Lezioni Svolte
(prof.ssa Morigi)
Data: 28-2. Sistemi lineari. Matrice completa e incompleta associata ad un sistema lineare. Soluzione di sistemi lineari la cui marice è a scala. (3 ore)
Data: 1-3. Algoritmo di Gauss. Sistemi lineari dipendenti da un parametro (2 ore).
Data: 7-3. Sistemi lineari dipendenti da un parametro. Spazi vettoriali: definizione ed esempi. (3 ore).
Data: 8-3. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Esempi ed esercizi. Combinazioni lineari. Sottospazio generato da un insieme di vettori. (3 ore).
Data: 14-3. Sottospazio generato da un insieme di vettori: Prop 3.1.5, esempi ed esercizi. Vettori linearmente indipendenti, esempi ed esercizi. Prop 3.2.4 (3 ore)
Data: 15-3. Prop. 3.1.8, 3.2.5, 3.2.8. Osservazione sui vettori linearmente indipendenti. Spazi vettoriali finitamente generati. Esempi e controesempi (4.1.7). Base di uno spazio vettoriale. Basi canoniche. Prop. 4.1.2, 4.1.6. Esempio. (3 ore)
Data: 21-3. Teorema del completamento (solo enunciato), Prop 4.1.4 (dimostrato solo il punto 2), 4.2.2, 4.2.4, 4.2.6, 4.2.8 (coordinate di un vettore rispetto ad una base). Esempi ed sercizi. (3 ore)
Data: 22-3. L'algoritmo di Gauss come metodo diretto per la soluzione di alcuni esercizi. (3 ore).
Data: 4-4. Esercizi di ricapitolazione (1 ora).
Data: 5-4. Applicazioni lineari: definizione ed esempi. Terorema sull'esistenza e unicità di applicazioni lineari. Prodotto righe per colonne di matrici e sue proprietà. I tre modi per assegnare un'applicazione lineare. Funzioni: dominio, codominio, immagine, iniettività e suriettività. Nucleo di una applicazione lineare. Il nucleo è un sottospazio del dominio. (3 ore)
Data: 11-4. Funzione biunivoca, funzione inversa. La composta di due applicazioni lineari è ancora lineare (senza dimostrazione), matrice associata alla composta (senza dimostrazione). Proposizioni 5.4.4 e 5.4.8. Calcolo del nucleo e dell’immagine. La dimensione del nucleo di una applicazione lineare L_A: R^n → R^m è pari a n – rr(A) (senza dimostrazione). Il teorema della dimensione (3 ore).
Data: 12-4. Conseguenze del teorema della dimensione (Prop. 5.5.2). Isomorfismo di spazi vettoriali. Teorema 5.6.3. Esercizi sulle applicazioni lineari. (3 ore)
Data: 18-4. Controimmagine di un vettore tramite un'applicazione lineare. Prop. 6.1.4. Il rango righe di una matrice è uguale al rango colonne (Pro. 6.2.3). Il teorema di Rouché – Capelli (dimostrata solo la prima parte). Esercizi. Determinante: definizione e proprietà. Calcolo del teterminante con l'algoritmo di Gauss. Regole di calcolo del determinante di matrici di ordine 2 e 3 (regola di Sarrus). (3 ore).
Data: 19-4. Il metodo di La place per il calcolo del teterminante. Matrici invertibili e applicazioni lineari invertibili. Esercizi. Il teorema di Binet. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Applicazioni lineari da R^n a R^n. Esercizi. (3 ore) Nota: del capitolo 6 non sono stati svolti: 6.1.3, 6.2.8, 6.2.11, 6.3.3. Si consigliano solamente gli esercizi: 6.41, 6.4.2, 6.4.3.
Data: 26-4. Matrice associata ad una applicazione lineare rispetto a basi fissate (nel dominio e nel codominio). Esempi. Matrice associata all'identità di R^n. Formula del cambio di base per la matrice associata ad una applicazione lineare. Legame tra il cambio di base e il calcolo delle coordinate di un vettore rispetto ad una base. Esercizi. (3 ore).
Data: 2-5. Applicazioni lineari e matrici diagonalizzabili. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico di una matrice. Matrici simili (esclusa la dimostrazione di 9.2.8).
Cenni al lavoro: The $25,000,000,000 Eigenvector: The Linear Algebra behind Google (3 ore).
Data: 3-5. Proposizione 9.2.3 sulla diagonalizzabilità di applicazioni lineari. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica. Una applicazione lineare F:R^n->R^n con n autovalori distinti è diagonalizzabile. Esempi ed esercizi sulla diagonalizzabilità di matrici. (3 ore). Nota: non sono state fatte le dimostrazioni di 9.2.13, 9.2.18, 9.2.20.
Data: 9-5. Iniettività e autovalore nullo. Esercizi sulla diagonalizzabilità di matrici. Divisione tra interi. Algoritmo Euclideo per la ricerca del massimo comun divisore. Identità di Bézout. (3 ore)
Data: 10-5.Congruenza modulo n. L'anello Z_n delle classi resto modulo n. Se p è primo, ogni elemento non nullo di Z_p è invertibile. Soluzione di equazioni in Z_p, con p primo. Esistenza di soluzioni di equazioni lineari in Z_n (solo enunciato). Esistenza dell’inverso in Z_n. Soluzione di congruenze in Z. Esempi. (3 ore)