Algebra Computazionale
Prof. Manaresi 2002/2003



Esame Fondamentale per il C.d.L. in Matematica Informatico-Computazionele
Esame non Fondamentale per il C.d.L. in Matematica
6 crediti

Programma:

I - Anelli e ideali: Richiami su anelli commutativi: divisori di zero, elementi nilpotenti, elementi invertibili, domini di integrità, campi. Ideali in un anello commutativo: ideale generato da un numero finito di elementi, ideali principali. Domini a ideali principali. Anelli noetheriani. Sistemi di generatori (basi) di un ideale; basi minimali. Caratterizzazione dei campi come anelli senza ideali non banali. Ideali primi e ideali massimali e loro caratterizzazioni. Radicale di un ideale, ideali radicali. Somma, intersezione e prodotto di ideali. Radicale di un prodotto e di un'intersezione di ideali. Ideale quoziente di due ideali e sue proprietà. Omomorfismi di anelli commutativi. Omomorfismi di anelli da Z ad un anello commutativo. Nucleo ed immagine di omornorfismi di anelli commutativi. Immagini e controimmagini di ideali mediante omomorfismi. Omomorfismi da un campo ad un anello commutativo. Isomorfismi di anelli commutativi, teorema fondamentale di omomorfismo per anelli. Gruppo quoziente di un gruppo abeliano rispetto a un sottogruppo. Anelli quoziente. Corrispondenza biunivoca fra gli ideali di una anello A contenente un ideale I e gli ideali dell'anello quoziente A/I. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Campo dei quozienti come il più piccolo campo che contiene un dato dominio di integrità.
II - Polinomi in una variabile: Polinomi in una variabile a coefficienti in un anello e funzioni polinomiali. Polinomi a coefficienti in un dominio. Il grado di un prodotto. Caratterizzazione dei polinomi invertibili. Polinomi a coefficienti in un campo. Divisibilità tra polinomi. Polinomi irriducibili. Il lemma di divisione. Ideali in anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Massimo comun divisore di due polinomi. L'algoritmo euclideo per i polinomi. Scomposizione in polinomi irriducibili. Richiami sulle radici di un polinomio: molteplicità di una radice, il numero di radici di un polinomio; campi algebricamente chiusi; il teorema fondamentale dell'algebra; la derivata di un polinomio e le radici multiple del polinomio. Polinomi irriducibili di grado due e tre. Irriducibilità e decomposizione in irriducibili negli anelli Q[x], R[x], C[x]. Lemma di Gauss.
III - Polinomi in più variabili e basi di Gröbner: Monomi e polinomi in più variabili. Coefficienti, termini, grado totale di un polinomio. L'anello K[x1,...,xn] dei polinomi in più variabili a coefficienti in un campo. Divisibilità di polinomi. Spazio affine n-dimensionale su un campo. Polinomi in più variabili e funzioni polinomiali. Insiemi algebrici affini: definizione, esempi di sottoinsiemi dello spazio affine che non sono insiemi algebrici, unioni e intersezioni di insiemi algebrici. Sistemi di equazioni polinomiali e loro soluzioni: ideale polinomiale associato ad un sistema di equazioni polinomiali, insieme algebrico delle soluzioni del sistema, sistemi equivalenti. Ideali e insiemi algebrici affini. Teorema della base di Hilbert (enunciato). Ideale di definizione di un insieme algebrico. Ordini monomiali nell'anello K[x1,...,xn]: l'ordine lessicografico (lex), l'ordine lessicografico graduato (grlex), l'ordine lessicografico graduato inverso (grevlex). Coefficiente principale, monomio principale, termine principale, multigrado di un polinomio rispetto a un fissato ordine monomiale. Multigrado di un prodotto di polinomi. Un algoritmo della divisione nell'anello K[x1,...,xn] con fissato ordine monomiale; resto della divisione; resto della divisione e appartenenza a un ideale. Ideali monomiali di K[x1,...,xn] e loro proprietà. Lemma di Dickson. Ideale monomiale generato dai termini principali di un ideale. Basi di Gröbner (o basi standard) di un ideale polinomiale. Il teorema della base di Hilbert. Ogni ideale di K[x1,...,xn] ammette una base di Gröbner. Proprietà delle basi di Gröbner. Unicità del resto della divisione. S-polinomio di due polinomi dati; S-polinomi e basi di Gröbner; algoritmo di Buchberger. Basi di Göbner minimali e basi di Göbner ridotte. Unicità della base di Göbner ridotta di un ideale rispetto a un dato ordine monomiale. Utilizzo di COCOA per il calcolo di basi di Gröbner. Confronto fra ideali di K[x1,...,xn]. Problema dell'appartenenza a un ideale.
IV - Sistemi di equazioni polinomiali e teoria dell'eliminazione: Ideali eliminazione e basi di Gröbner. Teorema di eliminazione. Soluzioni parziali di un sistema di equazioni polinomiali e possibilità di estensione a soluzioni del sistema. Il teorema di estensione per sistemi a coefficienti complessi. La geometria dell'eliminazione: proiezioni di insiemi algebrici e insiemi algebrici associati a ideali eliminazione. Il teorema di chiusura. Il problema del passaggio da equazioni parametriche polinomiali o razionali a equazioni cartesiane; algoritmo di implicizzazione polinomiale; algoritmo di implicizzazione razionale. Utilizzo di COCOA per la determinazione di equazioni cartesiane di insiemi algebrici definiti mediante equazioni parametriche polinomiali o razionali. Se un polinomio irriducibile divide un prodotto allora divide uno dei fattori. Due polinomi di K[x1,...,xn] di grado positivo in x1 hanno un fattore comune di grado positivo in x1 se e solo se hanno un fattore comune in K(x2,...,xn)[x1]. Decomposizione in irriducibili nell'anello K[x1,...,xn]. Matrice di Sylvester e risultante di due polinomi di K[x]. Proprietà del risultante. Risultante rispetto a x1 per due polinomi di K[x1,...,xn] di grado positivo in x1 e sue proprietà. Risultante rispetto a x1 e primo ideale eliminazione. Teorema di estensione e risultante. Risultanti generalizzati di un numero finito di polinomi. Risultanti generalizzati e torema di estensione nel caso generale.
V - Ideali e insiemi algebrici affini: Corrispondenza ideali / insiemi algebrici. Teorema degli zeri di Hilbert in forma debole. Criterio di risolubilità per sistemi di equazioni polinomiali a coefficienti complessi. Il caso reale. Teorema degli zeri di Hilbert. L'ideale di definizione di un insieme algebrico è radicale. Ideali che definiscono uno stesso insieme algebrico; corripondenza biunivoca ideali radicali/insiemi algebrici. Algoritmo per stabilire se un polinomio appartiene al radicale di un ideale. Radicale di un ideale principale. Ideali prodotto e unioni di varietà. Intersezione di ideali e unioni di varietà. Algoritmo per il calcolo dell'intersezione di ideali. Chiusura di Zariski di sottoinsiemi dello spazio affine. Quoziente di ideali e chiusura di Zariski della differenza delle corrispondenti varietà. Algoritmo per il calcolo del quoziente di ideali. Insiemi algebrici irriducibili e insiemi algebrici riducibili. Varietà irriducibili e ideali primi. Gli insiemi algebrici definiti mediante parametrizzazioni polinomiali e razionali sono irriducibili. Corrispondenza fra punti e ideali massimali. Ideali massimali di K[x1,...,xn] con K algebricamente chiuso. Componenti irriducibili e decomposizione in irriducibili di un insieme algebrico affine. Criteri per stabilire se un sistema di equazioni polinomiali ammette un numero finito di soluzioni.

Software utilizzato durante il corso:
COCOA (reperibile sul sito: ftp://cocoa.dima.unige.it/cocoa).

Ha collaborato alle esercitazioni del corso la dott. Marta Morigi (051-2094477)

Testi di riferimento:


Appelli della sessione invernale:
Preappello
scritto: 17.12.03 ore 14.00 aula Laboratorio Multimediale (piano terra)
orale: 22.12.03 ore 14.00 aula Vitali (piano terra)
I appello
scritto: 13.01.04 ore 14.30 aula Laboratorio Multimediale (piano terra)
orale: 15.01.04 ore 14.00 aula Bombelli (III piano)
II appello
scritto: 10.02.04 ore 14.30 aula Laboratorio Multimediale (piano terra)
orale: 12.02.04 ore 14.00 aula Vitali (piano terra)