Corso di Princìpi della Matematica
(Laurea Magistrale in Matematica)
A.A. 2010-11

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Prerequisiti

Conoscenze di base della logica matematica.

Introduzione: sistemi di numerazione.

1.1 Sistemi di numerazione nella storia, sistemi posizionali per i numeri naturali, sistemi posizionali per numeri reali.
1.2 Rappresentazioni posizionali astratte in R e in C, relazioni coi frattali (cenni).
1.3 Importanza dei sistemi di rappresentazione nei fondamenti: la macchina di Turing, le dimostrazioni di Cantor.

2. Computabilità, aritmetica e teoremi di incompletezza.

2.1 Computabilità intuitiva e ricorsività. Funzioni ricorsive primitive, esempi di Ackermann e µ-ricorsività. Tesi di Church-Turing.
2.2 L'aritmetica di Peano e PA. Ricorsività ed aritmetica: la gödelizzazione.
2.3 Teoremi di incompletezza di Gödel e loro principali conseguenze.

3. Teoria assiomatica degli insiemi.

3.1 Cenni di storia della teoria degli insiemi: la teoria intuitiva ed i paradossi (Cantor, Russell).
3.2 La teoria assiomatica: gli assiomi di ZF. Assiomi speciali: scelta, fondazione, 'ipotesi' del continuo.
3.3 Numeri ordinali e cardinali secondo von Neumann.
3.4 Teorie alternative: NBG ed il concetto di classe; insiemi non ben fondati, teorie nonstandard.


Riferimenti bibliografici

E. Mendelson, Introduzione alla Logica Matematica, Boringhieri Ed.
G. Lolli, Introduzione alla logica formale, Il Mulino Ed.


Caratteristiche del corso

Il corso espone alcuni argomenti particolarmente significativi per affrontare la problematica dei Fondamenti della matematica.
Preliminarmente viene trattato l'argomento elementare, ma utile per lo sviluppo del discorso, dei sistemi di numerazione, con alcuni suoi sviluppi moderni.
Per tutti gli argomenti trattati, si è messo in risalto, oltre che l'aspetto tecnico, il risvolto più ampiamente culturale.
L'esame consiste in una prova orale.
Sono disponibili appunti per le varie parti del corso. In formato pdf si possono ottenere dispense sulla teoria assiomatica degli insiemi (con una appendice di approfondimento su numeri cardinali e ordinali), e su ricorsività e teoremi di incompletezza.