Programma del corso di Geometria delle Curve Algebriche a.a.2004/05
 

   Spazi proiettivi. Sottospazi, riferimenti proiettivi. Equazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio proiettivo. Carte affini. La relazione di Grassmann proiettiva. Morfismi proiettivi, equazioni di una proiettività. Birapporto e modulo di 4 punti su una retta proiettiva.
    Iperquadriche. Classificazione delle iperquadriche proiettive complesse.  Classificazione proiettiva ed affine delle coniche reali e complesse. Punti impropri di una conica affine. Classificazione euclidea delle coniche.
    Curve algebriche piane affini e proiettive. Generalità sui polinomi omogenei. Molteplicità di intersezione di una curva e una retta in un punto nel caso affine e nel caso proiettivo. Grado di una curva proiettiva. Molteplicità di una curva in un punto. Caratterizzazione dei punti multipli attraverso le derivate. Equazione del cono tangente.  Esempi di curva duale. Flessi, asintoti.  Esempi di punti singolari: nodo, cuspide ordinaria, tacnodo, punto triplo ordinario,...
    Sistemi lineari di curve di grado d nel piano proiettivo. Il criterio di separazione e suoi corollari. Parametrizzazione di una conica liscia.  Molteplicità di intersezione di una curva e una conica in un punto. Sistemi lineari di coniche, casi possibili per il luogo base di un fascio di coniche.
    Cubiche piane.  Classificazione delle cubiche piane riducibili. Una curva piana proiettiva liscia ha almeno un flesso. Teorema di Salmon per le cubiche piane e modulo di una cubica piana. Classificazione delle cubiche piane non singolari. Classificazione e parametrizzazione razionale delle cubiche piane singolari irriducibili. La legge di gruppo su una cubica piana liscia.
    Insiemi algebrici affini. Operazioni sugli ideali di un anello. Il Teorema degli zeri di Hilbert, la corrispondenza tra ideali radicali e insiemi algebrici affini. La topologia di Zariski. Spazi topologici irriducibili. Componenti irriducibili, varietà affini e ideali primi. Lo spazio affine n-dimensionale è irriducibile e quasi compatto. Componenti irriducibili di una ipersuperficie. Dimensione di una varietà affine Y: come dimensione topologica, come dimensione di Krull dell'anello delle coordinate A(Y), come grado di trascendenza di Q(A(Y)) sul campo base.