di lineare dipendenza e indipendenza. Esempi.
Risolvere il problema della lineare indipendenza impostando un sistema
lineare. AX=0 ha soluzione unica se e solo se le colonne di A sono
linearmente indipendenti. Teorema (con dim.) "v1,...,vn sono
linearmente dipendenti se e solo se uno di essi si scrive come
combinazione lineare degli altri". Lineare dipendenza e indipendenza
in R^3. Definizione di insieme di generatori. Esempi. Come capire se
dei vettori generano o meno impostando un sistema lineare. Le colonne
di A generano se e solo se il sistema AX=b ha soluzione qualsiasi sia b.
Definizione di lineare indipendenza e generatori per insiemi qualsiasi
(anche infiniti) usando solo le combinazioni lineari finite. Esempio
dei monomi che generano K[x] e sono anche linearmente indipendenti.

Lez 8) 12/10/2018 2 ore:

Tre definizioni equivalenti di Span di un insieme I: Come intersezione
di sottospazi contenenti I, come il piu' piccolo sottospazio che
contiene I, come insieme delle combinazioni lineari degli elementi di I. 
Dimostrazione dell'equivalenza delle tre definizioni. Esempi.
Orbita di un pianeta e piano orbitale. Lemma (con dim.) "Sottoinsiemi
di vettori linearmente indipendenti sono formati da vettori
linearmente indipendenti". Discussione del fatto che dimostrare 
"A implica B" e' equivalente a dimostrare "non B implica non A". 
Lemma (con dim.) "Soprainsiemi di generatori sono generatori". 
Lemma (con dim.) "Se J e' in Span(I) e J genera allora I genera". 
Corollario (con dim.) "Se J e' in Span(I) e J ed I insieme generano,
allora I genera". Esempi di applicazione del corollario.  

Lez 9) 16/10/2018 3 ore:

Definizione di base di uno spazio vettoriale come insieme ordinato di
vettori linearmente indipendenti che generano (per convenzione lo
spazio formato dal solo zero ha come base il vuoto). Ordini diversi
definiscono basi diverse. Basi canoniche di K, K^n, K_{<n}[x], K[x], e
degli spazi di matrici. Esempi di basi di sottospazi di soluzioni di
sistemi lineari omogenei. Basi degli spazi delle matrici simmetriche e
antisimmetriche 2x e 3x3. Base di C come spazio vettoriale su R.
Teorema (no dim.) "Ogni spazio vettoriale ha una base". Lemma della
cardinalita' "Se v1,...,vn generano e w1,...,wk sono lin. indip.
allora k e' minore o uguale a n". Corollario (con dim.) "Due basi
qualsiasi di uno stesso spazio vettoriale hanno sempre lo stesso numero di
elementi". Definizione di dim(V) come numero di elementi di una sua
base. dim(K)=1, dim(K^n)=n, dim(K_{<=n}[x])=n+1, dimensioni degli
spazi di matrici, dimensione degli spazi delle matrici simmetriche e
antisimmetriche. K[x] ha dimensione infinita. La dimensione di C come
spazio vettoriale su R e' 2. Esercizi: se dim(V) su C e' n allora la
dim(V) su R e' 2n, dim(R) su Q e' infinito. Esempi di dimensioni di
spazi delle soluzioni di sistemi lineari omogenei. Corollario del
lemma della cardinalità (con dim.) "Se W<V allora dim(W)<dim(V)".
Sottospazi di R, R^2, R^3. Algoritmo degli scarti successivi. Teorema
(con dim. solo in dimensione finita) "Da ogni sistema di generatori si puo'
estrarre una base" Teorema (con dim. solo in dimensione finita) "Ogni
insieme di vettori linearmente indipendenti si puo' estendere a base".
Esempi in R^3. Corollario (con dim.) "Se dim(V)=n, allora v1,...,vn
sono lin. indip. se e solo se generano se e solo se sono una base di V".  

Lez 10) 19/10/2018 2 ore:
Teorema delle coordinate (con dim.) "v1,...vk sono base di V se e solo
se ogni vettore di V si esprime come combinazione lineare di essi"
Definizione del vettore dell coordinate di v in Vrispetto a una base
B=(v1,...vn) di V. Se v=x1v1+...+xkvk allora [v]_B=(x1,...,x_n). Le
coordinate di v sono sempre un vettore di K^n (ove n e' la dimensione
di V). Esempi di calcolo di coordinate. Uso delle coordinate per
trasformare ogni spazio vettoriale (di dimensione finita) in un K^n.
Somma sottospazi: V+W=span(V unione W). Somma diretta di sottospazi,
definizione ed esempi. Enunciato della Formula di Grassmann.

Lez 11) 23/10/2018 3 ore:
Dimostrazione della Formula di Grassmann. Esempi di uso in R^n.
Corollario (con dim.) "Due piani vettoriali in R3 si intersecano
sempre almeno in una retta". Generalizzazioni a Kn. Corollario (con dim.) "Se
dim(W1)+dim(W2)<dim(V) allora W1+W2 non puo' essere V".
Esercizi sulle coordinate. Matrice del cambio di coordinate da base
canonica a base qualsiasi in K^n: se v1,...,vn e' una base di K^n, le
coordinate di v in tale base si calcolano attraverso la fomula
[v1...vn]^{-1}v. Esercizi su Span di traiettorie in R2 e R3.

Lez 12) 26/10/2018 2 ore:
Definizione di applicazione lineare. Esempi e non esempi. Funzioni
lineari e non da R in R. Linearita' delle
coordinate, della derivata, della trasposizione, della moltiplicazione
riga per colonna. Applicazioni lineari da K^n in K^m. Funzioni del
dipo f(X)=AX. Definizione di nucleo (Ker) e immagine. Teorema (con
dim.) "Se F:V-> W e' lineare, allora Ker f < V e Imm f < W". Teorema
(con dim.) "f lineare e' iniettiva se e solo se ker f ={0}".
Controesempi nel caso di funzioni non lineari. Osservazione "f e'
suriettiva se e solo se Imm f = W". Nel caso di funzioni f(X)=AX, ker
f e' il sottospazio delle soluzioni di AX=0, e f e' iniettiva
se e solo se le colonne di A sono linearmente indipendenti; Imm f e'
il sottospazio generato dalle colonne di A e risolvere AX=b equivale a
chiedere se b appartiene a Imm f, f e' suriettiva se e solo se le
colonne di A generano. Notazione Ker A e Imm A quando A e' una
matrice. Teorema (con dim.) (Formula delle dimensioni) "f:V -> W
lineare allora dim(V) = dim(Ker f) + dim(Imm f)".

Lez 13) 30/10/2018 3 ore:
Definizione di isomorfismo lineare. Teo (no dim.) "Se f e' lineare e
invertibile allora l'inversa e' lineare". Teorema (con dim.) 
"Sia f:V->W lineare. Se dim(V)<dim(W) allora f non e' suriettiva, se
dim(V)>dim(W) allora f non e' iniettiva, se dim(V)=dim(W) allora f e'
iniettiva se e solo se e' suriettiva se e solo se e' un isomorfismo".
Teorema (con dim.) "V e W sono isomorfi se e solo se hanno la stessa
dimensione. Se dim(V)=dim(W)=n allora sono entrambi isomorfi a K^n".
Esempi espliciti di isomorfismi tra spazi di polinomi e spazi di
matrici. Teorema (con dim.) "Composizione di applicazioni lineari e'
lineare". Esempi di composizione di funzioni del tipo f(X)=AX.
Struttura di spazio vettoriale sull'insieme delle applicazioni lineari
da V a W (notazione hom(V,W)). Teorema (con dim.) "Se v1...vn e'
generano V e f,g sono due funzioni in hom(V,W) tali che f(vi)=g(vi)
per ogni i allora f=g". Esempi e non esempi. Corollario (con dim.):
Teorema di estensione lineare unica "Se v1,...,vn e' una base di V e
w1,...,wn sono vettori qualsiasi di W allora esiste una unica f in
hom(V,W) tale che f(vi)=wi per ogni i". Costruzione esplicita di tale
f, in forma matriciale, nel caso di hom(K^n,K^m). Definizione di
matrice associata a un'applicazione lineare in basi date in partenza e
in arrivo. Esempi (matrice della derivata etc...). Teorema (con dim)
"la matrice associata a f in hom(V,W) nelle basi Bv e Bw e' l'unica
matrice A tale che [f(v)]_Bw=A[v]_Bv".

Lez 14) 06/11/2018 3 ore:
Esercisi su matrici associate ad applicazioni lineari. Isomorfismo di
Hom(V,W) con lo spazio delle matrici. Cambio di base in partenza e in
arrivo. Definizione di rango per righe e rango per colonne di una
matrice. Teorema (no dim.) "rango per righe = rango per colonne".
Osservazione: rango(A)=dim(Imm(A)), rango (A)=rango(A^t), rango(A)
e' minore o uguale al numero di righe, rango(A) e' minore o uguale al
numero di colonne. Esempi. 

Lez 15) 09/11/2018 3 ore:
Definizione di sottospazi affini di K^n come insieme delle soluzioni
di sistemi non omogenei AX=b. Definizione di Giacitura come
sottospazio delle soluzioni dell'associato sistema omogeneo AX=0.
Esempi. Sottospazi affini come traslati della giacitura: Teorema (con
dim.) "Se W={AX=b}, e X e' un punto quasiasi di W allora W={X+Y al
variare di Y tale che AY=0}". Definizione di dimensione di un
sottospazio affine come dimensione della sua giacitura. Teorema di
Rouche'-Capelli (con dim.). Operazioni elementari sulle righe e
colonne di matrici. Teorema (con dim.) "Le operazioni elementari sulle righe
(risp. colonne) non cambiano lo spazio generato dalle righe (risp.
colonne) di A". Corollario (con dim.) "Le operazioni elementari su
righe e/o colonne non cambiano il rango di A". Matrici a scalini e
riduzione a scala tramite operazioni elementari sulle righe
(algoritmo). Calcolo del rango mediante la riduzione a scala: teorema
(con dim) "Il rango di A e' il numero di righe non nulle in una sua
qualsiasi riduzione a scala". Esercizi ed esempi. Calcolo dell'inversa
di A tramite operazioni elementari sulle righe di (A|I). Relazione tra
operazioni elementari sulle righe e risoluzione dei sistemi lineari
per sostituzione.

Lez 16) 13/11/2018 3 ore:
Determinante, definizione, discussione sulle aree, sviluppo per riga o
colonna. Matrici diagonali e triangolari e loro determinante. 
Proprietà del determinante. Operazioni elementari vs determinante.
Matrice dei cofattori. Calcolo dell'inversa con la matrice dei
cofattori. Sottomatrici e minori. Teorema dei minori orlati (senza
dim.) per il calcolo del rango di una matrice.

Lez 17) 16/11/2018 2 ore:
Equazioni parametriche e cartesiane si sottospazi affini di K^n.
Sottospazi vettoriali come caso particolare di sottospazi affini. 
Passaggio da parametriche a cartesiane e viceversa, tramite
risoluzione di sistemi per sostituzione e tramite il teorema dei
minori orlati. Posizioni reciproche di sottospazi affini. Casi
generici e non.

Lez 18) 20/11/2018 3 ore:
Punti affinemente indipendenti in K^n. Combinazioni affini. Teorema (con dim.)
"P0,...,Pk sono affinemente dipendenti se e solo se uno di essi e'
combinazione affine degli altri". Esempi in R^2 e R^3. Definizione di
inviluppo affine come insieme di tutte le combinazioni affini. Teorema
(dim non fatta in classe) "L'inviluppo affine di P0,...,Pk e' il piu'
piccolo sottospazio affine contenente tutti i Pi e, se essi sono
affinemente indipendenti, esso ha equazioni parametriche
P0+t1(P1-P0)+...+tk(Pk-P0)". Equazioni cartesiane di retta per due
punti e piano per tre punti. Teorema (dim non fatta in classe) "se
P0,...,Pk sono affinemente indipendenti ogni punto del loro inviluppo
affine si esprime in modo unico come loro combinazione affine" e
conseguente definizione delle coordinate baricentriche. Discussione
sul baricentro di distribuzioni di masse e di corpi in R^3.
Trasformazioni affini come funzioni da K^n in K^m del tipo F(X)=AX+b;
A e' detta parte lineare e b termine di traslazione. Una
trasformazione affine e' detta affinita' se A e' invertibile. Esempi.
Forma matriciale di rotazioni e riflessioni. Teorema (con dim.) "Se
P0,...,Pn sono punti affinemente indipendenti di K^n (stesso n) e
Q0,...,Qn sono punti qualsiasi di K^n allora esiste un'unica
trasformazione affine f tale che f(Pi)=Qi per ogni i". Formula per
trovare parte lineare e termine di traslazione. Esempi.

Endomorfismi. Notazione End(V)=Hom(V,V). Quando si parla di
endomorfismi, le matrici associate son quadrate e la base di partenza
e' sempre uguale a quella di arrivo. Formula del cambio di base:
N^{-1}AN. Definizione di matrici simili. Teorema (con dim.) "due
matrici sono simili se e solo se esprimono lo stesso endomorfismo in
basi diverse". Definizione di autovalore e autovettore. Esempi.
Teorema (con dim.) "Se v e' autovettore relativo a lambda e mu allora
lambda=mu". Definizione di autospazio relativo a lambda come ker
(f-lambda Id). Teorema (con dim.) "l'autospazio relativo a lambda e'
formato dallo zero e da tutti e soli gli autovettori di lambda".
Definizione di polinomio caratteristico di una matrice quadrata.
Teorema (con dim.) "matrici simili hanno lo stesso polinomio
caratteristico". Corollario (con dim.) "due matrici dello stesso
endomorfismo hanno lo stesso polinomio caratteristico". Definizione:
il polinomio caratteristico di f in End(V) e' det(A-xId) ove A e' la
matrice associata a f in una base qualunque. Discussione sul segno e
sulla notazione per il polinomio caratteristico.

Lez 19) 23/11/2018 3 ore:
Come trovare autovalori e autovettori. Esempi. Molteplicita'
algebriche e geometriche. Teorema (con dim.) "la molteplicita'
geometrica di un autovalore e' almeno 1 e non supera quella algebrica"
Teorema (con dim.) "La somma delle molteplicita' algebriche non supera
la dimensione di V". Definizione "f in End(V) e' diagonalizzabile  se
V ammette una base di autovettori di f, e' triangolabile se ammette
una base v1,...,vn tale che f(vi) sta in span(v1,..,vi)". Teorema (con
dim.) "f e' diagonalizzabile (risp. triangolabile) se e solo se la sua
matrice in una base qualsiasi e' simile a una diagonale (risp.
triangolare) se e solo se esiste una base tale che la matrice
associata a f sia diagonale (risp. triangolare)". Teorema (con dim.)
"f in End(V) e' diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicita'
geometriche = dim V, se se solo se V e' somma diretta degli autospazi
di f; f e' triangolabile se e solo se la somma delle molteplicita'
algebriche =  dim V, se e solo se il polinomio caratteristico si
fattorizzza completamente in K in fattori di primo grado". Esempi.

Lez 20) 27/11/2018 3 ore: 
Esercizi su diagonalizzazione. Fatto (non dim.) le matrici simmetriche
su R sono diagonalizzabili. Esempi di matrici simmetriche non
diagonalizzabili su altri campi. Blocchi di Jordan e Forma di Jordan.
Algoritmo per determinarla. Esempi.

Lez 21) 30/11/2018 2 ore:
Forme bilineari, definizione e propriet\a. Esempi, tra cui:
determinante 2x2, X^tAY, intergrale di fg. Spazio bil(V). Teorema (con
dim.) "Ogni forma bilineare e' univocamente determinata dai valori che
assume su una base". Matrice associata a una forma bilineare in una
base data. Isomorfismo tra bil(V) e spazio delle matrici quadrate.
Cambio di base, formula M^tAM. Forme simmetriche e antisimmetriche.
Definizione di forma quadratica associata a una forma bilineare.
Teorema (con dim.) "Una forma simmetrica e' determinata dalla sua
forma quadratica". Metodo per scrivere la matrice associata alla forma
simmetrica partendo dalla forma quadratica. Definizione di forma
degenere. Teorema (con dim.) "una forma e' non degenere se e solo se
la sua matrice in una base  qualsiasi ha determinante diverso da
zero". Definizione di prodotto scalare su spazi vettoriali su R, come
forma bilineare simmetrica definita positiva. Esempi. Integrale di fg
e' prodotto scalare. Prodotto scalare standard su R^n.

Lez 22) 04/12/2018 3 ore:
Criterio degli autovalori e criterio dei minori principali per
determinare se una matrice quatrata sia  o meno definita positiva.
Segnatura di A come tripla (n0,n+,n-) ove n0=dim ker A, n+ = somma
molteplicita' autovalori positivi, n- = somma molteplicita' autovalori
negativi. Esempio: spazio tempo e prodotto di Minkowski. Norma indotta
da un prodotto scalare, disuguaglianza di Schwarz (con dim.) e nozione
di angolo tra vettori indotto da un prodotto scalare. Esempio: in R[x]
l'angolo tra 1 e x e' 30 gradi se calcolato con l'integrale da 0 a 1,
ed e' 90 gradi se calcolato con l'integrale da -1 a 1. Ortogonalita'.
Definizione "v e w sono ortogonali tra loro se <v,w>=0". Definizione di
v ortogonale e dell'ortogolnale a un insieme. Teorema (con dim.) "sono
entrambi sottospazi vettoriali". Teo (no dim.) "In dimensione finita,
se W<V allora l'ortogonale dell'ortogonale di W e' W stesso". Teo
"l'ortogonale di I e l'ortogonale di span(I) sono uguali, l'ortogonale
all'ortogonale di I e' span(I)". In R^n le equazioni cartesiane di W
corrispondono alle parametriche del suo ortogonale e viceversa: Se
W={AX=0} allora le righe di A generano l'ortogonale di W, viceversa se
v1,...,vn generano W e A e' la matrice che ha i vi come righe allora
AX=0 descrive l'ortogonale di W. Come trovare il sottospazio affine V
ortogonale a un sottospazio dato W e passante per un punto dato P0:
V=V0+P0 ove V0 e' l'ortogonale della giacitura di W. Proiezioni
ortogonali. Teorema (con dim.) "se v e' in V allora V e' somma diretta
di span(v) e del suo ortogonale". Decomposizione di un vettore dato w
nelle sue componenti lungo v e lungo v ortogonale. 

Lez 23) 07/12/2018 3 ore:
Basi ortonormali. Calcolo delle coordinate in basi ortonormali.
Matrici ortogonali. Cambio di base tra basi ortonormali.
Ortonormalizzazione di Gram Schmidt. Rotazioni di R^3 rispetto ad assi
qualsiasi. Teorema spettrale, enunciato per matrici simmetriche e
generalizzazioni ad operatori autoaggiunti. Dimostrazione
dell'ortogonalita' di autospazi relativi ad autovalori diversi. 
Distanza indotta da un prodotto scalare, distanza
punto-sottospazio. Formula distanza punto-piano in R^3. Isometrie: le
isometrie di R^n standard sono tutte del tipo FX=AX+b con A
ortogonale. Isometrie dello spazio di Minkowski. Quadriche e coniche.
Classificazione affine delle coniche tramite gli invarianti delle
matrici associate e a mano col metodo del completamento dei quadrati.