Complementi di Algebra
Il corso è suddiviso in due parti:
Teoria di Galois
Teoria dei moduli
Orario lezioni: lunedì ore 14-15, mercoledì ore 14-15 e giovedì ore 14-16 aula VII piano.
Il testo J.S. Milne, “Fields and Galois Theory”, è reperibile al link:
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html
Lezioni:
25-09 Introduzione. Preliminari. (1 ora)
27-09 Azione di un gruppo su di un anello. Teorema di Newton sulle funzioni simmetriche (dal capitolo 2 del Cox). Conseguenze del teorema di Newton. (2 ore)
28-09 Il discriminante di un polinomio. Gruppi di Galois. Esempio.Il gruppo di Galois del polinomio ciclotomico per p primo è isomorfo al gruppo moltiplicativo di Zp. (2 ore)
05-10 Altri esempi sul gruppo di Galois. Il gruppo di Galois di un campo finito sul suo sottocampo fondamentale. Il gruppo di Galois del polinomio x^2-10x+1. Esempio di corrispondenza di Galois: il campo di spezzamento del polinomio x^4+x^3+x^2+x+1 su Q. (2 ore)
09-10 Estensioni normali. Un campo di spezzamento è una estensione normale. (Paragrafo 5.2 del Cox). Polinomi separabili. (1 ora)
12-10 Il massimo comun divisore tra due polinomi in F[x] non cambia se si estende F. (dal Milne). Polinomi separabili. Un polinomio irridicibile a coefficienti in un campo di caratteristica zero è saparabile. Campi perfetti e loro caratterizzazione (Milne). Ogni campo finito è perfetto.Teorema dell'elemento primitivo (Teorema 5.4.1 del Cox). (2 ore)
16-10 Esempio di un'estensione che non ammette elemento primitivo (esempio 5.4.4 del Cox). (1 ora)
18-10 Estensioni di Galois (Prop 6.2.1, e parte della Prop 7.1.1del Cox). (1 ora).
19-10 Estensioni di Galois (7.1.1, 7.1.3, 7.1.5, 7.17 (a), 7.1.6 del Cox). Sottogruppi normali ed estensioni normali. (2 ore)
23-10 Sottogruppi normali ed estensioni normali: continuazione (7.2.5, 7.2.6, 7.2.7 del Cox). Corrispondenza di Galois (1 ora)
25-10 Esempio di corrispondenza di Galois: il campo di spezzamento di x^3-2. Se un'estensione è finita e separabile c'è solo un numero finito di campi intermedi. (1 ora)
26-10 Esempio di un'estensione finita con un numero infinito di campi intermedi. Il campo di spezzamento dei polinomio x^8-2. Il gruppo di Galois di un polinomio separabile di grado n è isomorfo ad un sottogruppo di Sn. L'estensione universale di grado n. (2 ore).
30-10 Ogni gruppo finito è isomorfo al gruppo di Galois di qualòche estensione. Il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile di grado 3. (1 ora)
31-10 Discriminante di un polinomio. Gal(f) è un sottogruppo del gruppo alterno se e solo se il discriminante è un quadrato. Costruzioni con riga e compasso (dal Milne, pag 14-15). (2 ore)
02-11 Teorema 10.1.12 del Cox (cenni) sui numeri costruibili con riga e compasso. Il polinomio x^5-6x+3 ha gruppo di Galois isomorfo a S5 (pagina 138 del Cox e dispense di Conrad su AMS campus). (2 ore)
06-11 Se L è il campo di spezzamento su Q del polinomio x^n-1 allora Gal (L/Q) è un gruppo commutativo. Traccia della dimostrazione del seguente Teorema: Sia f un polinomio in Q[x] risolubile per radicali. Allora Gal(f) è risolubile. (Milne p.60) (1 ora)
08-11 Definizione di R-modulo, sottomodulo, generatori di un modulo, elementi indipendenti. (1 ora)
09-11 Morfismo di moduli, quoziente di moduli. Prodotto diretto e somma diretta (esterna) di una famiglia di moduli. Somma diretta (interna) di una famiglia di sottomoduli. Moduli liberi. Un modulo è libero se e solo se ha una base. Principio di permanenza delle identità (introduzione). (2 ore)
13-11 Principio di permanenza delle identità. (1 ora)
15-11 Morfismi tra moduli e matrici associate. Cambio di base in moduli liberi. Teorema di equicardinalità delle basi. (1 ora)
16-11 Teorema di diagonalizzazione delle matrici ad elementi interi. Esempi. Estensione al caso degli anelli euclidei. Conseguenze. (2 ore)
20-11 Sottomoduli degli Z-moduli liberi finitamente generati. (1 ora)
22-11 Moduli e anelli Noetheriani. (1 ora)
23-11 Un modulo finitamente generato su un anello noetheriano è noetheriano. Il teorema della base di Hilbert. Definizione di matrice di presentazione. (2 ore)
24-11 Esempi di matrici di presentazione. Teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati (prima parte). (2 ore)
29-11 Teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati (ultima parte). (1 ora)
30-11 Teorema di struttura dei moduli finitamente generati sui domini a ideali principali. Algebre su un campo. Polinomio minimo. (2 ore)
06-12 Elementi invertibili in un'algebra finitamente generata. Teorema di Hamilton-Cayley. (1 ora)
07-12 Corrispondenza tra gli spazi vettoriali su di un campo K con un operatore lineare e i K[x]-moduli. Forme canoniche di matrici: forma razionale, forma a blocchi di Jordan. (2 ore)
12-12 Esempio: il prodotto tensoriale di due spazi vettoriali. Forme R-bilineari. Prodotto tensoriale di R-moduli: esistenza, unicità e proprietà universale. Generatori del prodotto tensoriale. Prodotto tensoriale tra Z_n e Z_m. (3 ore)
13-12 Generatori del prodotto tensoriale, prodotto tensoriale di moduli liberi. Se M è un modulo finitamente generato non nullo, il prodotto tensoriale di M con se stesso è non nullo, proprietà dei prodotti tensoriali. (2 ore)