Corso di Logica Matematica
(Laurea Triennale in Matematica)
A.A. 2010-11

Prerequisiti

Matematica a livello preuniversitario e conoscenza delle più comuni procedure dimostrative in matematica

0. Introduzione.

Alcuni termini fondamentali. Logica matematica, simbolica, formale. Sintassi, semantica; linguaggio oggetto, metalinguaggio. Ragionamenti (formalmente) corretti.

1. Calcolo dei predicati (CdP).

1.1 Sintassi: alfabeto, variabili, quantificazione; fbf, variabili libere o vincolate, enunciati. Semantica: interpretazioni, soddisfacibilità, verità, validità logica. Modelli.
1.2 Enunciati e logica proposizionale: funzioni e tavole di verità. Tautologie. Forme normali e adeguatezza. Derivazioni: presentazione assiomatica (a. di Hilbert-Ackermann), deduzione naturale.
1.3 Estensione al CdP: regole di inferenza e derivazioni, teorie, assiomi, teoremi. Deduzione naturale: regole per la quantificazione.
Effettività (cenni). Teorema del modello. Teoremi di correttezza e completezza (Gödel); compattezza e modelli non standard.

2. Cenni su due teorie matematiche fondamentali.

2.1 L'aritmetica formale (PA): confronto con gli assiomi originali di Peano. Ricorsività e cenno all'incompletezza di PA (primo teorema di Gödel).
2.2 La teoria intuitiva degli insiemi, i suoi paradossi e la teoria formale di Zermelo-Fraenkel.

Riferimenti bibliografici

E. Mendelson, Introduzione alla Logica Matematica, Boringhieri Ed.
G. Lolli, Introduzione alla logica formale, Il Mulino Ed.

Caratteristiche del corso

Il corso espone gli elementi di logica matematica utili in connessione con le esigenze dello studio dei fondamenti della matematica. Per tutti gli argomenti trattati, si è messo in risalto, oltre che l'aspetto tecnico, il risvolto più ampiamente culturale.
L'esame consiste in una prova orale.