A.A. 2019/2020
Corsi di laurea: Ing. Aerospaziale e Meccanica

Registro delle lezioni

Lez 1) 19/09/2019 2 ore:
Numeri naturali, interi, razionali, reali, complessi e interi modulo 2.

Lez 2) 20/09/2019 3 ore:
Prodotto cartesiano, differenza tra insiemi e insiemi ordinati e uso
dele parentesi graffe e tonde. Operazioni associative e commutative. 
Gruppi e gruppi abeliani. Notazioni moltiplicative e additive per
l'operazione di gruppo. Anelli (commutativi) e Campi. Anello
dei polinomi a coefficienti in K, notazion K[x]. 
K^X come insieme delle funzioni da X in K e sua struttura di gruppo. 
K^n come insieme di ennuple ordinate e sua struttura di gruppo. 
La struttura di gruppo di R^2 e quella di C coincidono 
(geometricamente la somma e' data dalla regola del parallelogramma, 
da un punto di fista fisico e' la risultante di vettori). 
Se X e' un insieme di n punti, allora la struttura di gruppo di K^X e 
quella di K^n possono essere identificate tra loro.

Lez 3) 26/09/2019 2 ore:
Definizione di spazio vettoriale su K. Definizione alla buona come
"Insieme i cui elementi si possono sommare tra loro e moltiplicare per
numeri di K" e definizione formale. Discussione sui formalismi usati. 
Leggi di cancellazione e annullamento varie. Esempi: K e' spazio
vettoriale su K, C e' spazio vettoriale sia su C che su R. K^n.
Visualizzazione geometrica di R^2 e R^3 e legami con i vettori come
definiti nel corso di fisica. C^2 come spazio vettoriale sia su C che
su R, (Z/2z)^2. Spazio delle funzioni K^X, spazio dei polinomi K[x].
Definizione di sottospazio vettoriale come sottoinsieme non vuoto
chiuso per somma e prodotto. Notazione W<V. Esercizio: "Se V e' s.v.
su K e W<V allora W e' s.v. su K con le operazioni indotte da V".

Lez 4) 27/09/2019 3 ore:
Esempi e nonesempi di sottospazi vettoriali. Rette in R^2 passanti per
l'origine e non, polinomi di grado al piu' n e polinomi di grado
esattamente n. R come sottoinsieme di C usando come campo K=R e K=C.
Spazio delle funzioni che si annulano in 3 e insieme delle funzioni
che in 0 valgono 3. Spazio delle soluzioni di f''=-f. Definizione di
combinazione lineare. Definizione di insieme chiuso per combinazione
lineare. Teo (con dim.) "Un sottoinsieme non vuoto di uno spazio
vettoriale e' un sottospazio se e solo se e' chiuso per combinazioni
lineari". Equazioni lineari in n incognite a coefficienti in K.
Equazioni omogene e non. Soluzione di un'equazione come elemento di
K^n, insieme di tutte le soluzioni di un'equazione. Teorema (con dim.)
"L'insieme di tutte le soluzioni di un'equazione lineare omogenea in n
incognite a coefficienti in K e' un sottospazio vettoriale di K^n".
Esercizio "L'insieme delle soluzioni di un'equazione non omogenea non
e' s.s.v.".

Lez 5) 03/10/2019 2 ore:
Lemma (con dim.) "Ogni sottospazio vettoriale contiene lo zero".
Teorema (con dim.) "Intersezione di sottospazi e' sottospazio".
Discussione e dimostrazione nel caso di due sottospazi, discussione
del formalismo generale e dimostrazione nel caso di intersezione di
famiglie qualsiasi (anche infinite) di sottospazi.
Sistemi lineari, omogenei e non. Teorema (con dim.) "L'insieme delle
soluzione di un sistema lineare omogeneo a coefficienti in K e in n
incognite, e' un sottospazio vettoriale di K^n". Risoluzione di
sistemi lineari per sostituzione. Sistemi equivalenti come sistemi con
le stesse soluzioni. Discussone dell'quazione sempre vera 0=0 e di
quella  sempre falsa 0=1 e loro ruolo nei sistemi lineari.

Lez 6) 04/10/2019 3 ore:
"Trucchetti per risolvere sistemi", combinazioni lineari di equazioni.
Dai sistemi alle tabelle dei coefficienti. Matrici mxn a coefficienti
in K come tabelle com m righe e n colonne contenenti numeri di K.
Matrici associate a sistemi, matrice dei coefficienti, colonna dei
termini noti e matrice completa. Passaggio sistemi-matrice e
viceversa. Struttura di spazio vettoriale sull'insieme delle matrici.
Moltiplicazione di una riga per una colonna. Moltiplicazione riga per
colonna di matrici. Operazione da M_(mxn)(K) x M_(nxk)(K) in M_(mxk)(K).
Sistemi lineari in forma AX=b. Prodotto AX di una matrice per una colonna
come combinazione lineare delle colonne di A. Prodotto XA di una riga
per una matrice combinazione lineare delle righe di A. Durante la
lezione e' stato discusso il formalismo con gli indici (tipo A=(a_ij)) 
e il prodotto AB tramite simboli di sommatoria e indici.
Identificazione di K^n sia con lo spazio delle matrici riga che con
quello delle matrici colonna.

Lez 7) 11/10/2019 3 ore:
Esercizi e discussione su moltiplicazione tra matrici. Non
commutativita' del prodotto tra matrici. Trasposta di
una matrice.  Teorema (con dim.) "(AB)^T=B^tA^t". Matrici quadrate di
ordine n. La moltiplicazione e' un'operazione associativa sullo spazio
delle matrici quadrate che lo rende un anello non commutativo. Esempi
di matrici A,B non nulle tali che AB=0. Esempi di matrici non nulle A
tali che A^2=0. Non validita' della legge di cancellazione in
generale. Matrice identita' e dimostrazione che I e' l'elemento neutro
della moltiplicazione. Matrici invertibili. Legge di cancellazione per
matrici invertibili. Teorema (con dim) "Se A e' invertibile allora il
sistema AX=b ha come unica soluzione X=A^{-1}b". Calcolo dell'inversa
di A tramite risoluzione del sistema lineare derivato dall'equazione
AX=I ove X e' una matrice di incognite. Esempi di matrici non
invertibili. Calcolo dell'inversa di una matrice 2 x 2. 

Definizione di lineare dipendenza e indipendenza tra vettori. Esempi
in R2. 

Lez 8) 17/10/2019 2 ore:
Lineare indipendenza attraverso risoluzione di sistemi lineari. Esempi
in K^n, K[x], spazi di matrici. Teorema (con dim.) "v1,...,vn sono
linearmente dipendenti se e solo se uno di essi si scrive come
combinazione lineare degli altri". Corollario: "due vettori sono
dipendenti se e solo se sono uno multiplo dell'altro". In R^3 tre
vettori sono dipendenti se e solo se esiste un piano che li contiene.
Corollario: in R2 tre vettori sono sempre linearmente dipendenti.
Esempi su C. I vettori 1 e i sono C-dipendenti ma R-indipendenti.
Definizione di sistema di generatori. Come riconoscere se v1,..,vn
generano impostando un sistema lineare. Nozione di generatori per
insiemi qualsiasi. Esempio: un cerchio genera R2.

Lez 9) 18/10/2019 3 ore:
Basi come insieme ordnato di generatori linearmente indipendenti (la base
dello zero e' il vuoto). Basi di R2 e R3 come sistemi di riferimento.
Esempio (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) e' base di R3. Base di K[x]. Basi
canoniche di K^n,K[x],K_{<=n}[x],M_{mxn}(K). Teorema (no dim.) "Ogni
spazio vettoriale ha una base, due basi qualsiasi di uno stesso spazio
vettoriale hanno lo stesso numero di elementi". Definizione di
dimensione di V come numero di elementi di una base. Dimensioni di
K^n,spazi di polinomi e di matrici. K[x] ha dimensione infinita.
Dimensione di C su R. Discussione (senza dimostrazione) sul fatto che
se uno spazio vettoriale ha dimensione n su C allora ha dimensione 2n
su R. Teorema (con dim.) "Sottoinsiemi di vettori linearmente
indipendenti sono formati da vettori linearmente indipendenti".
Dicussione sul fatto che  "A implica B" e' equivalente a "non B
implica non A". Teorema (con dim.) "Soprainsiemi di vettori
linearmente dipendenti sono formati da vettori linearmente dipendenti"
(gli ultimi due teoremi sono equivalenti, si e' dimostrato in classe
il secondo). Teorema (con dim.) "Soprainsiemi di generatori generano".
Algoritmo degli scarti successivi e Teorema "Ogni insieme di
generatori contiene una base". Esempio: estrazione di base da
1,2,x,1+x,(1+x)^2,x^2. Teorema (con dim.) "Ogni insieme di vettori
linearmente indipendenti si puo' estendere a base". Esempio,
estensione di 1+x,(1+x)^3 a base dello spazio dei polinomi di grado
minore o uguale a 5. Corollario (con dim.) "Se v1,...,vn sono lin.
indip. e w1,...,wk generano allora n<=dim(V)<=k". Teorema (con dim.)
"Se dim(V)=n allora v1,...,vn generano se e solo se sono lin.indip. se
e solo se sono una base". Teorema (con dim.) "In K^n, v1,...,vn sono
una base se e solo se la matrice A=[v1...vn] e' invertibile". Teorema
delle coordinate (con dim.) "v1...vn e' una base di V se e solo se
ogni vettore di V si esprime in modo unico come combinazione lineare
dei vi". Definizione delle coordinate di un vettore in una base data.
Vettore delle coordinate come elemento di K^n ove n=dim(V).
Discussione sul fatto che le coordinate trasformano V in K^n. Esempio
di calcolo di coordinate in R2.

Lez 10) 24/10/2019 2 ore:
Esercizi sul calcolo di coordinate un basi date. Esercizi su R2, su
spazi di polinomi e di matrici. Definizione di span(I) come il piu'
piccolo sottospazio contenente I (ove I e' un sottoinsieme di uno
spazio V). Esempi: span di traiettorie di moti
circolari e moti rettilinei. Teorema (con dim.) "Span(I) e'
l'intersezione di tutti i sottospazi contenenti I".

Lez 11) 25/10/2019 3 ore:
Richiami ed esempi su Span. Teo (con dim.) "Span(I) e' l'insieme di
tutte le combinazioni lineari di elementi di I". L'insieme delle
colonne b per cui Ax=b ha soluzione e' lo span delle colonne di A.
Esempi con spazi di polinomi: span(x,x^2,x^3)=insieme dei polinomi di
grado al massimo 3 che si annullano in zero, span({x^2n, in N}) e'
l'insieme dei polinomi pari (quelli cioe' tali che p(x)=p(-x)).
Definizione di somma di sottospazi come spazio generato dall'unione:
V+W=span(V,W). Esempi con rette e piani in R^3. Formula di Grassmann
(con dim.) "dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V intersecato W)". Corollario:
due piani vettoriali distinti in R3 si intersecano sempre in una
retta. Corollario in R3 un piano e una retta (vettoriali) non
contenuta in esso generano sempre R3. Esempi di rette e piani in R2,
R3 e R4. Somma diretta: due sottospazi si dicono in somma diretta se
l'intersezione e' il solo zero. R3 come somma diretta di un piano e
una retta. Differenza tra somma e somma diretta. Teo (com dim.) "V e'
somma diretta di W1 e W2 se e solo se ogni v in V si scrive in modo
unico come somma di un vettore di  W1 e di uno di W2". Discussione del
significato fisico della scomposizione di un vettore in componenti
lungo sottospazi in somma diretta. Esempi di come l'unicita' fallisce
se consideriamo R3 come somma (non diretta) di due piani. Matrici
simmetriche e antisimmetriche. Teo (con dim.) "Se 1+1 e' diverso da 0,
allora lo spazio delle matrici quadrare a coefficienti in K e' somma
diretta dello spazio delle matrici simmetriche e quello delle matrici
antisimmetriche". Lo spazio dei polinomi e' somma diretta dei polinomi
pari e quelli dispari. Cenni al fatto che si puo' definire la somma
diretta di piu' di due sottospazi.

Lez 12) 06/11/2019 2 ore:
Applicazioni lineari. Definizione tramite combinazinoni lineari oppure
tramite condizioni su somma e prodotto separatamente. Esempi: funzioni
da R in R. Funzioni da R2 in R2, da R2 in R, da R in R2, da R2 a R3.
Discussione generale sul fatto che una funzione da K^n a K^m si scrive
in coordinate come una m-upla di funzioni f1,...,fm ognuna delle quali
e' funzione delle varibili x1,...,xn. Teorema (no dim.) "Una funzione
da K^n a K^m e' lineare se e solo se ogni funzione fk e' un polinomio
omogeneo di primo grado nelle variabili x1,...,xn".
Esempio di come la linearita' puo' dipendere dal campo usato: il
coniuguio e' R-lineare ma non C-lineare. 
Trasformazioni rigide del piano e dello spazio. La rotazione di R2
attorno all'origine e' lineare: dimostrazione tramite la regola del
parallelogramma. 
Linearita' della derivata e dell'integrale.

Lez 13) 07/11/2019 2 ore:
Richiamo della definizione di applicazione lineare, del fatto che in
coordinate un'applicazione lineare da Kn in Km ha le componenti che
sono polinomi omogenei di primo grado, richiamo della linearita'
della derivata e dell'integrale. Linearita' della trasposta. Traccia
di una matrice quadrata e sua linearita'. Richiamo della formula per
la rotazione in R2. Linearita' del prodotto riga per colonna tra
matrici (il calcolo era stato fatto in precedenza in classe o lasciato 
per esercizio, oggi ci siamo limitati a osservare che A(B+C)=AB+AC e
che A(lambda B)=lambda AB). Caso di AX con A matrice e X vettore
colonna: esso fornisce un'applicazione lineare da Kn a Km (se A era 
m x n). Ogni applicazione lineare data in coordinate tramite
componenti che sono polinomi omogenei di primo grado si puo' scrivere
in forma matriciale f(X)=AX ove A e' la matrice dei coefficienti dei
polinomi. Matrice della Rotazione di R2. 
Nucleo di un'applicazione lineare definito come luogo di zeri,
notazione ker(f). Notazione KerA se A e' una matrice. Il nucleo di A
corrisponde quindi all'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo
AX=0. Teorema (con dim.) "Il nucleo di un'applicazione lineare da V a
W e' un sottospazio di V". 
Parentesi fuori esame: nucleo della derivata, nucleo dell'operatore
f-f', moto armonico e nucleo di f+f''  come spazio generato dalle
funzioni senx e cosx, che ha quindi dimensione due ed e' fatto come
R2. Cambio di fase nel moto circolare uniforme (cosx,senx) come
rotazione di angolo alpha. Chiusa parentesi fuori esame.
Definizione di Immagine di un'applicazione lineare, Teorema (con dim.)
"l'immagine di un'applicazione lineare da V a W e' un sottospazio di
W". L'immagine di una matrice A corrisponde all'immagine della
funzione f(X)=AX. Definizione di RANGO di A come dimensione
dell'immagine di A. L'immagine di A e' lo spazio vettoriale generato
dalle colonne di A. Quindi il Rango di A e' la dimensione dello spazio
generato dalle colonne di A. Osservazione f da Va W e' suriettiva se e solo se
Imm(f)=W se e solo se dim(Imm(f))=dim(W) (in dimensione finita). In
caso di funzioni del tipo f(X)=AX, con A matrice m x n, f e'
suriettiva se e solo se il sistema AX=b ha soluzione per ogni b, se e
solo se Rango(A)=m se e solo se le colonne di A
generano K^m. Teorema (con dimostrazione lasciata alla prossima
lezione) "f da V a W lineare e' iniettiva se e solo se Ker(f)=0". Nel
caso di f(X)=AX, f e' iniettiva se e solo se il sistema AX=0 ha solo
la soluzione nulla se e solo se le colonne di A sono linearmente
indipendenti.

Lez 14) 08/11/2019 3 ore:
Dimostrazione del teorema della lezione precedente. Struttura di
spazio vettoriale sull'insieme delle applicazioni lineari da V a W.
Notazioni Hom(V,W), hom(V,W), L(V,W). Formula delle dimensioni (con
dim) "per ogni f in hom(V,W) vale dim(V)=dim(Ker f)+dim(Imm(f))".
Corollario (con dim.) "La dimensione dello spazio delle soluzioni di
AX=0 e' il numero di variabili meno il rango di A". Teorema (con dim.)
"L'insieme delle soluzioni di un sistema non omogeneo AX=b si ottiene
traslando di X_0 l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo AX=0,
ove X_0 e' una qualsiasi soluzione particolare di AX=b". Esempi.
Teorema di Rouche' Capelli (con dim.) "Il sistema AX=b ha soluzione se
e solo se Rango(A)=Rango(A|b) e in tal caso e' descritto da un numero
di parametri uguale al numero di variabili meno il rango di A".
Teorema di estensione lineare unica (con dim.) "Data una base v1,...vn
di V e vettori qualsiasi w1,...,wn in W, esiste un'unica f in
hom(V,W) tale che f(vi)=wi per ogni i". Visualizzazione geometrica di
questo teorema in R2. Discussione approfondita di come visualizzare
un'applicazione lineare da R2 in se'.
Se V=K^n, W=K^m, se f e' data in forma matriciale, 
cioe' f(X)=AX, e se v1,...,vn e' la base canonica, allora nel teorema
precedente le colonne di A sono i vettori wi. Isomorfismi lineari
(lasciato per esercizio la dimostrazione che se f in hom(V,W) e'
invertibile allora anche l'inversa e' lineare). Conseguenze della
formula delle dimensioni: se dim(V)<dim(W) allora non esistono f in
hom(V,W) suriettive; se dim(V)>dim(W) allora non esistono f in
hom(V,W) iniettive, se dim(V)=dim(W) allora f in hom(V,W) e' iniettiva
se e solo se e' suriettiva se e solo se e' isomorfismo. Le coordinate
forniscono un isomorfismo tra V e K^n, ove n=dim(V). In particolare
due spazi sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.  

Lez 15) 14/11/2019 2 ore:
Richiami sulla formula delle dimensioni e conseguenze. Matrice
associata a una applicazione lineare rispetto a una base in partenza e
in arrivo. Definizione, Teorema (con dim) "Se A e' la matrice
associata a f in Hom(V,W) nelle basi B_V e B_W, allora le coordinate di
f(v) nella base B_W si ottengono moltiplicando A per il vettore
colonna delle coordinate di v nella base B_V". Esempi di calcolo in
varie situazioni. Matrice della derivata nello spazio dei polinomi,
matrice della trasposta nello spazio delle matrici, applicazioni
lineare dallo spazio dei polinomi allo spazio delle matrici. Esempi in
R^n. Matrice del cambio di coordinate da una base data alla base
canonica di K^n.

Lez 16) 15/11/2019 3 ore:
Richiami sulla definizione di matrice associata ad applicazione
lineare e sulla matrice del cambio di coordinate tra base canoniche e
base data in K^n. Formula generale per il cambio di coordinate tra due basi
diverse di uno stesso spazio vettoriale. La composizione di funzioni
si traduce nel prodotto delle matrici associate. Cambio di coordinate
in partenza e in arrivo nel calcolo della matrice associata ad
un'applicazione lineare. Esempi in R2, esempi nello spazio dei
polinomi. Esempio/esercizio: come trovare la matrice associata in
coordinate canoniche, a una rotazione di R^3  di angolo alfa con asse
di rotazione passante per l'origine. Esempio/esercizio: data una base
v1,...,vn di K^n e dei vettori qualsiasi w1,...,wn di K^n, come si fa
a trovare la matrice associata, nelle basi canoniche, all'unica
applicazione lineare f tale che f(vi)=wi.

Lez 17) 21/11/2019 2 ore:
Isomorfismo tra hom(V,W) e spazi di matrici. Esercizi. Rango per righe
e colonne di una matrice. Operazioni elementari sulle righe/colonne e
calcolo del rango tramite riduzione a scala. Operazioni elementari vs
risoluzione di sistemi lineari per sostituzione.

Lez 18) 22/1/2019 3 ore:
Esercizi di calcolo di rango di matrici. Su C,R,Z2. Calcolo
dell'inversa tramite operazioni elementari sulle righe. Metodi per
verificare se n vettori in K^n siano o meno una base. Determinante di
matrici quadrate: definizione tramite lo sviluppo per una
riga/colonna. Cofattori. Determinante di matrici 2x2 e 3x3 e legami
con aree e volumi in R2 e R3. Esempi di calcolo. Determinante di
matrici triangolari e diagonali. Proprieta' del determinante: det(A)
e' diverso da zero se e solo se A e' invertibile se e solo se A ha
rango massimo se e solo se le colonne sono una base di K^n se e solo
se le righe sono una base di K^n; det(A)=det(trasposta di A);
det(inversa di A)=1/det(A); det(I)=1; multilinearita' su righe e
colonne. Se una matrice ha una riga/colonna nulla allora il suo
determinante e' nullo. Se una matrice ha due righe/colonne uguali
allora il suo determinante e' nullo. 

Lez 19) 28/11/2019 2 ore:
Matrice dei cofattori e calcolo dell'inversa di una matrice tramite i
cofattori. (Regola di Kramer per soluzione sistemi). Sottomatrici e
minori, Teorema (do dim.) dei minori orlati per il calcolo del rango
di una matrice. Definizione di sottospazio affine di K^n come insieme
delle soluzioni di sistemi del tipo AX=b. Passaggio tra equazioni
cartesiane e parametriche. Giacitura. Sottospazi affini come traslati
di sottospazi vettoriali.

Lez 20) 29/11/2019 3 ore:
Come riconoscere quando due sottospazi affini sono uguali tra loro.
Posizioni reciproche di sottospazi affini. Teo (no dim) "Se giac(W1) +
giac(W2)=K^n allora W1 e W2 si intersecano e vale la formula di
grassmann per le dimensioni". Se Wi e' dato con equazioni Ai=bi,
allora la condizione "giac(W1)+giac(W2)=K^n" equivale a "il rango della
matrice che ha come righe sia quelle di A1 che e di A2, e' la somma 
R(A1)+R(A2)". Esempi in R2,R3,R4. Punti affinemente indipendenti,
inviluppo affine. Come trovare le equazioni parametriche
dell'inviluppo affine di k+1 punti. Combinazioni affini come
combinazioni lineari con coefficienti a somma 1. Discussione del caso
della retta per due punti in R3 e legami col baricentro di due masse.
In generale, se K=R, discussione su inviluppo convesso e baricentri.
Coordinate baricentriche per l'inviluppo affine di k+1 punti
affinemente indipendenti.

Lez 21) 04/12/2019 2 ore:
Equazioni di retta per due punti e piano per tre punti. Definizione di
applicazione affine da K^n e K^m come funzione del tipo f(X)=AX+b,
essa si dice "affinita'" se la parte lineare A e' invertibile. Teorema di
estensione unica affine (con dim.) "Dati P0,...,Pn punti affinemente
indipendenti in K^n e Q0,...,Qn punti qualsiasi di K^n, esiste una
unica applicazione affine f tale che f(Pi)=Qi per ogni i. Tale
applicazione e' un'affinita' se e solo se anche i Qi sono affinemente
indipendenti". Formula per trovare parte lineare e termine di
traslazione nel teorema di estensione affine. Metodo per trovare
un'applicazione affine di cui si conosce la parte lineare (per esempio
una rotazione o una simmetria e almeno un punto fisso (per esempio un
punto dell'asse). 
Definizione di endomorfismo. Discussione qualitativa di un bel po' di 
endomorfismi di R2. Introduzione al problema della classificazione: dato
un'endomorfismo di uno spazio V, come si fa a dire chi e'?
Esempi di matrici che rappresentano lo stesso endomorfismo di R2 ma in basi
diverse.

Lez 22) 05/12/2019 3 ore:
Autovalori e atuovettori, definizioni ed esempi. Matrici simili. Teo
(con dim.) "Due matrici diverse sono simili se e solo se rappresentano
lo stesso endomorfismo in basi diverse". Endomorfismi diagonalizzabili
e triangolabili. Esempi. Autospazi. Teo (con dim.) "Autospazi relativi ad
autovettori diversi sono in somma diretta". Polinomio caratteristico.
Teorema (con dim.) "lambda e' autovalore di f se e solo se e' radice
del polinomio caratteristico". Algoritmo per trovare gli autovalori (a
patto di saper fattorizzare il polinomio caratteristico) e quindi 
per trovare gli autovettori. Molteplicita' algebriche e geometriche di
autovalori. Definizioni e primi esempi.  

Lez 23) 05/12/2019 3 ore:
Questionari studenti. Criteri di diagonalizzabilita' usando le
molteplicita' algebriche e geometriche. Teorema (con dim.) "Per ogni
autovalore di f in End(V) vale 1 <= mg(lambda) <= ma(lambda) <=
dim(V)". Esempi ed esercizi.
Applicazioni bilineari tra spazi vettoriali, definizione e alcuni
esempi (prodotto vettoriale e prodotto scalare usati in fisica,
esempio f(X,Y)=XAY con X,A,Y matrici). Forme bilineari: definizione,
esempio del prodotto scalare usato in fisica, esempio dell'integrale,
esempio X^tAY. 

Les 24) 13/12/2019 3 ore:
Matrici associate a forme bilineari. Formula del cambio di base per
forme bilineari. Forme simmetriche e antisimmetriche. Forme quadratiche. 
Dalla forma quadratica alla forma bilineare simmetrica. Dalla forma
quadratica alla matrice. Prodotti scalari. Prodotti scalari standard
su R^n e su spazi di funzioni. Metodo dei minori
principali per capire se una matrice quadrata rappresenta un prodotto
scalare. Diagonalizzazione di forme bilineari. Segnatura. Calcolo
della segnatura attraverso gli autovalori della matrice associata.
Prodotto di Minkoski. Diagonalizzazione di forme quadratiche tramite il
metodo del completamento dei quadrati. 

Lez 25) 19/12/2019 2 ore:
Ortogonalita'. Definizione di vettori ortogonali tra loro, definizione
di ortogonale a un vettore e di ortogonale a un insieme. Teo (con dim)
" l'ortognale a v e' un sottospazio vettoriale di codimensione 1". Teo
(con dim) "L'ortogonale di un insieme I dii V e' s.s.v. di V". Teo
(con dim) "l'ortogonale di I e di span(I) coincidono". Teo (no dim.)
"In dimensione finita l'ortogonale dell'ortogonale di W e' W stesso".
Corrispontenza tra sottospazi di R^n standard e loro ortogonali: le
equazioni cartesiane di W corrispondono alle parametriche del suo
ortogonale e vice versa. Teo (con dim.) "V e' somma diretta di span(v)
e dell'ortogonale di v". Proiezione ortogonale di w lungo v. Basi
ortonormali e loro proprieta'. Matrici ortogonali. Il cambio di base
tramite matrici ortogonali va bene per endomorfismi e applicazioni
lineari contemporaneamente. Calcolo delle coordinate rispetto a basi
ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram Schmidt.
Enunciato del teorema spettrale per operatori autoaggiunti e nel caso
di R^n standard per matrici simmetriche. 

Lez 26) 20/12/2019 3 ore:
Distanza indotta da un prodotto scalare. Distanze tra sottospazi
affini. Isometrie. Quadriche. Coniche. Classificazione affine delle
coniche.