Complementi di Algebra
Il corso è suddiviso in due parti:
Teoria di Galois (dott.ssa Morigi)
Algebra commutativa (prof.ssa Barnabei)
Orario lezioni: lunedì ore 14-16 aula Arzelà, venerdì ore 12-14 aula Enriques.
Le informazioni di seguito riportate si riferiscono alla parte di Teoria di Galois
Testi consigliati: J.S. Milne, “Fields and Galois Theory”, reperibile al link:
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html
Cox, Galois Theory
Lezioni:
28-09 Introduzione. Preliminari. Fattorizzazione di Polinomi. Lemma di Gauss. Criterio di Eisenstein. Relazione tra la fattorizzazione in Z[x] e quella in Zp[x].
03-10 Il polinomio ciclotomico di grado p. Estensioni. Stem fields. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo. Esempi.
10-10 Estensioni algebriche ed estensioni finitamente generate. La chiusura algebrica di Q è un campo algebricamente chiuso. F-omomorfismi da F(α) ad un campo Ω. Campo di spezzamento: esistenza.
19-10 Estensioni di omomorfismi. Unicità del campo di spezzamento. Azione di un gruppo su di un anello. Funzioni simmetriche.
26-10 Teorema di Newton sulle funzioni simmetriche. Gruppo di Galois: definizione ed esempi.
09-11 Esempio di corrispondenza di Galois: il capo di spezzamento del polinomio x^4+x^3+x^2+x+1 su Q. La corrispondenza di Galois. Un campo di spezzamento è una estensione normale.
16-11 Estensioni normali. Polinomi separabili. Campi perfetti. Ogni campo finito è perfetto. Il massimo comun divisore tra due polinomi in F[x] non cambia se si estende F. Se L è il campo di spezzamento di un polinomio separabile in K[X] allora |Gal(L/K)|=[L:K]
23-11 Teorema dell'elemento primitivo. Condizioni equivalenti al fatto che un'estensione finita sia di Galois.
26-11 Campi coniugati. Sottogruppi normali corrispondono ad estensioni normali. Esempi di alcuni gruppi di Galois. Gruppi di Galois come gruppi di permutazioni. (aula Arzelà, 14-16)
30-11 La corrispondenza di Galois. Esempio con il campo di spezzamento di x^3-2. Estensioni finite generate da elementi separabili sono separabili. Se un'estensione è finita e separabile c'è solo un numero finito di campi intermedi. Esempio di un'estensione che on ammette elemento primitivo e con un numero infinito di campi intermedi. Ogni gruppo finito è isomorfo al gruppo di Galois di qualche estensione.
03-12 Esempi di corrispondenza di Galois: i campi di spezzamento dei polinomi x^4-10x^2+1, x^4-4x^2+2,x^8-2,x^4-2. Discriminante di un polinomio. (aula VII piano, 9-11)
07-12 Gal(f) è un sottogruppo del gruppo alterno se e solo se il discriminante è un quadrato. Il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile di grado 3. Risolubilità per radicali: definizione ed enunciato del teorema di Galois. Esempio di un polinomio di grado 5 il cui gruppo di Galois non è risolubile. Cenni alle costruzioni con riga e compasso.