\documentclass{amsart}

\newtheorem{theorem}{Teorema}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{cor}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{prop}[theorem]{Proposition}

\newtheorem{definition}[theorem]{Definizione}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{xca}[theorem]{Exercise}

\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}

\begin{document}
\hyphenation{mol-te-pli-ci ca-no-ni-ca ca-no-ni-co en-do-mor-fi-smo}

\textsc{Alcuni esercizi sulla diagonalizzazione di matrici}

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\bigskip

\textsc{Esercizio 1.} Dire se la matrice $A=\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      3 & 0 & 0 \\
                                      -4 & -1 & -8 \\
                                      0 & 0 & 3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
$ \`e diagonalizzabile sul campo dei reali. Se lo \`e calcolare una base spettrale e la relativa forma diagonale di $A$.
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\hrule
\bigskip

\textbf{Svolgimento.}
Calcoliamo il determinante della matrice caratteristica (cio\`e il polinomio caratteristico $p(\lambda)$):
$$p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\det\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-3 & 0 & 0 \\
                                      4 & \lambda+1 & 8 \\
                                      0 & 0 & \lambda-3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  (\lambda-3)^2\cdot(\lambda+1)$$
le cui radici sono, ovviamente, gli autovalori $3$ e $-1$.
\bigskip

\emph{N.B.: un'ingenuit\`a classica \`e quella di moltiplicare i fattori del polinomio caratteristico, ottenendo un polinomio di cui non \`e pi\`u immediato calcolare le radici. Se il polinomio caratteristico ``nasce'' gi\`a fattorizzato non conviene moltiplicarne i fattori!}
\bigskip

La molteplicit\`a algebrica $ma(-1)$ dell'autovalore $-1$ \`e $1$, e quindi anche la molte\-pli\-ci\-t\`a geometrica $mg(-1)$ dell'autovalore $-1$ \`e $1$ (ricordate che risulta $1\le mg(\lambda)\le ma(\lambda)$, cf. Prop. 13.8 a pag. 258 del libro).
Per quanto riguarda l'altro autovalore occorre invece fare qualche calcolo perch\'e il valore della molteplicit\`a geometrica di $3$ non \`e ovvia. L'equazione dell'autospazio $U_3$ di $3$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-3 & 0 & 0 \\
                                      4 & \lambda+1 & 8 \\
                                      0 & 0 & \lambda-3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=3$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      0 & 0 & 0 \\
                                      4 & 4 & 8 \\
                                      0 & 0 & 0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).   
                                  $$               
Il rango $r(A)$ di $A$ \`e uguale a $1$ (DEVE essere minore di $3$!) La dimensione di $U_3$ (cio\`e, per definizione, $mg(3)$) risulta dunque uguale a $n-r(A)=3-1=2$ (cf. Oss. 13.7 a pag. 258 del libro). Dunque la somma $mg(-1)+mg(3)$ delle molteplicit\`a \textbf{geometriche} degli autovalori di $A$ \`e uguale a $1+2=3$ e $A$ risulta diagonalizzabile (cf. Teor. 13.9 a pag. 259 del libro).
\bigskip

Calcoliamo ora una base spettrale per l'endomorfismo associato ad $A$ rispetto alla base canonica. Per farlo occorre calcolare una base per $U_{-1}$ ed una base di $U_3$, per poi unirle a formare la base spettrale cercata. Come gi\`a sappiamo l'equazione di $U_3$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      0 & 0 & 0 \\
                                      4 & 4 & 8 \\
                                      0 & 0 & 0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  cio\`e $4x+4y+8z=0$, ovvero $x+y+2z=0$.
                                  Una soluzione parametrica di tale equazione \`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=&-s-2t \\
  y &=& s \\
  z &=& t \\
\end{array}\right..$$
In forma vettoriale possiamo scrivere 
$$
\left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      -s-2t \\
                                      s \\
                                      t \\
                                    \end{array}
                                  \right)=s\cdot
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      -1 \\
                                      1 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)+
                                  t\cdot \left(\begin{array}{c}
                                      -2 \\
                                      0 \\
                                      1 \\
                                    \end{array}
                                  \right).$$

Dato che i due vettori $(-1,1,0)$, $(-2,0,1)$ sono linearmente indipendenti, costituiscono una base per $U_3$ (che sappiamo gi\`a avere dimensione $2$).

Ora dobbiamo calcolare una base per $U_{-1}$. L'equazione dell'autospazio $U_{-1}$ di $-1$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-3 & 0 & 0 \\
                                      4 & \lambda+1 & 8 \\
                                      0 & 0 & \lambda-3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=-1$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      -4 & 0 & 0 \\
                                      4 & 0 & 8 \\
                                      0 & 0 & -4 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).
                                  $$             
cio\`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  -4x &=& 0 \\
  4x+8z &=& 0 \\
  -4z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Tale sistema lineare equivale al seguente (la seconda equazione \`e combinazione lineare delle altre due):
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& 0 \\
  z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Una soluzione parametrica di tale equazione \`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& 0 \\
  y &=& s \\
  z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$
In forma vettoriale possiamo scrivere
$$
\left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      s \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=s\cdot
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      1 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)$$
e quindi $\left((0,1,0)\right)$ costituisce una base per $U_{-1}$.

Una base spettrale per l'endomorfismo associato ad $A$ rispetto alla base canonica \`e quindi data dalla terna $\left((-1,1,0),(-2,0,1),(0,1,0)\right)$. Rispetto a tale base, l'endomorfismo definito dalla matrice $A$ rispetto alla base canonica viene descritto dalla matrice diagonale $$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      3 & 0 & 0 \\
                                      0 & 3 & 0 \\
                                      0 & 0 & -1 \\
                                    \end{array}
                                  \right).$$
                                  Notate che l'ordine sulla diagonale degli autovalori corrisponde a quello degli autovettori nella base spettrale trovata.
\bigskip

\emph{N.B.: Osservate che se l'esercizio richiedesse solo di determinare la dia\-go\-na\-liz\-za\-bi\-li\-t\`a di $A$ non sarebbe necessario risolvere le equazioni degli autospazi, ma soltanto calcolare le loro dimensioni. Notiamo anche che esistono infinite altre basi spettrali, soluzioni del nostro esercizio.}
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\medskip
\hrule
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\textsc{Esercizio 2.} Dire se la matrice $A=\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      3 & 0 & 0 \\
                                      -4 & -1 & -8 \\
                                      0 & 0 & -3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
$ \`e diagonalizzabile sul campo dei reali. Se lo \`e calcolare una base spettrale dell'endomorfismo associato alla matrice $A$ rispetto alla base canonica.
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\hrule
\bigskip

\textbf{Svolgimento.}
Calcoliamo il determinante della matrice caratteristica (cio\`e il polinomio caratteristico $p(\lambda)$):
$$p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\det\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-3 & 0 & 0 \\
                                      4 & \lambda+1 & 8 \\
                                      0 & 0 & \lambda+3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  (\lambda-3)\cdot(\lambda+1)\cdot(\lambda+3)$$
le cui radici sono, ovviamente, gli autovalori $3$,$-1$ e $-3$.
\bigskip

La molteplicit\`a algebriche degli autovalori sono TUTTE uguali a $1$, e quindi anche le loro molte\-pli\-ci\-t\`a geometriche sono TUTTE uguali a $1$ (ricordate che risulta $1\le mg(\lambda)\le ma(\lambda)$, cf. Prop. 13.8 a pag. 258 del libro).

Quindi $A$ \`e sicuramente diagonalizzabile, perch\'e la somma delle molteplicit\`a \textbf{geometriche} degli autovalori di $A$ \`e uguale a $3$ (cf. Teor. 13.9 a pag. 259 del libro).
\bigskip

\emph{N.B.: Vediamo dunque che quando una matrice reale $A$ $n\times n$ ammette esattamente $n$ au\-to\-va\-lo\-ri DISTINTI, $A$ \`e sempre diagonalizzabile. Notate che \`e bastato cambiare segno ad un coefficiente nella matrice dell'esercizio precedente per ottenere un esercizio molto pi\`u semplice!}
\bigskip

Sappiamo gi\`a, a questo punto, che l'endomorfismo associato ad $A$ rispetto alla base canonica ammette una base spettrale e che, rispetto ad essa, \`e descritto da una matrice diagonale avente sulla diagonale principale i tre autovalori $3,-1,-3$ (il loro ordine cambia a seconda dell'ordine in cui prendiamo i vettori della base spettrale). Poich\'e, per\`o, ci viene chiesto di trovare una base spettrale dobbiamo proseguire con i calcoli.
\bigskip

L'equazione dell'autospazio $U_3$ di $3$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-3 & 0 & 0 \\
                                      4 & \lambda+1 & 8 \\
                                      0 & 0 & \lambda+3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=3$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      0 & 0 & 0 \\
                                      4 & 4 & 8 \\
                                      0 & 0 & 6 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).
                                  $$
cio\`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  4x+4y+8z &=& 0 \\
  6z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Una soluzione parametrica di tale equazione \`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& t \\
  y &=& -t \\
  z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$
In forma vettoriale possiamo scrivere
$$
\left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      t \\
                                      -t \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=t\cdot
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      1 \\
                                      -1 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).$$

Una base per $U_3$ (che sappiamo gi\`a avere dimensione $1$) \`e data da $\left((1,-1,0)\right)$.
\bigskip

Ora dobbiamo calcolare una base per $U_{-1}$. L'equazione dell'autospazio $U_{-1}$ di $-1$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-3 & 0 & 0 \\
                                      4 & \lambda+1 & 8 \\
                                      0 & 0 & \lambda+3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=-1$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      -4 & 0 & 0 \\
                                      4 & 0 & 8 \\
                                      0 & 0 & 2 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).
                                  $$
cio\`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  -4x &=& 0 \\
  4x+8z &=& 0 \\
  2z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Tale sistema lineare equivale al seguente (la seconda equazione \`e combinazione lineare delle altre due):
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& 0 \\
  z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Una soluzione parametrica di tale equazione \`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& 0 \\
  y &=& s \\
  z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$
In forma vettoriale possiamo scrivere
$$
\left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      s \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=s\cdot
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      1 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)$$
e quindi $\left((0,1,0)\right)$ costituisce una base per $U_{-1}$.

Per finire dobbiamo calcolare una base per $U_{-3}$. L'equazione dell'autospazio $U_{-3}$ di $-3$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-3 & 0 & 0 \\
                                      4 & \lambda+1 & 8 \\
                                      0 & 0 & \lambda+3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=-3$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      -6 & 0 & 0 \\
                                      4 & -2 & 8 \\
                                      0 & 0 & 0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).
                                  $$
cio\`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  -6x &=& 0 \\
  4x-2y+8z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Tale sistema lineare equivale al seguente:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& 0 \\
  2x-y+4z &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Una soluzione parametrica di tale equazione \`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& 0 \\
  y &=& 4t \\
  z &=& t \\
\end{array}\right..$$
In forma vettoriale possiamo scrivere
$$
\left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      4t \\
                                      t \\
                                    \end{array}
                                  \right)=t\cdot
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      4 \\
                                      1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)$$
e quindi $\left((0,4,1)\right)$ costituisce una base per $U_{-3}$.

Una base spettrale per l'endomorfismo associato ad $A$ rispetto alla base canonica \`e quindi data dalla terna $\left((1,-1,0),(0,1,0),(0,4,1)\right)$. Rispetto a tale base la matrice $A$ acquisisce la forma diagonale $$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      3 & 0 & 0 \\
                                      0 & -1 & 0 \\
                                      0 & 0 & -3 \\
                                    \end{array}
                                  \right).$$
                                  Notate che l'ordine sulla diagonale degli autovalori corrisponde a quello degli autovettori
                                  nella base spettrale trovata.
                                  
                                  \bigskip
                                  \hrule
                                  \medskip
                                  \hrule
                                  \bigskip
N.B.: Nei due precedenti esercizi gli autovalori coincidevano con i valori presenti sulla diagonale principale di $A$. Questo NON \`e vero in generale, come si vede dall'esercizio che segue.
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                                  \medskip
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                                  \bigskip
                                  
\textsc{Esercizio 3.} Dire se la matrice $A=\left(
                                    \begin{array}{cc}
                                      5 & 4 \\
                                      4 & 5 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
$ \`e diagonalizzabile sul campo dei reali. Se lo \`e calcolare una base spettrale dell'endomorfismo associato alla matrice $A$ rispetto alla base canonica. Dire se la funzione $f(x,y)=
\left(
  \begin{array}{cc}
    x & y \\
  \end{array}
\right)
\left(
                                    \begin{array}{cc}
                                      5 & 4 \\
                                      4 & 5 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)$ \`e un prodotto scalare su $\mathbb{R}^2$.
\bigskip
\hrule
\bigskip

\textbf{Svolgimento.}
Possiamo \underline{immediatamente} dire che $A$ \`e diagonalizzabile, senza far alcun calcolo, perch\'e $A$ \`e simmetrica (cf. il Teorema Spettrale: Teorema 14.3 a pagina 267 del libro). 

Calcoliamo allora una base spettrale dell'endomorfismo $T$ associato alla matrice $A$ rispetto alla base canonica.

Prima di tutto calcoliamo il determinante della matrice caratteristica (cio\`e il polinomio caratteristico $p(\lambda)$):
$$p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\det\left(
                                    \begin{array}{cc}
                                      \lambda-5 & -4 \\
                                      -4 & \lambda-5 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  (\lambda-5)^2-16.$$
Possiamo trovare le radici del polinomio caratteristico nel modo usuale, ma pos\-sia\-mo anche osservare che $(\lambda-5)^2-16=0$
equivale a $(\lambda-5)^2=16$, cio\`e $\lambda-5=\pm 4$ e quindi $\lambda=5\pm 4$ Perci\`o gli autovalori sono $9$ e $1$.

Dato che abbiamo $n$ autovalori distinti gli $n$ autospazi a loro associati avranno tutti dimensione $1$.


\bigskip

L'equazione dell'autospazio $U_9$ di $9$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{cc}
                                      \lambda-5 & -4 \\
                                      -4 & \lambda-5 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=9$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      4 & -4\\
                                      -4 & 4 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).
                                  $$
cio\`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  4x-4y &=& 0 \\
  -4x+4y &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Poich\'e la seconda equazione \`e multipla della prima l'equazione di $U_9$ si pu\`o scrivere in modo pi\`u semplice come $4x-4y=0$.

Una soluzione parametrica di tale equazione \`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& t \\
  y &=& t \\
\end{array}\right..$$
In forma vettoriale possiamo scrivere
$$
\left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      t \\
                                      t \\
                                    \end{array}
                                  \right)=t\cdot
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      1 \\
                                      1 \\
                                    \end{array}
                                  \right).$$

Una base per $U_9$ (che sapevamo gi\`a avere dimensione $1$) \`e data da $\left((1,1)\right)$.
\bigskip

Ora dobbiamo calcolare una base per $U_{1}$. L'equazione dell'autospazio $U_1$ di $1$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{cc}
                                      \lambda-5 & -4 \\
                                      -4 & \lambda-5 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=1$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      -4 & -4\\
                                      -4 & -4 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).
                                  $$
cio\`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  -4x-4y &=& 0 \\
  -4x-4y &=& 0 \\
\end{array}\right..$$

Poich\'e la seconda equazione \`e uguale alla prima l'equazione di $U_1$ si pu\`o scrivere in modo pi\`u semplice come $-4x-4y=0$.

Una soluzione parametrica di tale equazione \`e
$$\left\{\begin{array}{ccc}
  x &=& t \\
  y &=& -t \\
\end{array}\right..$$
In forma vettoriale possiamo scrivere
$$
\left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      t \\
                                      -t \\
                                    \end{array}
                                  \right)=t\cdot
                                  \left(\begin{array}{c}
                                      1 \\
                                      -1 \\
                                    \end{array}
                                  \right).$$

Una base per $U_1$ (che sapevamo gi\`a avere dimensione $1$) \`e data da $\left((1,-1)\right)$.

Quindi una base spettrale \`e data da $\left((1,1),(1,-1)\right)$.
\bigskip

La funzione $f$ \`e chiaramente una forma bilineare. Inoltre \`e simmetrica perch\'e $A$ \`e simmetrica. Visto che la forma diagonale di $A$ ottenuta rispetto alla base spettrale \`e la matrice $\left(
                                    \begin{array}{cc}
                                      9 & 0 \\
                                      0 & 1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)$
                                  si ha che rispetto alla base spettrale $f$ pu\`o essere scritta (nelle nuove variabili $x'$ e $y'$) come $9{x'}^2+{y'}^2$ e di conseguenza \`e definita positiva. Si tratta dunque di un prodotto scalare.
\bigskip

\emph{N.B.: Visto che abbiamo a che fare con una matrice $2\times 2$, possiamo determinare che $f$ \`e un prodotto scalare anche osservando che la traccia e il determinante della diagonalizzazione $D$ di $A$ coincidono rispettivamente con $\textrm{tr} A=10$ e $\det A=9$ (cf. Def. 9.3 a pagina 160 e Def. 13.5 a pagina 255 del libro). Infatti questo implica che la somma degli autovalori di $A$ \`e uguale a $10$ e che il prodotto degli autovalori di $A$ \`e uguale a $9$ (ricordate che gli elementi della diagonale di $D$ sono proprio gli autovalori di $A$). Ne consegue che gli autovalori di $A$ sono entrambi positivi e che, perci\`o, $f$ \`e un prodotto scalare.
}
                                  \bigskip
                                  \hrule
                                  \medskip
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                                  \bigskip
      


\textsc{Esercizio 4.} Dire se la funzione $f(x,y)=
\left(
  \begin{array}{cc}
    x & y \\
  \end{array}
\right)
\left(
                                    \begin{array}{cc}
                                      2 & 4 \\
                                      4 & 3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)$ \`e un prodotto scalare su $\mathbb{R}^2$.
\bigskip
\hrule
\bigskip

\textbf{Svolgimento.}
Possiamo \underline{immediatamente} dire che $A$ \`e diagonalizzabile, senza far alcun calcolo, perch\'e $A$ \`e simmetrica (cf. il Teorema Spettrale: Teorema 14.3 a pagina 267 del libro).

La funzione $f$ \`e chiaramente una forma bilineare. Inoltre \`e simmetrica perch\'e $A$ \`e simmetrica. 
Visto che abbiamo a che fare con una matrice $2\times 2$, possiamo determinare se $f$ \`e un prodotto scalare osservando che la traccia e il determinante della diagonalizzazione $D$ di $A$ coincidono rispettivamente con $\textrm{tr} A=5$ e $\det A=-10$. Dato che il prodotto degli autovalori di $A$ \`e uguale a $-10$ (ricordate che gli elementi della diagonale di $D$ sono proprio gli autovalori di $A$), gli autovalori di $A$ sono uno positivo ed uno negativo. Perci\`o $f$ non \`e definita (perch\'e nelle nuove variabili $x'$, $y'$ si potr\`a scrivere come $\lambda_1{x'}^2+\lambda_2{y'}^2$ con $\lambda_1>0$ e $\lambda_2<0$). Quindi $f$ non \`e un prodotto scalare (non essendo una forma definita positiva).

                                  \bigskip
                                  \hrule
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                                  \bigskip
 
 \textsc{Esercizio 5.} Dire se la funzione $f(x,y)=
\left(
  \begin{array}{cc}
    x & y \\
  \end{array}
\right)
\left(
                                    \begin{array}{cc}
                                      -2 & 1 \\
                                      1 & -3 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                    \end{array}
                                  \right)$ \`e un prodotto scalare su $\mathbb{R}^2$.
\bigskip
\hrule
\bigskip

\textbf{Svolgimento.}
Possiamo \underline{immediatamente} dire che $A$ \`e diagonalizzabile, senza far alcun calcolo, perch\'e $A$ \`e simmetrica (cf. il Teorema Spettrale: Teorema 14.3 a pagina 267 del libro).

La funzione $f$ \`e chiaramente una forma bilineare. Inoltre \`e simmetrica perch\'e $A$ \`e simmetrica.
Visto che abbiamo a che fare con una matrice $2\times 2$, possiamo determinare se $f$ \`e un prodotto scalare osservando che la traccia e il determinante della diagonalizzazione $D$ di $A$ coincidono rispettivamente con $\textrm{tr} A=-5$ e $\det A=5$. Dato che il prodotto degli autovalori di $A$ \`e uguale a $5$ (ricordate che gli elementi della diagonale di $D$ sono proprio gli autovalori $\lambda_1$, $\lambda_2$ di $A$), gli autovalori di $A$ hanno lo stesso segno. Essendo la loro somma negativa, tale segno \`e anch'esso negativo. Perci\`o $f$ \`e definita negativa (perch\'e nelle nuove variabili $x'$, $y'$ si potr\`a scrivere come $\lambda_1{x'}^2+\lambda_2{y'}^2$ con $\lambda_1$, $\lambda_2$ entrambi negativi) e quindi non \`e un prodotto scalare.

                                  \bigskip
                                  \hrule
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\textsc{Esercizio 6.} Dire se la matrice $A=\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      1 & 0 & -1\\
                                      0 & 1 & 0 \\
                                      1 & 0 & 1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
$ \`e diagonalizzabile sul campo dei reali. Se lo \`e calcolare una base spettrale dell'endomorfismo associato alla matrice $A$ rispetto alla base canonica.
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\hrule
\bigskip

\textbf{Svolgimento.}
Calcoliamo il determinante della matrice caratteristica (cio\`e il polinomio caratteristico $p(\lambda)$):
$$p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\det\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-1 & 0 & 1 \\
                                      0 & \lambda-1 & 0 \\
                                      -1 & 0 & \lambda-1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  (\lambda-1)\cdot\left((\lambda-1)^2+1\right).$$
                                  Poich\'e il polinomio $(\lambda-1)^2+1$ NON ammette radici reali, si ha che $1$ \`e l'unico autovalore, e che la sua molteplicit\`a algebrica \`e $1$. Quindi anche la sua molteplicit\`a geometrica \`e $1$ (ricordate che risulta $1\le mg(\lambda)\le ma(\lambda)$, cf. Prop. 13.8 a pag. 258 del libro). Dunque la somma delle molteplicit\`a geometriche di tutti gli autovalori \`e $1$, strettamente inferiore a $3$. Perci\`o non esiste alcuna base spettrale (cf. Teor. 13.9 a pag. 259 del libro).
                                   \bigskip
                                  \hrule
                                  \medskip
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                                  \bigskip
N.B.: Il precedente esercizio mette in evidenza che quando la somma delle molteplicit\`a algebriche degli autovalori non arriva ad $n$, neppure quella delle mol\-te\-pli\-ci\-t\`a geometriche pu\`o arrivarci, e dunque non esiste alcuna base spettrale.
\bigskip
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                                  \medskip
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\textsc{Esercizio 7.} 

Dire se la matrice $A=\left(
                                    \begin{array}{cccccccccc}
                                      1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
                                      2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\
                                      3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\
                                      4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\
                                      5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\
                                      6 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\
                                      7 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\
                                      8 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\
                                      9 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\
                                      10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10 & 10\\
                                    \end{array}
                                  \right)
$ e la matrice $1000\times 1000$ $B=(b^i_j)$ con $b^i_j=i\cdot j$ sono diagonalizzabili sul campo dei reali. 
\bigskip
\hrule
\bigskip

\textbf{Svolgimento.}
Sono entrambe diagonalizzabili perch\'e entrambe sono sim\-me\-tri\-che (cf. Teorema Spettrale: Teor. 14.3 a pagina 267 del libro).

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                                  \medskip
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                                  \bigskip

\textsc{Esercizio 8.} Dire per quali valori del parametro reale $t$ la matrice $A_t=\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      1 & 0 & t^2\\
                                      0 & t & 0 \\
                                      1 & 0 & 1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
$ \`e diagonalizzabile sul campo dei reali. 

\bigskip
\hrule
\bigskip

\textbf{Svolgimento.}
Calcoliamo il determinante della matrice caratteristica (cio\`e il polinomio caratteristico $p(\lambda)$):
$$p(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\det\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-1 & 0 & -t^2 \\
                                      0 & \lambda-t & 0 \\
                                      -1 & 0 & \lambda-1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  (\lambda-t)\cdot\left((\lambda-1)^2-t^2\right).$$
Come si vede facilmente, le radici del polinomio caratteristico sono $t$, $1+t$ e $1-t$. Scrivendo le tre uguaglianze fra tali radici ($t=1+t$, $t=1-t$ e $1+t=1-t$) ricaviamo che sono tutte distinte fra loro se e solo se $t\neq 0,\frac{1}{2}$. Quindi \underline{per $t\neq 0, \frac{1}{2}$ la matrice $A_t$ \`e sicuramente diagonalizzabile}. Esaminiamo ora i due casi $t=0$ e $t=\frac{1}{2}$.
\bigskip

Poniamo $t=0$ e calcoliamo il determinante della matrice caratteristica di $A_0$ (cio\`e il polinomio caratteristico $p(\lambda)$ di $A_0$):
$$p(\lambda)=\det(\lambda I-A_0)=\det\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-1 & 0 & 0 \\
                                      0 & \lambda & 0 \\
                                      -1 & 0 & \lambda-1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \lambda\cdot(\lambda-1)^2.$$

Gli autovalori sono $0$, di molteplicit\`a algebrica $1$ (e quindi di molteplicit\`a geometrica $1$) e $1$, di molteplicit\`a algebrica $2$ (e quindi di molteplicit\`a geometrica $1$ o $2$). 

Determiniamo ora la molteplicit\`a geometrica dell'autovalore $1$.

L'equazione dell'autospazio $U_1$ di $1$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-1 & 0 & 0 \\
                                      0 & \lambda & 0 \\
                                      -1 & 0 & \lambda-1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=1$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      0 & 0 & 0 \\
                                      0 & 1 & 0 \\
                                      -1 & 0 & 0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).
                                  $$
Dato che il rango della matrice $\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      0 & 0 & 0 \\
                                      0 & 1 & 0 \\
                                      -1 & 0 & 0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)$ \`e $2$, la dimensione di $U_1$ (cio\`e la molteplicit\`a geometrica dell'autovalore $1$) \`e uguale a $3-2=1$. Dunque la somma delle molteplicit\`a geometriche dei due autovalori \`e $2$ e quindi strettamente inferiore a $3$. Per questo motivo \underline{$A_t$ \textbf{non} \`e diagonalizzabile per $t=0$.}
\bigskip

    Poniamo ora $t=\frac{1}{2}$ e calcoliamo il determinante della matrice caratteristica di $A_\frac{1}{2}$ (cio\`e il polinomio caratteristico $p(\lambda)$ di $A_\frac{1}{2}$):
$$p(\lambda)=\det(\lambda I-A_\frac{1}{2})=\det\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-1 & 0 & -\frac{1}{4} \\
                                      0 & \lambda-\frac{1}{2} & 0 \\
                                      -1 & 0 & \lambda-1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(\lambda-\frac{1}{2}\right)\cdot\left((\lambda-1)^2-\frac{1}{4}\right).$$
Dato che $\left(\lambda-\frac{1}{2}\right)\cdot\left((\lambda-1)^2-\frac{1}{4}\right)=
\left(\lambda-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\lambda-1-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\lambda-1+\frac{1}{2}\right)$, gli autovalori sono $\frac{3}{2}$, di molteplicit\`a algebrica $1$ (e quindi di molteplicit\`a geometrica $1$) e $\frac{1}{2}$, di molteplicit\`a algebrica $2$ (e quindi di molteplicit\`a geometrica $1$ o $2$).

Determiniamo ora la molteplicit\`a geometrica che non conosciamo, cio\`e quella dell'autovalore $\frac{1}{2}$.

L'equazione dell'autospazio $U_\frac{1}{2}$ di $\frac{1}{2}$ \`e
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      \lambda-1 & 0 & -\frac{1}{4} \\
                                      0 & \lambda-\frac{1}{2} & 0 \\
                                      -1 & 0 & \lambda-1 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  $$
                                  con $\lambda=\frac{1}{2}$.
                                  In altre parole abbiamo l'equazione
$$\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{4} \\
                                      0 & 0 & 0 \\
                                      -1 & 0 & -\frac{1}{2} \\
                                    \end{array}
                                  \right)
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      x \\
                                      y \\
                                      z \\
                                    \end{array}
                                  \right)=
                                  \left(
                                    \begin{array}{c}
                                      0 \\
                                      0 \\
                                      0 \\
                                    \end{array}
                                  \right).
                                  $$
Dato che il rango della matrice $\left(
                                    \begin{array}{ccc}
                                      -\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{4} \\
                                      0 & 0 & 0 \\
                                      -1 & 0 & -\frac{1}{2} \\
                                    \end{array}
                                  \right)$ \`e $1$, la dimensione di $U_\frac{1}{2}$ (cio\`e la molteplicit\`a geometrica dell'autovalore $\frac{1}{2}$) \`e uguale a $3-1=2$. Dunque la somma delle molteplicit\`a geometriche dei due autovalori \`e $3$ e quindi uguale a $n$. Per questo motivo \underline{$A_t$ \`e diagonalizzabile per $t=\frac{1}{2}$}.
                                  
                                  \bigskip
Riassumendo, la matrice $A_t$ \`e diagonalizzabile se e solo se $t\neq 0$.

\bigskip
                                  \hrule
                                  \medskip
                                  \hrule
                                  \bigskip    

\emph{Un'osservazione per concludere: ricordatevi che applicando ad una matrice $A$ delle operazioni riga (o colonna) non cambia il rango della matrice ma \textbf{cambiano}, in generale, i suoi autovalori e autovettori! 
Per esempio la matrice $A=\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 1 & 1 \\
 \end{array}
 \right)
$ si ottiene da $I=\left(
\begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 0 & 1 \\
 \end{array}
 \right)
$ sommando la prima riga alla seconda, ma mentre $I$ \`e diagonalizzabile (visto che \`e gi\`a diagonale), $A$ non lo \`e. Verificatelo.}
  
\end{document}


