Algebra I
Prof. Manaresi 2002/2003



Esame Fondamentale del I anno I semestre
del C.d.L. in Matematica e Matematica Informatico-Computazionale
7 crediti

Programma:

I - Insiemi: Intersezione, unione, differenza di insiemi; sottoinsiemi; insieme delle parti. Funzioni tra insiemi; funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Immagini e controimmagini di sottoinsiemi mediante un'applicazione. Composizione di funzioni, inversa di una funzione biunivoca. Prodotto cartesiani di insiemi. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insiemi quoziente. Relazioni d'ordine: ordine stretto, ordine totale, buon ordinamento.
II - Gli interi: Gli interi. Il principio del minimo e l'induzione matematica. Relazione di divisibilitÓ tra interi e sue proprietÓ. Numeri primi. Esistenza della fattorizzazione in primi. Esistenza di infiniti primi. Massimo comun divisore. Numeri primi fra loro. Il lemma di divisione, Il massimo comun divisore di a e b come combinazione lineare di a e di b. UnicitÓ della scomposizione in fattori primi. L'algoritmo euclideo. Relazione di congruenza tra interi e sue proprietÓ. Teorema di Fermat. Criteri di divisibilitÓ. Classi di congruenza. Addizione e moltiplicazione di classi di congruenza. L'anello Zm. Elementi invertibili di Zm.
III - Gruppi: Gruppi. Gruppi di permutazioni e di matrici. Prodotto diretto di gruppi. Ordine di un elemento di un gruppo. Gruppi abeliani. Prodotto di gruppi abeliani. Gruppi simmetrici e loro ordine. Cicli. Trasposizioni. Orbite di una permutazione. Scomposizione di una permutazione come prodotto di cicli disgiunti. Ordine di una permutazione. Trasposizioni. Il segno di una permutazione. Gruppi alterni. Sottogruppi. Sottogruppo generato da un elemento. Gruppi ciclici. Sottogruppi di Z e di Zm. Teorema cinese del resto. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. Congruenze modulo un sottogruppo. Classi di congruenza. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Gruppi di ordine primo. Sottogruppi di S3 Omomorfismi di gruppi. Nucleo e immagine. Isomorfismi. Isomorfismi tra gruppi simmetrici. Coniugio. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Classificazione dei gruppi di ordine minore o uguale a 7. Teorema fondamentale di omomorfismo per gruppi. Omomorfismi da Z ad un gruppo. Classificazione dei gruppi ciclici. Sottogruppi di un quoziente di un gruppo abeliano.
IV - Anelli: Operazioni binarie su insiemi. Anelli. Anelli commutativi. Sottoanelli. Divisori di zero ed elementi invertibili. Domini di integritÓ. Campi. I campi Zp. Prodotti di anelli. Ideali in un anello commutativo. Anelli quoziente. Ideale generato da un elemento. Ideali principali. Ideale generato da un numero finito di elementi. Caratterizzazione dei campi come anelli senza ideali non banali. Ideali primi e ideali massimali e loro caratterizzazioni. Omomorfismi di anelli commutativi. Omomorfismi di anelli da Z ad un anello commutativo. Nucleo ed immagine di omornorfismi di anelli commutativi. Omomorfismi da un campo ad un anello commutativo. Isomorfismi di anelli commutativi, Teorema fondamentale di omomorfismo per anelli. Teorema cinese del resto. La funzione o di Eulero e la sua proprietÓ di moltiplicativitÓ. Corrispondenza biunivoca fra gli ideali di una anello A contenente un ideale I e gli ideali dell'anello quoziente A/I. Caratteristica di un anello. Caratteristica di un dominio di integritÓ. L'ordine di un campo finito come potenza della caratteristica. Campo dei quozienti di un dominio di integritÓ. Campo dei quozienti come il pi¨ piccolo campo che contiene un dato dominio di integrità.
V - Polinomi: Polinomi e serie formali. Il grado e il coefficiente direttore di un polinomio. Polinomi monici. Somma e moltiplicazione di polinomi. Funzioni polinomiali. Polinoimi a coefficienti in un dominio. Il grado di un prodotto. Caratterizzazione dei polinomi invertibili. Polinomi a coefficienti in un campo. DivisibilitÓ tra polinomi. Polinomi associati. Polinomi irriducibili. Il lemma di divisione. Ideali in anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Massimo comun divisore di due polinomi. L'algoritmo euclideo per i polinomi. Scomposizione in polinomi irriducibili. DivisibilitÓ per polinomi di grado l. Radici di un polinomio. MolteplicitÓ di una radice. Il numero di radici di un polinomio. Polinomi irriducibili di grado due e tre. ImpossibilitÓ di migliorare il teorema di Fermat per campi finiti. Campi algebricamente chiusi. Il teorema fondamentale dell'algebra. La derivata di un polinomio e le radici multiple del polinomio.

Esercitazioni a cura della dott. Marta Morigi (051-2094477)

Testi di riferimento:


AVVISO AGLI STUDENTI
Per la sessione invernale gli studenti in debito di esame di Algebra I possono sostenere la prova nelle stesse date fissate per il corso di Algebra II


Appelli della sessione invernale:
Preappello
scritto: 18.12.03 ore 14.30 aula Tonelli (VI piano)
orale: 22.12.03 ore 9.00 aula Vitali (piano terra)
I appello
scritto: 13.01.04 ore 9.30 aula Cremona (IV piano)
orale: 15.01.04 ore 9.00 aula Bombelli (III piano)
II appello
scritto: 10.02.04 ore 9.30 aula Cremona (IV piano)
orale: 12.02.04 ore 9.00 aula Vitali (piano terra)