Un progetto del Prof. Alberto Parmeggiani in collaborazione
con Linda Giampieretti, Lia Ciobanu, Prof. Gianni Brighetti e Mattia Nese.
Si distinguono 3 possibili percorsi:
- per gli studenti della scuola secondaria di secondo grado,
- per gli insegnanti e i tutor,
- per per gli studenti della scuola secondaria di primo grado.
Studenti scuola secondaria di secondo grado
In una prima fase verrà affrontato il delicato passaggio dalla seconda alla terza dimensione (dal piano
allo spazio), fornendo ai ragazzi opportuni strumenti che potranno essere usati in maniera concettuale per facilitare la comprensione del passaggio dalla terza alla quarta dimensione.
In particolare, verranno proposti esercizi mirati a cogliere le proprietà aggiuntive degli elementi dello
spazio rispetto a quelli del piano (usando la penna 3d). Infatti verrà costruito lo spazio 3D aggiungendo una dimensione (la profondità)
-vedi video-:
i punti diventano rette, le rette diventano piani e il piano 2D diventa lo spazio 3D.
Analogamente, si costruirà uno spazio 3D a partire da un piano con un buco, analizzando il comportamento di quest'ultimo nel passaggio.
Si tenterà così, di formare nei ragazzi un metodo di ragionamento che si pensa utile per poter comprendere la natura degli oggetti che vivono in 4 dimensioni
(visti per esempio come insieme di sezioni tridimensionali). Playlist video 3 e 4
-vedi video.
In un secondo momento si studieranno le superfici di rotazione. Si inizierà a riflettere su banali rotazioni di figure geometriche
piane limitate -vedi video- per poi passare alla rotazione di curve.
Si analizzeranno le costruzioni e le relative parametrizzazioni di alcune superfici: sfera, iperboloide a una e a due falde, paraboloide iperbolico e il toro.
Tali superfici verranno viste come rotazione di curve e, nel caso del iperboloide a una falda, anche come superficie rigata,
-vedi video.
Per facilitare la comprensione di alcune parametrizzazioni, faremo costruire ai ragazzi modellini con la penna 3D affinché possano visualizzare e comprendere
i parametri che descrivono la curva ed anche la superficie -vedi video1-
vedi video2.
Una volta che gli studenti sapranno descrivere la costruzione di queste superfici, si andrà a studiare la variazione della loro forma attraverso la nozione di
curvatura e più precisamente tramite le curvature principali, realizzate in termini dei corrispondenti cerchi osculatori sui piani delle sezioni normali.
Infine si visualizzeranno le curvature principali e la curvatura di Gauss attraverso un'animazione appositamente studiata. Questi concetti verranno usati per
comprendere i fenomeni quali:
il legame tra la riflessione della luce sulle superfici e la curvatura di queste;
deformazione prospettica (es. la Cappella Sistina);
deformazione di immagini proiettate su varie superfici (cilindrica, parabolica, sferica)
e mappa stereografica.
Insegnanti e tutor
Verranno trattati i seguenti argomenti: curvature, mappa di Gauss, superfici rigate e parametrizzazione di alcune superfici. Si coglierà l'occasione per suggerire alcune attività da poter
fare in classe come per esempio la costruzione delle forme attraverso la penna 3d; inoltre si forniranno materiali quali particolari video e animazioni
(-vedi video)
costruite con Octave (o Matlab) e Geogebra o già esistenti in rete.
Studenti scuola secondaria di primo grando
Si propone una versione del progetto ideale per gli studenti della classe terza.
In questa attività si affronteranno tutti gli argomenti base della geometria solida:
lo spazio 3d, i poliedri (prismi, piramidi, tronchi, poliedri regolari), i solidi di rotazione
e infine si spenderà un po' di tempo per progettare solidi a proprio piacimento componendo figure geometriche attraverso un software che
necessita della nozione di rotazione attorno ad un asse. La novità di questa attività è quella di poter utilizzare degli strumenti e software
come la penna 3D, il Leap Motion e 3DTin -vedi video.
In questa attività didattica proporremo uno studio profondo, dettagliato e divertente della geometria dello spazio. Grazie a quattro importanti
strumenti accuratamente selezionati si andranno a scoprire le caratteristiche dei principali poliedri regolari e non, e di superfici più complesse che si auto-intersecano. Tali strumenti sono:
Leap Motion,
3Doodler,
3D printer,
Libro Animato di geometria 3D (in corso di elaborazione).
Oltre a trasmettere le nozioni di base solitamente studiate a riguardo, cercheremo di sviluppare nei ragazzi la concezione spaziale e la capacità
di modellizzare lo spazio. Affronteremo dettagliatamente il concetto di curvatura di superfici di rotazione e rigate principalmente, anche tramite la visualizzazione della mappa di Gauss.
L'attività sarà di tipo laboratoriale, organizzata a gruppetti di 4 o 5 ragazzi. Prevediamo di svilupparla in una fase preliminare e 2 fasi successive.
FASE PRELIMINARE
I ragazzi cercheranno di capire il funzionamento di tutti gli strumenti che verranno utilizzati successivamente.
FASE 1
I ragazzi cercheranno di rispondere attivamente a delle consegne sfruttando la strumentazione fornita. L'attività sarà svolta in collaborazione con il gruppo,
che dovrà verificare, esplorare e scoprire proprietà, caratterizzazioni e nuove costruzioni di superfici. Questa fase, a sua volta, si suddividerà in 4 sottofasi:
FASE 1A -vedi video-
LO SPAZIO
Strumenti: fogli di carta, riga, matita, squadra, 3Doodler.
Verranno costruiti lo spazio a tre dimensioni e i suoi enti geometrici principali aggiungendo la profondità agli elementi del piano.
FASE 1B -vedi video-
POLIEDRI
Strumenti: Leap Motion con Geometry 3D e 3Doodler.
Verranno visualizzati in 3D solidi in movimento in uno spazio gestibile dalle stesse mani del ragazzo, grazie al Leap Motion e a una sua applicazione Geometry 3D.
Sarà possibile colorarne le facce, i vertici e gli spigoli e visualizzarne la struttura aperta in 2D. A questo punto i ragazzi costruiranno modelli 3D di solidi,
quanto più simiil a quelli osservati nel mondo di Geometry 3D, con le proprie mani e la penna 3Doodler.
FASE 1C -vedi video-
SUPERFICI DI ROTAZIONE
Strumenti: Leap Motion con Geometry 3D e ZPots.
Verrà introdotto il concetto di superficie di rotazione grazie al Leap Motion e una sua applicazione ZPots, in cui i ragazzi si divertiranno a creare virtualmente,
ma sempre con il comando delle proprie mani, vasi in ceramica. Verranno successivamente scoperti alcuni dei solidi di rotazione presenti su Geometry 3D.
FASE 1D -vedi video-
SUPERFICI PARTICOLARI E NOTEVOLI
Strumenti: Leap Motion con MathArt, FreeForm, 3dtin e 3D printer.
Verranno presentate famose superfici aventi nodi, autointersezioni e particolari torsioni. I ragazzi potranno creare alcune superfici a loro piacimento con FreeForm,
un'applicazione in cui si può modellare una superficie e 3dtin, un programma in cui si assemblano varie superfici geometriche per creare qualsiasi forma. Tali oggetti
saranno immediatamente stampati per poterli facilmente studiare e analizzare.
FASE 2
I vari gruppi discuteranno tra loro e con l'insegnante delle difficoltà riscontrate, le proprietà scoperte e gli oggetti realizzati.
Qui l'insegnante, orchestrando la discussione, farà un riassunto dei concetti appresi e li riproporrà secondo il linguaggio formale e matematico adeguato.
I prerequisiti necessari a questo progetto sono minimi : figure geometriche piane, poligoni, angoli, segmenti. In caso di necessità,
si riusciranno a colmare i prerequisiti mancanti durante l'attività stessa, che essendo molto improntata sulla visualizzazione concreta si presta bene a una qualsiasi preparazione di base.