Matematica, secondo modulo - Algebra e Geometria (a.a. 2019/20)
Corso di laurea magistrale a ciclo unico in Architettura, sede di Cesena
Registro delle lezioni
19/02/2020 (Aula 2.3). Vettori applicati e vettori geometrici nel piano e nello spazio. Somma di vettori geometrici e moltiplicazione per uno scalare, e loro proprietà. Sistemi di riferimento nel piano e nello spazio. Coordinate associate a un vettore geometrico all'interno di un sistema di riferimento.
21/02/2020 (Aula 4.1). Operazioni indotte su ℝ2 e su ℝ3 a partire dalla somma e dalla moltiplicazione per scalari su vettori geometrici in un dato sistema di riferimento nel piano e nello spazio. Struttura di spazio vettoriale su ℝn. Sottospazi vettoriali di ℝn: definizione, esempi e controesempi.
04/03/2020 (Online). Sottospazi vettoriali banali. Sottospazi vettoriali di ℝ1, di ℝ2 e di ℝ3. Matrici a coefficienti reali, moltiplicazione matrice per vettore colonna. Ogni matrice A ∈ Mm,n(ℝ) determina per moltiplicazione una funzione TA : ℝn → ℝm.
06/03/2020 (Online). L'applicazione TA : ℝn → ℝm associata a una matrice A ∈ Mm,n(ℝ) è compatibile con le due strutture di spazio vettoriale in partenza e in arrivo. Applicazioni lineari. Nucleo e immagine di una matrice. Esempi.
11/03/2020 (Online). Il nucelo e l'immagine di una matrice A ∈ Mm,n(ℝ) sono sottospazi vettoriali rispettivamente di ℝn e di ℝm. Sistemi lineari. Un sistema lineare è compatibile se e solo se il vettore dei termini noti è nell'immagine della matrice dei coefficienti del sistema. Il nucleo di una matrice coincide con lo spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato. Sistemi di due equazioni lineari in due incognite, risoluzione grafica.
13/03/2020 (Online). Matrici e sistemi lineari a scala. Pivots e rango di una matrice a scala. Caratterizzazione della compatibilità di un sistema lineare a scala. Risoluzione di un sistema lineare a scala.
18/03/2020 (Online). Risoluzione di un sistema lineare a scala, conclusione dello studio. Esempi. Operazioni elementari sulle righe della matrice completa di un sistema lineare che preservano l'insieme delle soluzioni. Riduzione a scala di una matrice e del sistema lineare associato: esempi.
20/03/2020 (Online). Eliminazione di Gauss e riduzione a scala di una matrice. Risoluzione di un sistema lineare arbitrario. Esempi e esercizi: sistemi lineari dipendenti da un parametro. Rango di una matrice.
25/03/2020 (Online). Risoluzione di sistemi lineare mediante riduzione a scala: esempi ed esercizi. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare Ax = b: se s0 è una soluzione particolare di Ax=b, allora l'insieme delle soluzioni di Ax=b coincide con l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato Ax=0 traslato per s0.
27/03/2020 (Online). Combinazioni lineari di vettori in ℝn. Generatori di un sottospazio vettoriale di ℝn. Esempi.
01/04/2020 (Online). Sottospazio vettoriale di ℝn generato da k vettori. Esempi. Sottospazi coordinati di ℝn.
03/04/2020 (Online). L'immagine di una matrice A ∈ Mm,n(ℝ) è il sottospazio vettoriale di ℝm generato dalle colonne di A. Applicazione ai sistemi lineari. Sottospazi vettoriali di ℝn definiti tramite generatori e tramite equazioni. Vettori linearmente indipendenti. Esempi.
08/04/2020 (Online). Vettori linearmente indipendenti, esempi. Unicità dei coefficienti per combinazioni lineari di vettori linearmente indipendenti. Base di un sottospazio vettoriale di ℝn. Base canonica di ℝn.
17/04/2020 (Online). Basi di un sottospazio vettoriale di ℝn. Basi e sistemi di riferimento: sistema di coordinate associato a una base. Esempi. Due vettori in ℝ2 formano una base di ℝ2 se e solo se non sono proporzionali.
22/04/2020 (Online). Basi e sistemi di coordinate. Esempi. Ogni sottospazio vettoriale di ℝn ammette basi: ogni insieme di generatori di W contiene una base di W, e ogni insieme di vettori linearmente indipendenti di W è contenuto in una base di W. Dimensione di un sottospazio vettoriale di ℝn. La dimensione di un sottospazio coincide con il numero minimo di generatori per esso, e con il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in esso contenuti.
23/04/2020 (Online). Esercizi.
24/04/2020 (Online). Lo spazio vettoriale generato dalle righe di una matrice coincide con quello generato dalle righe di una sua qualsiasi riduzione a scala. Il rango di una matrice coincide con il numero massimo di righe linearmente indipendenti. Le righe non nulle di una qualsiasi riduzione a scala di una matrice formano una base dello spazio vettoriale generato dalle righe della matrice. Applicazioni e esercizi.
29/04/2020 (Online). Rango per righe e rango per colonne di una matrice. Esempi. Il nucleo di una matrice A con n colonne è uguale a n-rk(A). Come determinare dall'algoritmo di Gauss una base per il nucleo di una matrice.
06/05/2020 (Online). Richiami su vettori geometrici e vettori applicati. La struttura di spazio affine sull'insieme dei punti del piano. Lo spazio affine 𝔸n(ℝ). Sottospazi affini di 𝔸n(ℝ), esempi.
08/05/2020 (Online). Sottospazi affini del piano. Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di una retta nel piano. Retta per due punti.
13/05/2020 (Online). Posizione reciproca di due rette nel piano. Sottospazi affini dello spazio. Equazioni parametriche per un piano nello spazio.
15/05/2020 (Online). Sistemi lineari e sottospazi affini: rilettura del teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare compatibile in termini di sottospazi affini. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile in due incognite è un sottospazio affine del piano 𝔸2(ℝ) di dimensione 2-rk(A), dove A è la matrice associata al sistema. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile in tre incognite è un sottospazio affine dello spazio 𝔸3(ℝ) di dimensione 3-rk(A), dove A è la matrice associata al sistema. Equazioni cartesiane di un piano nello spazio.
20/05/2020 (Online). Posizione reciproca di due piani nello spazio. Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane per una retta nello spazio.
22/05/2020 (Online). Posizione reciproca di un piano e una retta nello spazio. Posizione reciproca di due rette nello spazio. Esercizi ed esempi.
Gli appunti delle lezioni effettuate in modalità online sono disponibili nella pagina del corso su IOL.