Esempi di domande

 tipiche dell'orale

 

--Definizione ed esempi di campi (algebricamente chiusi e non).

   Traccia: (K , +), (K* , .) sono gruppi commutativi ed il prodotto e' distributivo sulla somma.

                  Q, R, C e Zp (p primo )sono campi. Di questi solo C e' algebricamente chiuso.

   Riferimento Cap.2 Def. 2.5 + Es. 2.7-9 pgg. 23-24; App. A def.A.5 + prop. A.5 pgg 256-61

   Errori: Dire (K , .), che non e' mai gruppo, invece di (K* , . ); dire che Z e Zn sono campi;

             Confondere la chiusura algebrica con la chiusura delle operazioni +, . (sempre vera).

 

--Determinante di matrici

   Traccia:  Definizione (somma di n! addendi ciascuno prodotto di n fattori con "segno");

                  Prime proprieta' (in rapporto alle trasformazioni elementari, teorema di Binet );

                  Calcolo di detA secondo gli sviluppi di Laplace e/o le trasformazioni elementari;

                  Inversa di A secondo gli sviluppi di Laplace e/o le trasformazioni elementari.

   Riferimento Cap.3 Def. 3.19 + Propr. I -VI, 3.14-19 pgg. 46-57.

   Errori: Parlare di determinante di matrici non quadrate; scordare i "segni";

             dire che     det(A+B)=det(A)+det(B)    e/o   det(c A) = c det(A);

             dimenticare di fare la trasposta della matrice dei complementi algebrici

             e/o di moltiplicare per l'inverso del determinante nel calcolo dell'inversa.

 

--Definizione ed esempi di spazi vettoriali

   Traccia: Elencazione delle operazioni e degli assiomi; esempio geometrico-fisico, standard, polinomiale e matriciale.

   Riferimento Cap.4 Def. 4.1 + Es. 4.1-5 pgg. 59-62.

   Errori: Non capire che si tratta di una  “astrazione”; non collegarla a molti esempi “concreti”;

               non pensare “Che domanda facile! Questa la sanno tutti”.

 

--Lineare dipendenza ed indipendenza

   Traccia:  Definizione per n-ple ed insiemi; esempi e casi generali semplici; il vuoto e' l.i.;

                  rapporti con chiusura lineare, trasformazioni lineari e determinanti.

   Riferimento Cap.4 Def. 4.7-8 + Propr. 4.6-7 pgg. 67-70 + Prop.5.4b e 5.13 pgg.82 e 90.

   Errori:  Sbagliare "per ogni", "esiste" e le loro negazioni; dire che il vuoto è linear. dipend.;

               confondere n-ple ed insiemi; non sapere che la  l.i. è legata al rango della matrice

               delle componenti e/o che il rango è il n° massimo di righe o colonne l.i.

 

--Basi, dimensione e componenti

   Traccia:  Definizione (base = sistema di generatori l.i.); ogni spazio vettoriale ha almeno

                 una base e due basi hanno lo stesso numero di vettori che è la dimensione;

                 esistenza, unicità delle componenti e definizione; isomorfismo associato ad una base ordinata.

   Riferimento Cap.4 Def. 4.9-12 + Propr. 4.8-13 pgg. 70-74 + Prop.5.8 pg. 85.

   Errori: Non capire che base = sistema generatori minimale = sistema l.i. massimale; completamento ad una base;

               dimenticare che la base rispetto alla quale si fanno le componenti deve essere ordinata;

               confondere gli scalari di una n-pla con le sue componenti ( è giusto solo rispetto alla base canonica di Kn) 

               e quindi non sapere trovare le componenti se base non è canonica; ignorare del tutto le dimostrazioni.

 

--Equazioni di una trasformazione lineare e suo rango

   Traccia: (y) = A (x) con spiegazione dettagliata del significato di (x), (y) e delle colonne di A; 

                  dimensione dell’immagine = rango della matrice (dimostrazione facile se sono chiari i significati);

   Riferimento Cap.5 Def. 5.3-4 + Teor. 5.10 pgg. 86-88 + Prop.5.16 pg.93.

   Errori: Non capire che A è individuata solo fissando T e due basi, una in V e l’altra in W ;

              nel dire il significato di (x), (y) e delle colonne di A omettere “componenti...rispetto a...”;

              non saper trovare la matrice associata se T è standard ma le basi non sono standard;

              ignorare che la ben nota prop. 6.1 sui sistemi discende direttamente proprio dalle prop.5.6 e 5.16 .

 

--Autovalori, loro molteplicità e diagonalizzazione

   Traccia: Definizione; similitudine; polinomio caratteristico, suoi coefficienti ed invarianza per similitudine;   

                  molteplicità algebrica, geometrica e loro rapporto; teorema spettrale; casi speciali di diagonalizzabilità.

   Riferimento Cap.7 Def. 7.1-7, Prop. 7.1-14, Es. 7.8, Oss. 7.3  pgg.113-126.

   Errori: Omettere “esiste un v 0 tale che” e dire solo “T(v)= l v”; pensare che ogni endomorfismo ha autovalori; 

              dire che 0 non può essere un autovalore; usare prima le trasformazioni elementari per semplificare la matrice;   

              non sapere nulla sui coefficienti del polinomio caratteristico; ignorare cos’è la molteplicità come radice (def. A.4);  

              non capire che l’oss. 7.3 sulle basi spettrali si basa sul significato delle colonne della matrice rappresentativa;

              ignorare che una base spettrale di V è unione di basi degli h autospazi, se esiste (n = m.g.( l1)+...+ m.g.( lh)).

 

-- Basi ortonormali e trasformazioni ortogonali in spazi vettoriali euclidei

   Traccia: Definizione e loro indipendenza; procedimento di Gram-Schmidt; comodità dell’uso di basi ortonormali;

                  trasformazioni lineari che “conservano il prodotto scalare”, basi ortonormali e matrici ortogonali.

   Riferimento Cap. 8 Def. 8.5-6 + Prop. 8.5-7; Def. 8.7 Prop. 8.9 ed inversa.

   Errori: Confondere ortogonale ed ortonormale (l’uso del termine “ortogonale” per le matrici è davvero fuorviante);

               avere in mente la base naturale come unica base ortonormale.

 

--Somma ed intersezione di sottospazi

   Traccia:  Definizioni nel caso di due sottospazi; Relazione di Grassmann; somme dirette ed indipendenza

                   di sottospazi; estensione ad un numero finito di sottospazi.

   Riferimento Cap. 4 Def. 4.13-14 + caso p sottospazi; Prop. 4.17-19.

   Errori:  Definire l’indipendenza di tre o più sottospazi come quella di due; non sapere che nella somma diretta

                una base è ottenibile come unione di basi degli “addendi” e che ciò serve per cercare le basi spettrali.

 

--Prodotti scalari e loro disuguaglianze

   Traccia: Definizione assiomatica del prodotto scalare e della norma euclidea con esempi; disuguaglianze di

                  Minkowski e di Schwarz; possibilità di definire la misura dell’angolo convesso tra vettori non geometrici;

                  i determinanti di Gram non sono mai negativi; prodotti scalari e matrici definite positive.

   Riferimento Cap. 8 Def. 8.1-8.2, Es. 8.1-6; Prop. 8.1; Def.8.4,  Oss. 8.3; Prop. 8.13, Oss.8.11; Def. B.4, Prop.B.9.a.

   Errori: Confondere il prodotto scalare con il prodotto di uno scalare per un vettore; non studiare gli esempi e pensare

                che esistano solo i prodotti scalari naturali.

 

--Complemento ortogonale

   Traccia:  Definizione; dimensione del complemento ortogonale; l’intero spazio è somma diretta di un sottospazio e

                   del suo complemento ortogonale; equazioni parametriche e cartesiane del complemento ortogonale.

   Riferimento Cap. 8 Def. 8.8, Prop. 8.10-12, Oss. 8.7-8, Es. 8.15-6.

   Errori:  Non capire che ogni equazione di un sistema lineare omogeneo si può leggere come ortogonalità  tra vettori

                e quindi le righe di A in un s.l.o. minimo dato per U danno  una base del complemento ortogonale di U; 

               “il complemento ortogonale del complemento ortogonale di un insieme è l’insieme stesso” (8.6a, 8.10a, 8.11c).

 

--Parallelismo ed ortogonalità tra sottospazi euclidei

   Traccia:  Definizione di parallelismo come inclusione delle giaciture; condizioni di parallelismo per rette ed iperpiani; 

                 definizioni e condizioni di ortogonalità per rette de iperpiani; casi particolari: n=2 (rette), n=3 (rette e piani).

   Riferimento Cap. 9 Def. 9.7-8 + Prop. 9.7-8; Def. 9.9-11 + Prop. 9.9-12; Cap. 10 e 11 Prop. 10.1-3, Prop. 11.1-6.

   Errori: Paralleli non significa privi di punti comuni (rette sghembe o coincidenti) dato che contano solo i vettori liberi;

               gli (a, b, c) di un piano (n=3) NON sono le componenti di un vettore libero del piano MA ortogonale al piano;

                al+bm+cn=0 NON è la condizione di ortogonalità retta-piano; i termini noti delle equazioni NON compaiono

                mai né per l’ortogonalità né per il parallelismo; l’ortogonalità non implica l’incidenza.

 

--Sistemi lineari possibili (impossibili) e loro interpretazione geometrica. (2 domande)

   Traccia: Definizione di sistema lineare; spazio delle soluzioni; Sol(S0) s.v. (n-r)-dimensionale;

                  Teorema di Rouché-Capelli; se Sol(S) è non vuoto si ottiene come traslato dello s.v. Sol(S0);

                   sistemi di Cramer; algoritmi di risoluzione. Sistemi lineari ed intersezione di sottospazi;

                   Sol(S) e punti in comune; Sol(S0) e vettori liberi in comune; sistemi lineari impossibili nei

                   casi particolari n=2,3 in rapporto a parallelismo ed incidenza.

   Riferimento Cap. 6 Def. 6.1-6 e Prop. 6.1-4; Def. 6.7-9 e Prop. 6.5-9; algoritmi A e B;

                        Cap. 9 Teor. 9.6 ed inverso + Oss. 9.6-7; Cap. 10 e 11 Prop. 10.1, 11.1, 11.3-4.

   Errori: Pensare che un sistema lineare minimo è sempre possibile; imparare a memoria i casi particolari

               dei sistemi lineari impossibili senza capire nulla del caso generale; confondere punti e vettori liberi;

               non collegare sistemi lineari e trasformazioni lineari; ignorare che il parallelismo dipende solo dai

               vettori liberi comuni e da Sol(S0); prendere sottogamba queste due domande.

 

--Distanze tra sottospazi euclidei

   Traccia: Definizioni di distanza tra due punti, tra due sottoinsiemi e tra un punto ed un sottospazio euclideo; 

                  caso della distanza di un punto da un iperpiano; distanze punto-retta e tra rette parallele per n=2;

                  distanza punto-piano, punto-retta, tra piani paralleli, tra retta e piano paralleli e tra rette sghembe per n=3;

   Riferimento Cap. 9 Par. 7; Cap. 10 Prop. 10.5-7; Cap. 11 Prop. 11.8-14.

   Errori: Cercare la distanza punto-retta (n=3) con una retta per il pto invece del piano per il pto ortogonale alla retta;

              usare scorciatoie per la distanza di due rette sghembe trovando distanze non minime; usare solo formule date;

              confondere i casi per n=2 con quelli per n=3 usando formuleerrate; fare solo esercizi ignorando la teoria.

 

--Rappresentazioni cartesiane e parametriche di sottospazi vettoriali ed euclidei

   Traccia: Equazioni matriciali “ridotte” A(x)=(0) e (x)=M(t) per rappresentare s.s.v.; relazioni tra dimensioni e ranghi;

                  equazioni matriciali  A(x)+(b)=(0) e (x)=M(t)+(n) per dare s.s.e. e rappresentazione dei loro vettori liberi.

   Riferimento Cap. 6 par. 3 e Cap. 9 par. 4.

   Errori: Non saper usare il teorema di Kronecker per calcolare le equazioni cartesiane di un sottospazio; ignorare che

              le equazioni matriciali possono essere non ridotte e non saperle ridurre; non saper rappresentare  le giaciture.

 

--Matrice di Gram con applicazioni a volumi e distanze

   Traccia: Definizione di matrice di Gram per h vettori dati a piacere; il determinante di Gram e' positivo se i vettori

                 sono l.i. e nullo se sono l.d.; proiezioni ortogonali (fac.),volumi-aree e distanze come rapporti tra volumi-aree.

   Riferimento Cap.8 par.5 e Cap.9 par.8 ed appunti sulle pseudonorme.

   Errori: Dire n invece di h vettori e pensarli solo l.i.; il determinante di Gram, senza radice, non dà un volume-area; 

              dimenticare 1/h! nella formula del volume del simplesso; non saper usare n coordinate quando h < n . 

 

--Cambiamenti di base e di riferimento cartesiano

   Traccia:  Matrice del cambiamento di base e significato delle sue colonne; composizione di cambiamenti di base; 

                   equazioni matriciali di cambiamenti di riferimento cartesiano; rapporto con gli automorfismi.

   Riferimento Cap. 5 par. 4 e Cap. 9 par. 2.

   Errori: Confondere le coordinate di “partenza” o “vecchie” con quelle di “arrivo” o “nuove”; non saperli comporre.

 

--Forme quadratiche, congruenza e segnatura di matrici simmetriche reali.

   Traccia: Definizione di forma quadratica, sue matrici rappresentative e congruenza tra matrici simmetriche;

                  la congruenza conserva il rango ed il segno degli autovalori; forme canoniche e principio di Sylvester;

                  definizione di segnatura e metodi per trovarla usando opportune variazioni e permanenze di segno;

                  le matrici simmetriche reali sono tutte diagonalizzabili simultaneamente per similitudine e per congruenza.

   Riferimento Appendice B.

   Errori: Non sapere come è definita la matrice rappresentativa di F rispetto ad una base B (matrice di Gram QB(F));

               confondere congruenza con similitudine; sapendo gli autovalori, usare gli altri metodi per trovare la segnatura. 

 

 

N.B. Errori possono essere ingenuità da “polli”, imprecisioni veniali, incomprensione totale o parziale e/o scivolate

        dovute ad un studio “a memoria”.