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% \numberwithin{equation}{section}

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%{\noindent{\textit{Proof. }}}
%{\normalsize\rmfamily\\[.2cm]}


% AAA Abreviaciones

% tipo mathxcal
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}


\title{\Huge PageRank$^\text{\tiny TM}$ e trasformazioni lineari}

%\author{}

\begin{document}
\hyphenation{dob-bia-mo De-fi-nia-mo de-fi-nia-mo Di-mo-stria-mo-lo rap-pre-sen-ta tra-sfe-ri-men-to as-so-cia-to e-qui-va-len-te-men-te}
\Large 

\maketitle

\centerline{\Large Lezione del 18 Dicembre 2015}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{brin_e_page.jpg}
\caption{Sergey Brin e Larry Page.} \label{figura}
\end{center}
\end{figure}

% \begin{figure}[htbp]
%\begin{center}
%\includegraphics[width=5.5cm]{brin&page.jpg}
%\caption{......}
%\label{letters}
%\end{center}
%\end{figure}
%\Large


Questi appunti informali hanno il fine di mostrare come il concetto di TRASFORMAZIONE LINEARE intervenga nella definizione del PageRank$^\text{\tiny TM}$  usato da Google$^\text{\tiny TM}$ per quantificare l'importanza di un sito web. La trattazione \`e volutamente molto semplificata e verranno illustrate soltanto le idee principali. Per comprendere quanto verr\`a detto saranno sufficienti i concetti di matrice, prodotto fra matrici, trasformazione lineare e sua rap\-presentazione matriciale, limite di una successione reale e di una successione di matrici reali. Sarebbe utile avere anche qualche conoscenza di calcolo delle probabilit\`a ma verranno evitati richiami espliciti alla teoria.

Consideriamo l'insieme di tutti i siti web del mondo: $\{w_1,\ldots,w_n\}$. (Alla data in cui stiamo scrivendo $n$ \`e superiore a $500$ milioni).

Immaginiamo, semplificando, che l'insieme di tutti questi siti sia popolato di visitatori e che, a ogni secondo, una percentuale $p^i_j$ dei visitatori del sito $w_j$ decida di passare al sito $w_i$ (naturalmente questo accade, contemporaneamente, per ogni $i$ e ogni $j$). Il valore $p^i_j$ sar\`a un numero reale compreso fra $0$ e $1$ e potr\`a anche essere visto come una probabilit\`a.

A questo punto abbiamo una matrice quadrata

\begin{center}
$P=\left(
     \begin{array}{cccc}
       p^1_1 & p^1_2 & \ldots & p^1_n \\
       p^2_1 & p^2_2 & \ldots & p^2_n \\
       \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
       p^n_1 & p^n_2 & \ldots & p^n_n \\
     \end{array}
   \right).$
\end{center}

Notate che
\begin{itemize}
  \item $p^i_j\ge 0$ per ogni $i$ e $j$;
  \item $p^i_i$ esprime la frazione di visitatori di $w_i$ che decide di rimanere su quel sito;
  \item $\sum_{i=1}^n p^i_j=1$ per ogni $j$.
\end{itemize}

Nella realt\`a \`e ragionevole supporre $p^i_j> 0$ per ogni $i$ e $j$ e dunque faremo questa ipotesi (esiste sempre una probabilit\`a non nulla per ogni scelta del visitatore).

\section{\Large A cosa serve la matrice $P$?}
Supponiamo che a un certo istante $t$ la popolazione dei navigatori del web sia suddivisa, sito per sito, in questo modo: $(s^1_t,\ldots,s^n_t)$.
\`E facile rendersi conto che all'istante successivo $t+1$ la popolazione sar\`a distribuita cos\`\i:
$$\left(\sum_{i=1}^n p^1_i\cdot s^i_t,\ldots,\sum_{i=1}^n p^n_i\cdot s^i_t\right)$$
(verificatelo!).

Quindi la funzione che porta la distribuzione dei visitatori all'istante $t$ nella distribuzione dei visitatori all'istante $t+1$ \`e una trasformazione lineare $T:\R^n\to\R^n$ e la sua matrice associata \`e, rispetto alla base canonica, proprio la matrice quadrata $P$.

Sappiamo che la matrice associata alla trasformazione lineare
$$T^t=\overbrace{T\circ\ldots\circ T}^{t \hbox{\small \ volte}}$$
\`e la matrice $P^t$. Quindi, indicando con $(s^1_0,\ldots,s^n_0)$ la distribuzione sito per sito dei navigatori del web all'istante iniziale $0$, la popolazione all'istante $t$ sar\`a data da
$$P^t\cdot\left(
            \begin{array}{c}
              s^1_0 \\
              s^2_0 \\
              \vdots \\
              s^n_0 \\
            \end{array}
          \right)
.$$

Notate, comunque, che non conosciamo i valori $s^i_0$. Possiamo invece approssimare i valori $p^i_j$ perch\'e siamo in grado di scoprire, navigando sulla rete, se esiste un link che porti dal sito $w_j$ al sito $w_i$ e qual \`e il numero $m_j$ di link che portano dal sito $w_j$ ad altri siti (considerando anche un link fittizio che porta dal sito $w_j$ in se stesso). Questo ci permette di valutare come $\frac{1}{m_j}$ la probabilit\`a $p^i_j$ del passaggio da $w_j$ a $w_i$. In parole povere stiamo supponendo che una percentuale $\frac{1}{m_j}$ dei visitatori presenti su $w_j$ a un certo istante $t$ decida di trasferirsi su $w_i$ all'istante successivo $t+1$. Notate che il valore della probabilit\`a di trasferirsi da $w_j$ a $w_i$ dipende non solo dall'esistenza di almeno un link da $w_j$ a $w_i$, ma anche dal numero totale di link che partono da $w_j$.
\medskip

NOTA: Secondo il precedente metodo di calcolo $p^i_j$ risulta nullo qualora non esistano link da $w_j$ a $w_i$. Per prendere in considerazione anche la possibilit\`a che un visitatore di $w_j$ decida di passare a $w_i$ scegliendo questo sito a caso (quindi senza uso di link) possiamo scegliere un valore $d$ vicino a $1$ e quantificare empiricamente come $\frac{1-d}{n}$ (valore positivo vicino a zero!) la probabilit\`a del trasferimento casuale da $w_j$ a $w_i$. Dobbiamo allora anche cambiare la valutazione $\frac{1}{m_j}$ per $p^i_j$ in $\frac{d}{m_j}+\frac{1-d}{n}$. In pratica al tempo $t$ c'\`e una parte dei visitatori di $w_j$ (data da $d\cdot s^j_t$) che decide di spostarsi usando un link e una parte (data da $(1-d)\cdot s^j_t$) che decide di spostarsi su un sito scelto a caso. Comunque, il fatto fondamentale \`e osservare che i valori $p^i_j$ sono approssimabili consultando i siti presenti sulla rete (tramite del software appositamente predisposto).
\medskip

Cosa accade alla distribuzione dei visitatori sulla rete quando il tempo $t$ viene fatto tendere all'infinito? Per scoprirlo dobbiamo fare qualche osservazione matematica sulle potenze $P^t$ della matrice $P$.

\section{\Large Le propriet\`a della matrice $P^t$}

Per studiare le propriet\`a della matrice $P^t$ indichiamo con $A=(a^i_j)$ la matrice $P^t$ e con $B=(b^i_j)$ la matrice $P^{t+1}$. Indichiamo con $\gamma_{min}>0$ il minimo di tutti termini di $P$.
%, con $\alpha_{min}$ il minimo di tutti i termini di $A$ e con $\beta_{min}$ il minimo di tutti i termini di $B$. Indichiamo con $\gamma_{max}>0$ il massimo di tutti termini di $P$, con $\alpha_{max}$ il massimo di tutti i termini di $A$ e con $\beta_{max}$ il massimo di tutti i termini di $B$.
\medskip

Elenchiamo ora alcune propriet\`a interessanti:

\begin{enumerate}
  \item \emph{Per qualunque tempo $t$ tutti i termini di $P^t$ sono positivi.} Dimostriamolo per induzione su $t$. L'affermazione \`e vera per $t=1$ perch\'e \`e vera per $P$. Se \`e vera per $t$ \`e vera anche per $t+1$, infatti $b^i_j=\sum^n_{h=1}p^i_h\cdot a^h_j \ge p^i_1\cdot a^1_j>0$.
  \item \emph{La somma dei termini in ciascuna colonna di $P^t$ \`e uguale a $1$.} Dimostriamolo per induzione su $t$. L'affermazione \`e vera per $t=1$ perch\'e \`e vera per $P$. Se \`e vera per $t$ \`e vera anche per $t+1$, infatti risulta 
 $$\sum^n_{i=1}b^i_j=\sum^n_{i=1}\left(\sum^n_{h=1}p^i_h\cdot a^h_j\right)=\sum^n_{h=1}\left(\sum^n_{i=1}p^i_h\cdot a^h_j\right)=$$ $$\sum^n_{h=1}\left(\sum^n_{i=1}p^i_h\right)\cdot a^h_j=\sum^n_{h=1}a^h_j=1.$$
  %\item \emph{Per qualunque $n$ si ha che $\alpha_{min}\ge \gamma_{min}$.} Dimostriamolo per %induzione su $n$. L'affermazione \`e vera per $n=1$ (in tal caso $\alpha_{min}=\gamma_{min}$!). Se %\`e vera per $n$ \`e vera anche per $n+1$, infatti per qualunque termine $b^i_j$ di $B$ si ha che
  %    $b^i_j=\sum_{h=1}p^i_h\cdot a^h_j\ge \gamma_{min}\cdot \sum_{h=1}a^h_j=\gamma_{min}$ (per il %precedente punto $2)$.
  %\item \emph{Per qualunque $n$ si ha che $\alpha_{max}\le \gamma_{max}$.} Dimostriamolo per %induzione su $n$. L'affermazione \`e vera per $n=1$ (in tal caso $\alpha_{max}=\gamma_{max}$!). Se %\`e vera per $n$ \`e vera anche per $n+1$, infatti per qualunque termine $b^i_j$ di $B$ si ha che
  %    $b^i_j=\sum_{h=1}p^i_h\cdot a^h_j\le \gamma_{max}\cdot \sum_{h=1}a^h_j=\gamma_{max}$ (per il %precedente punto $2)$.
  \item \emph{Per qualunque indice $i$ si ha che $$(*)\ \ \ \ \ \      \max_r a^i_r - \max_r b^i_r\ge (\max_r a^i_r-\min_r a^i_r)\cdot \gamma_{min}.$$} Per dimostrarlo procediamo come segue. Fissiamo un indice $i$ a piacere e scegliamo un indice $r_i$ tale che  $a^i_{r_i}=\max_r a^i_r$. Osserviamo che
      \begin{eqnarray*}
      % \nonumber to remove numbering (before each equation)
        & & a^i_{r_i} - b^i_s = a^i_{r_i} \cdot\sum^n_{h=1} p^h_s - \sum^n_{h=1} a^i_h\cdot p^h_s =   \\
        && \sum^n_{h=1} a^i_{r_i}\cdot p^h_s - \sum^n_{h=1} a^i_h\cdot p^h_s =  \\
        && \sum^n_{h=1} (a^i_{r_i}-a^i_h)\cdot p^h_s \ge (a^i_{r_i}-a^i_k)\cdot \gamma_{min}
      \end{eqnarray*}
per qualunque $s$ e $k$. (Attenzione!: qui stiamo sfruttando il fatto che $a^i_{r_i}-a^i_h\ge 0$ per qualunque $h$.) Ne consegue che $\max_r a^i_r - b^i_s \ge (\max_r a^i_r-a^i_k)\cdot \gamma_{min}$ per qualunque $s$ e $k$. Se prendiamo $s$ e $k$ in modo tale che $b^i_s=\max_r b^i_r$ e $a^i_k=\min_r a^i_r$ otteniamo che $\max_r a^i_r - \max_r b^i_r \ge (\max_r a^i_r-\min_r a^i_r)\cdot \gamma_{min}$.
\item \emph{Per qualunque indice $i$ si ha che $$(**)\ \ \ \ \ \      \min_r b^i_r-\min_r a^i_r \ge (\max_r a^i_r-\min_r a^i_r)\cdot \gamma_{min}.$$} Per dimostrarlo procediamo come segue. Fissiamo un indice $i$ a piacere e scegliamo un indice $r_i$ tale che $a^i_{r_i}=\min_r a^i_r$. Osserviamo che
      \begin{eqnarray*}
      % \nonumber to remove numbering (before each equation)
        & & b^i_s -a^i_{r_i} =  \sum^n_{h=1} a^i_h\cdot p^h_s -a^i_{r_i} \cdot\sum^n_{h=1} p^h_s =   \\
        && \sum^n_{h=1} a^i_h\cdot p^h_s -\sum^n_{h=1} a^i_{r_i}\cdot p^h_s =  \\
        && \sum^n_{h=1} (a^i_h - a^i_{r_i})\cdot p^h_s \ge (a^i_k - a^i_{r_i})\cdot \gamma_{min}
      \end{eqnarray*}
per qualunque $s$ e $k$. (Attenzione!: qui stiamo sfruttando il fatto che $a^i_h - a^i_{r_i}\ge 0$ per qualunque $h$.) Ne consegue che $b^i_s - \min_r a^i_r \ge (a^i_k - \min_r a^i_r)\cdot \gamma_{min}$ per qualunque $s$ e $k$. Se prendiamo $s$ e $k$ in modo tale che $b^i_s=\min_r b^i_r$ e $a^i_k=\max_r a^i_r$ otteniamo che $$\min_r b^i_r-\min_r a^i_r \ge (\max_r a^i_r-\min_r a^i_r)\cdot \gamma_{min}.$$
\end{enumerate}

Possiamo ora dimostrare il seguente teorema:

\begin{teo}\label{tf}
Esiste $L=\lim_{t\to\infty} P^t$. Le colonne di $L$ sono tutte uguali fra loro, i termini di $L$ sono tutti positivi e la somma dei termini in ciascuna colonna di $L$ \`e uguale a $1$.
\end{teo}

{\sl Dimostrazione.} Le propriet\`a $3$ e $4$ viste prima implicano che per ogni $i$ 
$$\min_r a^i_r \le \min_r b^i_r\le \max_r b^i_r\le \max_r a^i_r.$$ Questo significa che il minimo di ogni riga di $P^t$ non diminuisce al crescere del tempo $t$ e che il massimo di ogni riga di $P^t$ non aumenta al crescere del tempo $t$. 
Quindi esistono $\ell'_i=\lim_{t\to\infty} \min_r a^i_r$ (coincidente con $\lim_{t\to\infty} \min_r b^i_r$) e $\ell''_i=\lim_{t\to\infty} \max_r a^i_r$, e sono entrambi positivi (visto che tutti i termini della matrice $P$ sono positivi). Inoltre $\lim_{t\to\infty}\max_r a^i_r\ge \lim_{t\to\infty}\min_r a^i_r$.

Passando al limite per $t$ che tende all'infinito nella disuguaglianza $(**)$, si ha 
$$0=\ell'_i-\ell'_i \ge (\lim_{t\to\infty}\max_r a^i_r-\lim_{t\to\infty}\min_r a^i_r)\cdot \gamma_{min}\ge 0$$
e dunque $(\lim_{t\to\infty}\max_r a^i_r-\lim_{t\to\infty}\min_r a^i_r)\cdot \gamma_{min}= 0$.

Dato che $\gamma_{min}>0$, se ne deduce che $\lim_{t\to\infty}\max_r a^i_r=\lim_{t\to\infty}\min_r a^i_r$.

%Ne consegue che (altrimenti la precedente disuguaglianza diverrebbe falsa per $t$ abbastanza grande). Perci\`o, per ogni $i$, esistono e sono fra loro uguali e positivi i limiti $\lim_{t\to\infty} \min_r a^i_r$ e $\lim_{t\to\infty} \max_r a^i_r$. 
Ci\`o significa che tutti i termini della $i$-esima riga della matrice $P^t$ tendono a un unico valore $c^i=\ell'_i=\ell''_i>0$ quando $t$ tende all'infinito.
Dunque esiste $L=\lim_{t\to\infty} P^t$, le colonne di $L$ sono tutte uguali fra loro e i loro termini sono tutti positivi. Per la propriet\`a $2$ la somma dei termini in ciascuna colonna di $L$ \`e uguale a $1$ (visto che questa propriet\`a vale per la matrice $P^t$ e si conserva passando al limite per $t$ che tende all'infinito).  \hfill $\Box$
\bigskip

Il teorema precedente dimostra che, partendo da una distribuzione iniziale $(s^1_0,\ldots, s^n_0)$ dei visitatori sui siti della rete, esiste un'unica distribuzione limite a cui si tende al passare del tempo. Questa distribuzione limite \`e data da
$$
\lim_{t\to\infty} P^t\cdot \left(
                        \begin{array}{c}
                          s^1_0 \\
                          \vdots \\
                          s^n_0 \\
                        \end{array}
                      \right)=
L \cdot \left(
                        \begin{array}{c}
                          s^1_0 \\
                          \vdots \\
                          s^n_0 \\
                        \end{array}
                      \right)=
                      \left(
                        \begin{array}{ccc}
                          c^1 & \ldots & c^1 \\
                          \vdots & \ddots & \vdots \\
                          c^n & \ldots & c^n \\
                        \end{array}
                      \right)
                       \cdot \left(
                        \begin{array}{c}
                          s^1_0 \\
                          \vdots \\
                          s^n_0 \\
                        \end{array}
                      \right)=\left(
                        \begin{array}{c}
                          c^1\cdot (s^1_0+\ldots +s^n_0) \\
                          \vdots \\
                          c^n\cdot (s^1_0+\ldots +s^n_0) \\
                        \end{array}
                      \right)$$
dove $c^1+\ldots+c^n=1$ e tutti i $c^i$ sono positivi. Si noti che  i valori $c^1,\ldots,c^n$ NON dipendono dalla distribuzione iniziale $(s^1_0,\ldots, s^n_0)$. 

Indicando con $S$ il numero totale di navigatori sul web si ha ovviamente che $S=s^1_0+\ldots +s^n_0$ 
e dunque
$$
\lim_{t\to\infty} P^t\cdot \left(
                        \begin{array}{c}
                          s^1_0 \\
                          \vdots \\
                          s^n_0 \\
                        \end{array}
                      \right)=S\cdot\left(
                        \begin{array}{c}
                          c^1\\
                          \vdots \\
                          c^n\\
                        \end{array}
                      \right).$$
Dividendo i due termini dell'ultima uguaglianza per $S$ si ottiene che
$$
\lim_{t\to\infty} P^t\cdot \left(
                        \begin{array}{c}
                          s^1_0/S \\
                          \vdots \\
                          s^n_0/S \\
                        \end{array}
                      \right)=\left(
                        \begin{array}{c}
                          c^1\\
                          \vdots \\
                          c^n\\
                        \end{array}
                      \right).$$
\medskip

Ciascun valore $c^i$ rappresenta (sostanzialmente) il PageRank$^\text{\tiny TM}$  del sito $w_i$: indica la percentuale della popolazione della rete che si trova, dopo un tempo infinito, nel sito considerato. \`E chiaro che un sito dove si trovano molti visitatori \`e, in linea di principio, un sito ritenuto importante dalla comunit\`a della rete, ed \`e proprio questo fattore a essere misurato dal PageRank$^\text{\tiny TM}$.
\bigskip

NOTA DA MATEMATICO UN PO' PIGNOLO: osservate che il Teorema~\ref{tf} non vale pi\`u se togliamo l'ipotesi che tutti i $p^i_j$ siano strettamente positivi. Infatti se prendiamo $$P=\left(
                                                                            \begin{array}{cc}
                                                                              0 & 1 \\
                                                                              1 & 0 \\
                                                                            \end{array}
                                                                          \right)
$$ vediamo che \textbf{non} esiste $\lim_{t\to\infty} P^t$.

\section{\Large Alcune osservazioni finali}
Nel seguito indicheremo il vettore $\left(
  \begin{array}{c}
    c^1 \\
    \vdots \\
    c^n \\
  \end{array}
\right)$ col simbolo $(c)$. Sappiamo gi\`a che $c^1+\ldots+c^n=1$ (perch\'e la somma dei termini in ciascuna colonna di $L$ fa $1$).

Risulta dunque che 
$$L\cdot (c)
=
\left(
  \begin{array}{c}
    c^1\cdot(c^1+\ldots+c^n) \\
    \vdots \\
    c^n\cdot(c^1+\ldots+c^n)  \\
  \end{array}
\right)
=
(c).$$

Quando si ha che $M\cdot (x)=\lambda \cdot (x)$ per una matrice $M\in \mathcal{M}_n(\R)$ e un vettore non nullo $(x)\in \R^n$ si dice che $(x)$ \`e un autovettore di $M$ associato all'autovalore $\lambda$. Quindi, nel nostro caso si ha che $(c)$
\`e un autovettore per $L$ associato all'autovalore $1$ e che la somma delle sue componenti fa $1$.

Osserviamo anche che $P\cdot L=P\cdot \lim_{t\to\infty} P^t=\lim_{t\to\infty} P^{t+1}=\lim_{t\to\infty} P^t=L$ e dunque $P\cdot L=L$. Da questo e da quanto detto sopra segue che
$$P\cdot (c)=
P\cdot L\cdot (c)=
L\cdot (c)=(c).$$

Quindi si ha che $(c)$
\`e un autovettore anche per la matrice $P$ (associato all'autovalore $1$).
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D'altra parte, se $(\bar c)=(\bar c^1,\ldots,\bar c^n)$ \`e un autovettore di $L$ associato all'autovalore $1$ e risulta  anche $\bar c^1+\ldots+\bar c^n=1$, allora si ha che
$$(\bar c)=L\cdot (\bar c)
=
\left(
  \begin{array}{c}
    c^1\cdot(\bar c^1+\ldots+\bar c^n) \\
    \vdots \\
    c^n\cdot(\bar c^1+\ldots+\bar c^n)  \\
  \end{array}
\right)
=
(c).$$

Dunque l'unico autovettore $(\bar c)$ di $L$ associato all'autovalore $1$ per il quale $\bar c^1+\ldots+\bar c^n=1$ \`e il vettore $(c)$.
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Se invece $(\bar c)$
\`e un autovettore per la matrice $P$ associato all'autovalore $1$ si ha che
$$
L\cdot (\bar c)=(\lim_{t\to\infty} P^t)\cdot (\bar c)= \lim_{t\to\infty} \left(P^t\cdot (\bar c)\right)=
(\bar c).$$

Quindi si ha che $(\bar c)$
\`e anche un autovettore per $L$ associato all'autovalore $1$.

Perci\`o se $(\bar c)=(\bar c^1,\ldots,\bar c^n)$ \`e un autovettore di $P$ associato all'autovalore $1$ e risulta  anche $\bar c^1+\ldots+\bar c^n=1$, allora si ha che $(\bar c)=(c)$.

Dunque l'unico autovettore $(\bar c)$ di $P$ associato all'autovalore $1$ per il quale $\bar c^1+\ldots+\bar c^n=1$ \`e il vettore $(c)$.

%Si pu\`o far vedere facilmente che se $(c)$ \`e un autovettore di $L$ che sia associato all'autovalore $1$ e i cui termini abbiano somma uguale a $1$ allora coincide con una qualunque delle colonne di $L$ (che sono fra loro tutte uguali). 

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Tutto questo ci permette di dare una definizione alternativa di PageRank$^\text{\tiny TM}$: l'$n$-upla dei PageRank$^\text{\tiny TM}$ per i nostri $n$ siti \`e data dall'unico autovettore di $L$ (o, equivalentemente, di $P$) che sia associato all'autovalore $1$ e i cui termini abbiano somma uguale a $1$.

\end{document} 