Representation Theory (a.a. 2021/22)
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21/02/2022. Introduzione al corso. Gruppi e algebre di Lie. Esempi. L'algebra di Lie di un gruppo di Lie. Esempio: l'algebra di Lie del gruppo generale lineare è l'algebra delle matrici con il commutatore.
Le algebre di Lie classiche: l'algebra di Lie speciale lineare, l'algebra di Lie simplettica e le algebre di Lie ortogonali.
23/02/2022. L'algebra delle derivazioni di una k-algebra. La rappresentazione aggiunta di un'algebra di Lie. Algebre di Lie abeliane e algebre di Lie semplici. Algebre di Lie risolubili e algebre di Lie nilpotenti.
28/02/2022. Algebre di Lie nilpotenti. Elementi ad-nilpotenti e Teorema di Engel. Sottoalgebre di gl(V) fatte da endomorfismi nilpotenti ed esistenza di vettori annichilati dalla sottoalgebra.
02/03/2022. Algebre di Lie risolubili. Teorema di Lie. Sottoalgebre risolubili di gl(V) ed esistenza di autovettori comuni.
07/03/2022. Criterio di Cartan per la risolubilità di un'algebra di Lie. Elementi ad-semisemplici.
09/03/2022. Forme bilineari su un'algebra di Lie associate alla traccia di una rappresentazione. Forma di Killing. Algebre di Lie semisemplici e loro caratterizzazioni: in termini di ideali abeliani, in termini di radicale e in termini di somma diretta di ideali semplici.
14/03/2022. Rappresentazioni di un'algebra di Lie e moduli associati. Moduli irriducibili, moduli indecomponibili, moduli completamente riducibili, moduli semisemplici. Rappresentazione duale, prodotto tensoriale di rappresentazioni, rappresentazioni su spazi di omomorfismi.
16/03/2022. Lemma di Schur. Elemento di Casimir associato a una rappresentazione di un'algebra di Lie semisemplice. Teorema di Weyl: le rappresentazioni di dimensione finita di un'algebra di Lie semisemplice sono completamente riducibili.
18/03/2022. Tutte le derivazioni di un'algebra di Lie semisemplice sono interne. Decomposizione di Jordan astratta.
21/03/2022. Compatibilità della decomposizione di Jordan astratta con la decomposizione di Jordan usuale. Rappresentazioni di sl(2) di dimensione finita: spazi peso, vettori massimali. Struttura delle rappresentazioni irriducibili di dimensione finita.
23/03/2022. Classificazione delle rappresentazioni di sl(2) di dimensione finita, a meno di isomorfismo. Sottoalgebre torali. Radici associate a un'algebra di Lie semisemplice rispetto a una sottoalgebra torale massimale, decomposizione di Cartan. Decomposizione di Cartan dl sl(n) rispetto alle matrici diagonali.
25/03/2022. Proprietà elementari della decomposizione di Cartan di un'algebra semisemplice. Sottoalgebre torali massimali: la restrizione della forma di Killing a una sottoalgebra torale massimale è non degenere.
04/04/2022. Le sottoalgebre torali massimali sono autocentralizzanti. Prime proprietà delle radici e degli spazi radice. Elementi semisemplici e sl(2)-triple associate a una radice.
06/04/2022. Proprietà delle radici e degli spazi di radice. Interi di Cartan e stringhe attraverso una radice. Sistemi di radici.
11/04/2022. Sistemi di radici di rango 1 e 2. Sistemi di radici: isomorfismi, irriducibilità, angoli ammissibili tra coppie di radici. Basi di sistemi di radici: definizione ed esistenza.
13/04/2022. Camere di Weyl di un sistema di radici. Corrispondenza tra le camere di Weyl e le basi del sistema. L'azione del gruppo di Weyl sulle basi e sulle camere è semplicemente transitiva. Il gruppo di Weyl è generato dalle riflessioni semplici. Lunghezza e inversioni di un elemento del gruppo di Weyl. Matrice di Cartan.
20/04/2022. La matrice di Cartan determina completamente il sistema di radici a meno di isomorfismo. Diagramma di Dynkin associato a un sistema di radici. Classificazione dei sistemi di radici irriducibili, e dei loro diagrammi di Dynkin (solo enunciato). Realizzazione dei sistemi di radici di tipo classico.
27/04/2022. Rappresentazioni di dimensione finita di un'algebra di Lie semisemplice: decomposizione in spazi peso e integralità dei pesi relativamente al sistema di radici. Sottoalgebra di Borel associata a un insieme di radici semplici, vettore massimale di una rappresentazione irriducibile. Classificazione delle rappresentazioni irriducibili di dimensione finita in termini dei pesi più alti (solo enunciato). Pesi integrali di un sistema di radici e pesi integrali dominanti. Sistema di radici duale. Pesi fondamentali, radici semplici e matrice di Cartan. Gruppo fondamentale di un sistema di radici. Ordinamento parziale dei pesi associato a un insieme di radici semplici.
02/05/2022. Algebra tensoriale, algebra simmetrica e algebra esterna su uno spazio vettoriale. Algebra universale inviluppante di un'algebra di Lie. Algebre graduate e algebre filtrate.
04/05/2022. Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt (solo enunciato) e conseguenze. Algebre di Lie libere, algebre di Lie definite per generatori e relazioni. Relazioni di Serre e teorema di Serre (solo enunciato). Classificazione delle algebre di Lie semisemplici mediante sistemi di radici.
06/05/2022. Automorfismi interni. Tutte le sottoalgebre torali massimali di un'algebra di Lie semisemplice sono coniugate tramite un automorfismo interno di L (solo enunciato).
09/05/2022. Moduli di peso più alto: decomposizione in spazi peso e indecomponibilità. Modulo di Verma e modulo irriducibile associato a un peso arbitrario.
11/05/2022. Classificazione delle rappresentazioni irriducibili di dimensione finita di un'algebra di Lie semisemplice. Lemmi preliminari.
13/05/2022. Classificazione dei moduli irriducibili di dimensione finita: gli spazi peso sono permutati dal gruppo di Weyl, e descrizione dell'insieme dei pesi.