Complementi di Algebra

Il corso è suddiviso in due parti:

Teoria di Galois (dott.ssa Morigi)

Algebra commutativa (prof.ssa Barnabei)

Orario lezioni: mercoledì ore 14-16 aula VII piano e giovedì ore 14-16 aula Vitali.


Programma del corso


Le informazioni di seguito riportate si riferiscono alla parte di Teoria di Galois


Testi consigliati: J.S. Milne, “Fields and Galois Theory”, reperibile al link:

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Cox, Galois Theory



Lezioni:


23-09 Introduzione. Preliminari.

30-09 Lemma di Gauss. Criterio di Eisenstein. Polinomio ciclotomico per n primo. Relazione tra la fattorizzazione in Z[x] e quella in Zp[x]. Morfismo di valutazione. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo.

07-10  Estensioni algebriche. Estensioni finitamente generate.

14-10  Campi algebricamente chiusi. Estensioni di omonorfismi.

21-10  Campi di spezzamento: esistenza e unicità. Morfismo di Frobenius.

28-10 Azione di un gruppo su di un anello. Teorema di Newton sulle funzioni simmetriche.

04-11 Discriminante di un polinomio. Definizione di gruppo di Galois. Esempi. Campi finiti di ordine p^n: esistenza.

11-11 Campi finiti di ordine p^n: unicità. Estensioni separabili. Il massimo comun divisore tra due polinomi in F[x] non cambia se si estende F. Campi perfetti. Ogni capo finito è perfetto.

18-11 Estensioni Normali. Se L è il campo di spezzamento di un polinomio separabile in K[X] allora |Gal(L/K)|=[L:K]. Condizioni equivalenti al fatto che un'estensione finita sia di Galois: prima parte.

25-11 Condizioni equivalenti al fatto che un'estensione finita sia di Galois. Esempio: il campo di spezzamento di x^3-2 su Q.

01-12 Campi coniugati. Sottogruppi normali corrispondono ad estensioni normali. L'estensione universale di grado n.

02-12 La corrispondenza di Galois. Se un'estensione è separabile c'è solo un numero finito di campi intermedi. Il problema di Galois. Ogni gruppo finito è il gruppo di Galois di qualche estensione.