Matematica Computazionale

 

Zeri di Funzioni: Metodi numerici per la soluzione di equazioni non lineari. Buona e cattiva posizione del problema. Ordine di convergenza dei metodi. Metodi globali e metodi locali. Metodi a convergenza lineare: metodo di bisezione e varianti. Metodi di iterazione funzionale: Teoremi di convergenza globale e locale. Metodo di Newton e delle secanti. Sistemi di equazioni non lineari.  Esempi.

 

Integrazione numerica: Integrazione numerica di una funzione. Formule di quadratura. Deduzione delle formule di Newton-Cotes. Studio dell'errore di tali formule. Formule di Newton-Cotes composite: errore ed approssimazione numerica. Studio della scelta del passo di discretizzazione per ottenere una precisione prefissata. Formule adattive. Estensione delle formule di Newton-Cotes al caso 2D. Algoritmi ed esempi 

 

Autovalori e autovettori: Richiami relativi alle definizioni e proprietà degli autovalori ed autovettori di una matrice. Polinomio caratteristico e molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Teoremi di localizzazione di Gerschgorin. Indice di condizionamento spettrale e teorema di Bauer. Trasformazioni di similitudine. Teoremi di Schur e di Jordan.

Metodi Numerici per il calcolo degli autovalori. Metodo delle potenze per la determinazione dell' autovalore di modulo massimo di una matrice. Metodo QR per il calcolo degli autovalori e sue varianti.

Applicazioni all’Information Retrieval.

 

Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni e sparsi. Generalita' dei metodi di decomposizione. Metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza dei metodi iterativi. Condizioni solo sufficienti per la convergenza. Il problema del mal condizionamento e l'influenza sulla velocita’ di convergenza.

Metodi di discesa. Generalita’ e scelta del minimo lungo una direzione. Direzioni di discesa ammissibili e scelte particolari della direzione di discesa. Metodo del gradiente. Algoritmo. Metodo del gradiente coniugato. Algoritmo ottimizzato. Influenza del condizionamento sulla velocita’ di convergenza. Esigenza del precondizionatore. Metodo del gradiente coniugato precondizonato. Calcolo del precondizionatore. Vari possibili approcci. Algoritmo ed esempi.

 

 

Approssimazione di dati sperimentali: Criterio dei minimi quadrati. Soluzione del problema con il metodo delle equazioni normali: vantaggi e svantaggi. Considerazioni numeriche ed esempi.

Soluzione di un sistema sovradeterminato: approccio mediante il metodo dei minimi quadrati. Utilizzo della fattorizzazione QR di una matrice per determinare la soluzione del problema dei minimi quadrati. Stabilità della fattorizzazione QR. Caso di rango non massimo. Fattorizzazione SVD di una matrice e suo utilizzo per la soluzione del problema dei minimi quadrati. SVD troncata per migliorare il condizionamento del problema.

 

Soluzione di problemi mal posti: Soluzione di un’equazione integrale di Fredholm di prima specie.
Mal posizione del problema ed esigenza di regolarizzarne la soluzione. Metodo di Regolarizzazione di Tikhonov. Scelta del parametro di regolarizzazione: 1
) metodo del residuo; 2)metodo della cross-validation; 3) Metodo della L-curva.  Regolarizzazione mediante SVD troncata. Scelta del livello di troncamento. Equivalenza dei metodi di regolarizzazione.

 

 

Equazioni Differenziali: Il problema di Cauchy.  Teorema di esistenza e unicità della soluzione e di dipendenza continua dai dati. Metodi discreti ad un passo. Consistenza dello schema discreto. Definizione di errore locale di troncamento e definizione dell’ordine dello schema considerato. Convergenza e stabilità dello schema discreto. Teoremi relativi. Metodo di Eulero e metodi di Runge-Kutta di ordine superiore. Errore globale del metodo discreto. Influenza degli errori di arrotondamento sull’errore globale. Implementazione dei metodi ad un passo e stima numerica dell’errore locale di troncamento.

 

 

 

 

 

Laboratorio:  16 ore

Parte Integrante del Corso è costituita dalle esercitazioni guidate di laboratorio realizzate in ambiente  Matlab per il calcolo scientifico. Attività di laboratorio inerente ai temi teorici.

 

 

 

Materiale didattico: dispense fornite dal docente

 

Libri di Riferimento:

 

 

· A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer, 1998

 

· R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici, Zanichelli, 1992