Equazioni alle derivate parziali

[A.A. 2006/07]

 

Il corso contiene un'introduzione alla teoria delle equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico-parabolico a partire da alcuni classici modelli cinetici della fisica e dalla teoria dei processi stocastici. I prerequisiti sono i corsi istituzionali di analisi matematica, in particolare il calcolo differenziale multidimensionale e la teoria dell'integrale di Lebesgue.

Programma svolto

Data Aula Dalle ore Alle ore Argomento trattato
3/10/2006 Vitali 14 16 Generalità sulle equazioni alle derivate parziali del second'ordine lineari. Spazi di probabilità, variabili aleatorie e distribuzioni. Esempi: distribuzione uniforme, esponenziale, normale, Delta di Dirac.
5/10/2006 Vitali 14 16 Elementi di teoria della misura astratta. Valore atteso e varianza. Indipendenza di variabili aleatorie. Il problema di Cauchy per equazioni paraboliche a coefficienti costanti. Richiami sulla trasformata di Fourier.
10/10/2006 Vitali 14 16 Soluzione fondamentale per equazioni paraboliche a coefficienti costanti. Operatore aggiunto. Problema retrogrado.
12/10/2006 Vitali 14 16 Distribuzione multinormale. Funzione caratteristica di una variabile aleatoria. Problema di Cauchy-Dirichlet: principio del massimo.
17/10/2006 Vitali 14 16 Risultati di unicità per il problema di Cauchy per equazioni paraboliche. Principio del massimo parabolico.
19/10/2006 Vitali 14 16 Soluzioni non-negative di equazioni paraboliche: il Teorema di Widder. Problema non-omogeneo e dato iniziale localmente sommabile. Misure assolutamente continue e Teorema di Radon-Nikodym. Attesa condizionata.
24/10/2006 Vitali 14 16 Proprietà dell'attesa condizionata. Attesa condizionata nello spazio L^2. Processi stocastici discreti. Martingale discrete.
26/10/2006 Vitali 14 16 Disuguaglianza massimale di Doob. Processi stocastici e filtrazioni a tempo continuo. Moto Browniano reale.
31/10/2006 Vitali 14 16 Misura prodotto e distribuzione congiunta di variabili indipendenti. Proprietà di Markov del moto Browniano e relazione con il problema di Cauchy parabolico: densità di transizione e soluzione fondamentale. Distribuzione di un processo stocastico continuo.
7/11/2006 Vitali 14 16 Realizzazione canonica di un processo continuo. Processi equivalenti, modificazioni, indistinguibili. Legge dei grandi numeri. Metodo Monte Carlo per il calcolo di integrali e della soluzione di un problema di Cauchy parabolico: stima dell'errore.
9/11/2006 Vitali 14 16 Martingale a tempo continuo: esempi, martingale Browniane. Disuguaglianza massimale di Doob e spazi di martingale continue. Ipotesi usuali sulla filtrazione. Generalità sui tempi d'arresto.
14/11/2006 Vitali 14 16 Tempo di entrata di un processo continuo. Processo arrestato. Funzioni a variazione (prima e seconda) limitata. Variazione quadratica del moto Browniano.
16/11/2006 Vitali 14 16 Integrale di Riemann-Stieltjes e formula di Ito deterministica. Introduzione all'integrazione stocastica. Processi semplici adattati.
21/11/2006 Vitali 14 16 Integrale stocastico di processi di quadrato sommabile: isometria di Ito, proprietà di martingala e disuguaglianza di Doob.
23/11/2006 Vitali 14 16 Variazione quadratica e Teorema di Doob-Meyer. Formula di Ito per il moto Browniano uno-dimensionale: esempi.
28/11/2006 Vitali 14 16 Integrale stocastico e tempi d'arresto. Martingale locali. Processi di Ito e versione generale della formula di Ito.
30/11/2006 Vitali 14 16 Calcolo stocastico multidimensionale: moto Browniano e formula di Ito. Martingala esponenziale. Caratterizzazione di Lévy del moto Browniano.
5/12/2006 Vitali 14 16 Equazioni differenziali stocastiche: teoremi di esistenza e unicità forte. Cenni alla nozione di soluzione debole e all'unicità in senso debole: esempio di Tanaka.
7/12/2006 Vitali 14 16 Metodo di Eulero per la soluzione numerica di equazioni differenziali stocastiche. Tempo di uscita di una diffusione da un dominio limitato e equazioni ellittico-paraboliche. Formula di rappresentazione di Feynman. Esempi: 1) il metodo delle caratteristiche per equazioni alle derivate parziali del prim'ordine; 2) problema di Dirichlet per l'operatore di Laplace: il nucleo di Poisson; 3) problema di Dirichlet per equazioni ellittico-paraboliche: misura armonica e frontiera regolare.
12/12/2006 Vitali 14 16 Unicità e metodi numerici per il problema di Dirichlet per equazioni ellittico-paraboliche.
14/12/2006 Vitali 14 16 Formula di rappresentazione di Feynman-Kac per i problemi di Cauchy-Dirichlet e Cauchy relativi a equazioni paraboliche degeneri. Soluzione fondamentale e densità di transizione della diffusione associata. Equazioni differenziali stocastiche lineari: media e matrice di covarianza della soluzione.
19/12/2006 Vitali 14 16 Esempi: equazione di Langevin ed operatori parabolici degeneri di Kolmogorov, soluzione fondamentale. Non degenerazione della matrice di covarianza e controllabilità per sistemi di equazioni ordinarie. Condizione di Kalman sul rango.

Orario di lezione

Martedì e Giovedì dalle 14 alle 16 in aula Vitali.

Prove d'esame

Si basa su di un esame orale articolato in alcune domande (di cui almeno una a scelta dello studente) sul programma svolto.

Ricevimento: su appuntamento da fissare per posta elettronica.

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