Lezioni Svolte
(prof.ssa Morigi)
Data: 23-2. Sistemi lineari. Matrice completa e incompleta associata ad un sistema lineare. Prodotto di matrici. Matrici a scala. (3 ore)
Data: 26-2. L'algoritmo di Gauss. Sistemi lineari dipendenti da un parametro. (3 ore)
Data: 1-3. Spazi vettoriali. Sottospazi (3 ore).
Data: 4-3. Combinazioni lineari. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Esempi ed esercizi. (3 ore)
Data: 8-3. Vettori linearmente indipendenti. Esempi ed esercizi. (3 ore)
Data: 11-3. Esercizi. Base: definizioni ed esempi. Teorema del completamento (solo enunciato). Dimensione di uno spazio vettoriale. (3 ore)
Data: 15-3. Basi canoniche di alcuni spazi vettoriali. Condizioni equivalenti al fatto che n vettori costituiscano una base di uno spazio vettoriale di dimensione n. Esempi ed esercizi. Coordinate di un vettore rispetto ad una base data. (3 ore)
Data: 22-3. L'algoritmo di Gauss come metodo diretto per la soluzione di alcuni esercizi. Esempi. (3 ore)
Data: 4-4. Applicazioni lineari: definizione ed esempi. Terorema sull'esistenza e unicità di applicazioni lineari. I tre modi per assegnare un'applicazione lineare. Funzioni: dominio, codominio, immagine, iniettività e suriettività, funzioni biunivoca, funzione inversa. La composta di due applicazioni linesri è ancora lineare (senza dimostrazione), matrice associata alla composta (senza dimostrazione). Nucleo di una applicazione lineare. Il nucleo è un sottospazio del dominio. (3 ore)
Data: 12-4. Iniettività e suriettività. Calcolo di nucleo e immagine. Il teorema della dimensione e sue conseguenze. Esempi. (3 ore)
Data: 15-4. Applicazioni lineari iniettive mandano vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti. Isomorfismi di spazi vettoriali. La dimensione del nucleo di una applicazione lineare L_A: R^n → R^m è pari a n – rr(A). Esercizi su nucleo, immagine, applicazioni lineari. Controimmagine di un vettore tramite un'applicazione lineare. Il rango righe di una matrice è uguale al rango colonne.
Data: 19-4. Il teorema di Rouché – Capelli (dimostrata solo la prima parte). Esercizi. Determinante: definizione e proprietà. Calcolo del teterminante con l'algoritmo di Gauss. Regole di calcolo del determinante di matrici di ordine 2 e 3 (regola di Sarrus). Il metodo di La place per il calcolo del teterminante. Matrici invertibili e applicazioni lineari invertibili. Esercizi. Nota: del capitolo 6 non sono statri svolti: 6.1.3, 6.1.4, 6.2.7, 6.2.11, 6.3.3. Si consigliano solamente gli esercizi: 6.41, 6.4.2, 6.4.3.
Data: 12-4. Il teorema di Binet. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Applicazioni lineari da R^n a R^n. Esercizi (3 ore).
Data: 26-4. Matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a basi fissate (nel dominio e nel codominio). Esempi. Matrice associata all'identità di R^n. Formula del cambio di base per la matrice associata ad una applicazione lineare. Legame tra il cambio di base e il calcolo delle coordinate di un vettore rispetto ad una base. Esercizi. (3 ore)
Data: 29-4. Applicazioni lineari e matrici diagonalizzabili. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico di una matrice. Matrici simili. Ricerca di autovettori e autovalori di una matrice. Iniettività e autovalore nullo (3 ore).
Data: 3-5. Molteplicità algebrica e geometrica. Una applicazione lineare F:R^n->R^n con n autovalori distinti è diagonalizzabile. Esempi ed esercizi sulla diagonalizzabilità di matrici. (3 ore). Nota: non sono state fatte le dimostrazioni di 9.2.8, 9.2.13, 9.2.18, 9.2.20.
Data: 6-5. Principio di induzione. Divisione tra interi. Algoritmo Euclideo per la ricerca del massimo comun divisore. Identità di Bézout. Congruenza modulo n. L'anello Z_n delle classi resto modulo n. (3 ore)
Data: 10-5. Se p è primo, ogni elemento non nullo di Z_p è invertibile. Soluzione di equazioni in Z_p, con p primo. Esistenza di soluzioni di equazioni lineari in Z_n (solo enunciato). Soluzione di congruenze in Z. Esempi. Calcolo combinatorio: principio fondamentale, permutazioni, permutazioni cicliche, disposizioni con ripetizione, disposizioni semplici. Esempi. (3 ore)
Data: 13-5. Combinazioni semplici e con ripetizione. Proprietà del coefficiente binomiale (formila di Stifel, con dimostrazione). Sviluppo di un binomio. Esercizi. (3 ore)
Data: 17-5. Esercizi di riepilogo. (3 ore)