Docente: Marco Lenci

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Programma svolto:

• Lezione Zero: tre pseudo-definizioni intuitive di probabilità.
• Approccio assiomatico: eventi, spazio degli eventi e loro proprietà. Assiomi ideali della probabilità.
• Caso discreto: spazi degli eventi finiti e numerabili. Verifica degli assiomi ideali. Esempi. Spazi finiti uniformi.
• Problemi con gli assiomi ideali negli spazi continui. Probabilità uniforme in [0,1] e insiemi non misurabili. Paradosso di Banach-Tarski.
• Definizione di spazio di probabilità. Proprietà ed esempi. Esistenza della misura di Lebesgue in [0,1] e R.
• Probabilità condizionale. Formule di Bayes. Indipendenza. Spazio prodotto. Combinazioni e disposizioni.
• Variabili aleatorie. Distribuzione di una variabile aleatoria. Variabili aleatorie discrete.
• Distribuzione binomiale. Schema successo-insuccesso. Distribuzione di Poisson.
• Definizione e calcolo di integrali. Densità di probabilità. Unicità della probabilità definita sugli intervalli.
• Distribuzione gaussiana. Distribuzioni gamma. Distribuzione esponenziale.
• Variabili aleatorie continue ed assolutamente continue. Problema del calcolo della densità.
• Funzione cumulativa. Applicazioni al calcolo della della densità. Generazione di distribuzioni.
• Aspettazione matematica e suo calcolo. Indipendenza dallo spazio di probabilità sottostante.
• Momenti. Varianza e suo significato. Disuguaglianza di Chebyshev.
• Densità in più dimensioni. Teorema di Fubini e calcolo di integrali multipli.
• Vettori aleatori (variabili aleatorie in più dimensioni). Distribuzione e densità congiunta. Distribuzione e densità marginale.
• Indipendenza di variabili aleatorie. Somma, massimo e minimo di variabili indipendenti. Aspettazione di variabili indipendenti.
• Convergenza di variabili aleatorie: quasi dappertutto e in probabilità. Legge dei grandi numeri.
• Convergenza in distribuzione e debole. Teorema Limite Centrale.

Esercizi consigliati:

(La numerazione si riferisce al testo P. Baldi, Calcolo delle probabilità e statistica, 2a ed. (1998), McGraw-Hill)

• Cap. 1: tutti tranne 1.7.
• 2.8, 2.9, 2.10
• 2.1, 2.5a, 2.6, 2.7, 2.8, 2,13a, 2.17a
• 3.10ac, 3.15 (tranne ultima domanda)
• Foglio di esercizi n. 1
• 2.2ab, 2.3, 2.15
• 3.1, 3.6abc, 3.7 (scrivere i risultati usando la funzione Erf), 3.10, 3.12, 3.13, 3.15 (ultima domanda)
• Foglio di esercizi n. 2
• 2.2c, 2.4a
• 3.3, 3.4, 3.11, 3.14ab, 3.16, 3.18
• 4.1 - 4.6, 4.7a, 4.8, 4.12, 4.13

Alcune prove scritte precedenti:

• Esame del 2 luglio 2013
• Esame del 5 giugno 2013
• Esempio di esame n. 1
• Esempio di esame n. 2

Regole d'esame:

L'esame consiste di una prova scritta (della durata di circa 3 ore) che prevede sia domande di carattere teorico che esercizi. Il voto conseguito allo scritto potrà essere accettato dallo studente come voto finale per il corso. In alternativa, purché il voto dello scritto sia sufficiente, lo studente potrà richiedere di svolgere anche una prova orale. Il voto assegnato dopo la prova orale, che tiene conto anche del risultato dello scritto, diventa definitivo e potrà essere maggiore o minore del voto precedentemente assegnato alla scritto.

Le date degli appelli scritti e orali vengono pubblicate con largo anticipo su AlmaEsami. Alla prova scritta occorre portare un documento di identità (anche universitario, purché dotato di foto) e una calcolatrice (del tipo non programmabile e senza display grafico).

Risultati:

• Scritto del 15 settembre 2014

ATTENZIONE: Gli studenti che intendono sostenere la prova orale devono contattare il docente per email.
Gli studenti che intendono rifiutare il voto devono comunicarlo al docente (per email) entro mercoledì 24 settembre. Il giorno successivo, per tutti gli studenti risultati sufficienti allo scritto e che non si sono accordati per sostenere la prova orale, verrà registrato il voto assegnato nel documento qui sopra.
Gli scritti corretti possono essere visionati nell'ufficio del docente, previo appuntamento.

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