Complementi di Algebra
Il corso è suddiviso in due parti:
Teoria di Galois (dott.ssa Morigi)
Algebra commutativa (prof.ssa Barnabei)
Orario lezioni: mercoledì ore 14-16 aula VII piano e giovedì ore 14-16 aula Vitali.
Le informazioni di seguito riportate si riferiscono alla parte di Teoria di Galois
Testi consigliati: J.S. Milne, “Fields and Galois Theory”, reperibile al link:
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html
Cox, Galois Theory
Lezioni:
23-09 Introduzione. Preliminari.
30-09 Lemma di Gauss. Criterio di Eisenstein. Polinomio ciclotomico per n primo. Relazione tra la fattorizzazione in Z[x] e quella in Zp[x]. Morfismo di valutazione. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo.
07-10 Estensioni algebriche. Estensioni finitamente generate.
14-10 Campi algebricamente chiusi. Estensioni di omonorfismi.
21-10 Campi di spezzamento: esistenza e unicità. Morfismo di Frobenius.
28-10 Azione di un gruppo su di un anello. Teorema di Newton sulle funzioni simmetriche.
04-11 Discriminante di un polinomio. Definizione di gruppo di Galois. Esempi. Campi finiti di ordine p^n: esistenza.
11-11 Campi finiti di ordine p^n: unicità. Estensioni separabili. Il massimo comun divisore tra due polinomi in F[x] non cambia se si estende F. Campi perfetti. Ogni capo finito è perfetto.
18-11 Estensioni Normali. Se L è il campo di spezzamento di un polinomio separabile in K[X] allora |Gal(L/K)|=[L:K]. Condizioni equivalenti al fatto che un'estensione finita sia di Galois: prima parte.
25-11 Condizioni equivalenti al fatto che un'estensione finita sia di Galois. Esempio: il campo di spezzamento di x^3-2 su Q.
01-12 Campi coniugati. Sottogruppi normali corrispondono ad estensioni normali. L'estensione universale di grado n.
02-12 La corrispondenza di Galois. Se un'estensione è separabile c'è solo un numero finito di campi intermedi. Il problema di Galois. Ogni gruppo finito è il gruppo di Galois di qualche estensione.