Schema della dimostrazione del fatto che se p è un numero primo allora ogni elemento non nullo di Z_p ammette inverso moltiplicativo:

1) Consideriamo un qualunque elemento x non nullo di Z_p (rappresentato quindi da un numero intero fra 1 e p-1). 

2) Scriviamo le sue potenze x^1, x^2,... 

3) Visto che Z_p ha un numero finito di elementi troveremo due potenze x^h, x^k uguali fra loro in Z_p, con h<k. 
"Uguali fra loro in Z_p" significa che x^h e x^k differiscono per un multiplo di p. 

4) Quindi possiamo scrivere x^k-x^h=mp con m intero. 

5) Raccogliendo x^h, segue che x^h(x^(k-h)-1)=mp. Dato che p è primo, p deve dividere x oppure x^(k-h)-1.

6) Dato che x è compreso fra 1 e p-1, p non può dividere x e quindi deve dividere x^(k-h)-1.
Questo significa che x^(k-h) e 1 rappresentano lo stesso elemento di Z_p.

7) Osserviamo che x^(k-h) è il prodotto di x per x^(k-h-1).

8) Abbiamo dunque dimostrato che il prodotto di x per x^(k-h-1) è equivalente a 1 in Z_p, cioè che x ammette inverso moltiplicativo in Z_p.