Complementi di Algebra

Il corso è suddiviso in due parti:

Teoria di Galois

Teoria dei moduli

Orario lezioni: lunedì e giovedì ore 14-16 aula VII piano.


Programma del corso


Il testo J.S. Milne, “Fields and Galois Theory”, è reperibile al link:

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html



Lezioni:


26-09 Introduzione. Preliminari.  Lemma di Gauss. Criterio di Eisenstein. Polinomio ciclotomico per n primo.

29-09 Relazione tra la fattorizzazione in Z[x] e quella in Fp[x]. Polinomi primitivi. Lemma di Gauss. Un polinomio irriducibile in Z[x] di grado positio è irriducibile anche in Q[x]. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo. Estensioni algebriche finitamente generate.

03-10 Proprietà degli elementi algebrici e delle estensioni algebriche. Esempio di una estensione algebrica che non ha grado finito. Estensioni di omomorfismi (Prop. 2.1 e 2.2 del Milne)

06-10 Campi di spezzamento: unicità (2.7 del Milne). Esempi. Azione di un gruppo su di un anello. Teorema di Newton sulle funzioni simmetriche (dal capitolo 2 del Cox).

10-10 Conseguenze del teorema di Newton. Il discriminante di un polinomio. Gruppo di Galois (cap 6 del Cox): definizione, proprietà (6.1.4, 6.3.1) ed alcuni esempi.

13-10 Il gruppo di Galois del polinomio ciclotomico per n primo è isomorfo al gruppo moltiplicativo di Zp. Il gruppo di Galois di un campo finito sul suo sottocampo fondamentale. Esempio di corrispondenza di Galois: il campo di spezzamento del polinomio x^4+x^3+x^2+x+1 su Q. La corrispondenza di Galois. Estensioni normali. Un campo di spezzamento è una estensione normale. (Paragrafo 5.2 del Cox)

17-10 Il massimo comun divisore tra due polinomi in F[x] non cambia se si estende F. (dal Milne). Polinomi separabili. Un polinomio irridicibile a coefficienti in un campo di caratteristica zero è saparabile. Campi perfetti e loro caratterizzazione (Milne). Ogni campo finito è perfetto.Teorema dell'elemento primitivo (solo enunciato). Esempio di una estensione che non ammette elemento primitivo (5.4.4 Cox)

20-10 Estensioni di Galois (Prop 6.2,1, 7.1.1, 7.1.3, esempio 7.1.4 del Cox).

24-10 Una estensione finita è di Galois se e solo se l'ordine del gruppo di Galois è uguale al grado dell'estensione (7.1.5 del Cox). Sottogruppi normali ed estensioni normali. Esempio: il campo di spezzamento di x^3-2.

27-10 La corrispondenza di Galois. Esempi di corrispondenza di Galois: i campi di spezzamento dei polinomi x^4-10x^2+1, x^4-4x^2+2.

27-10 Esempi: i campi di spezzamento dei polinomi x^8-2, x^5-6x+3 (Cox p.138). Se un'estensione è finita e separabile c'è solo un numero finito di campi intermedi. Esempio di un'estensione che non ammette elemento primitivo e con un numero infinito di campi intermedi. Il poligono con 17 lati è costruibile con riga e compasso (cenni). Il teorema di Galois sulla risolubilità per radicali (cenni).

07-11 Discriminante di un polinomio. Gal(f) è un sottogruppo del gruppo alterno se e solo se il discriminante è un quadrato. Il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile di grado 3. L'estensione universale di grado n. Ogni gruppo finito è isomorfo al gruppo di Galois di qualche estensione.

10-11 Domini a fattorizzazione unica. Ogni dominio a ideali principali è un dominio a fattorizzazione unica. Gli irriducibili di Z[x]. Z[x] è un dominio a fattorizzazione unica.

14-11 Domini euclidei. Z[i] è un dominio euclideo. Definizione di R-modulo, sottomodulo, morfismo di moduli, quoziente di moduli. Moduli liberi, generatori di un modulo, elementi indipendenti. Se un modulo ha una base di cartinalità n allora è un modulo libero di rango n. Matrici nxn a coefficienti in un anello.

17-11 Teorema di permanenza delle identità. Matrici invertibili. Matrici elementari. Teorema di equicardinalità delle basi.

21-11 Teorema di diagonalizzazione delle matrici ad elementi interi. Esempi. Estensione al caso degli anelli euclidei. Conseguenze.

24-11 Moduli finitamente generati. Moduli e anelli noetheriani e teoremi relativi. Esempi. Un modulo finitamente generato su un anello noetheriano è noetheriano.

28-11 Teorema della base di Hilbert e conseguenze. Matrice di presentazione. Esempi.

30-11 Teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati. Generalizzazione ai domini euclidei. Seconda versione del teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati e relativa generalizzazione ai domini euclidei. Esempi.

1-12 Algebre su un campo. Polinomio minimo. Corrispondenza tra gli spazi vettoriali su di un campo K con un operatore lineare e i K[x]-moduli.
12-12 La forma canonica razionale di una matrice e la forma canonica di Jordan. Il teorema di Hamilton-Cayley (il file è su amscampus).
13-12 Esempio: il prodotto tensoriale di due spazi vettoriali. Forme R-bilineari. Prodotto tensoriale di R-moduli: esistenza e proprietà universale.

14-12 Unicità del prodotto tensoriale tra moduli. Prodotto tensdoriale tra Z_n e Z_m. Isomorfismi di prodotti tensoriali.