Complementi di Algebra
Il corso è suddiviso in due parti:
Teoria di Galois (dott.ssa Morigi)
Algebra commutativa (prof.ssa Barnabei)
Orario lezioni: mercoledì e giovedì ore 16-18 aula Vitali.
Le informazioni di seguito riportate si riferiscono alla parte di Teoria di Galois
Testi consigliati: J.S. Milne, “Fields and Galois Theory”, reperibile al link:
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html
Cox, Galois Theory
Lezioni:
25-09 Introduzione. Preliminari. Fattorizzazione di Polinomi. Criterio di Eisenstein. Relazione tra la fattorizzazione in Z[x] e quella in Zp[x].
02-10 Il polinomio ciclotomico di grado p. Estensioni. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo. Estensioni algebriche. Estensioni finitamente generate. Campi algebricamente chiusi.
09-10 La chiusura algebrica di Q è un campo algebricamente chiuso. F-omomorfismi da F(α) ad un campo Ω. Estensioni di omomorfismi.
16-10 Azione di un gruppo su di un anello. Teorema di Newton sulle funzioni simmetriche.
23-10 Discriminante di un polinomio. Definizione di gruppo di Galois. Esempi.
30-10 Il gruppo di Galois di un campo finito sul suo sottocampo fondamentale. Esempio di corrispondenza di Galois: il capo di spezzamento del polinomio x^4+x^3+x^2+x+1 su Q. La corrispondenza di Galois.
03-11 Estensioni
normali. Un campo di spezzamento è una estensione normale. Polinomi
separabili. Un polinomio irridicibile a coefficienti in un campo di
caratteristica zero è saparabile. Teorema dell'elemento primitivo
(inizio della dimostrazione).
10-11 Teorema dell'elemento primitivo (fine della dimostrazione). Campi perfetti. Ogni campo finito è perfetto. Il massimo comun divisore tra due polinomi in F[x] non cambia se si estende F. Se L è il campo di spezzamento di un polinomio separabile in K[X] allora |Gal(L/K)|=[L:K].
17-11 Condizioni equivalenti al fatto che un'estensione finita sia di Galois. Esempi di alcuni gruppi di Galois: campi finiti, l'estensione universale di grado n.
24-11 Campi coniugati. Sottogruppi normali corrispondono ad estensioni normali. La corrispondenza di Galois.
01-12 Se un'estensione è finita e separabile c'è solo un numero finito di campi intermedi. Esempio di un'estensione che non ammette elemento primitivo e con un numero infinito di campi intermedi. Esempi di corrispondenza di Galois: i campi di spezzamento dei polinomi x^4-10x^2+1, x^4-2.
03-12 Ogni gruppo finito è isomorfo al gruppo di Galois di qualche estensione. Discriminante di un polinomio.Gal(f) è un sottogruppo del gruppo alterno se e solo se il discriminante è un quadrato. Il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile di grado 3. Risolubilità per radicali: definizione ed enunciato del teorema di Galois.