Metodi Avanzati di Analisi Numerica
Docenti: Michele Ruggeri (m.ruggeri@unibo.it) e Valeria Simoncini (valeria.simoncini@unibo.it)

Le equazioni alle derivate parziali (PDEs) sono il linguaggio con cui vengono rappresentati mediante modelli matematici molti fenomeni continui, quali la diffusione, le onde, l'elasticità, i fluidi, ecc. Ma per passare dalla formulazione matematica ad una simulazione numerica, servono strumenti rigorosi che uniscano analisi funzionale, approssimazione e algebra lineare numerica. Questo corso si concentra sui fondamenti teorici dell'analisi numerica di PDEs: dalla formulazione variazionale ai metodi agli elementi finiti, dallo studio degli spazi di Sobolev all'analisi dell'errore, dalla rappresentazione del problema discreto alla affidabilità teorica e computazionale nella risoluzione del problema algebrico associato. Il corso è pensato per studenti interessati a una comprensione teorica e strutturata dei metodi numerici per PDEs, con l'obiettivo di fornire solide basi in argomenti rilevanti e all'avanguardia nell'ambito della matematica applicata.

a.a. 2025-2026. Corso opzionale della Laurea Magistrale in Matematica - Bologna


6 crediti (5cfu frontali, 40h; 1cfu lab, 15h)
Lezioni: I semestre


Orari del Corso (inizio lezioni: xx/09/2025 )

martedi 9:00-11:00
giovedi 11:00-13:00


Eventuali variazioni di orario saranno segnalate in fondo alla pagina.

Orario di Ricevimento Studenti

su appuntamento.

Programma

I docenti prevedono l'alternanza di lezioni delle due Parti 1 e 2, in modo da sincronizzare i contenuti.

Parte 1: Metodi di discretizzazione di equazioni differenziali. Docente: Prof. M. Ruggeri


* Problemi differenziali con valori al contorno :
- richiami di PDEs ellittiche (problema di Poisson e sue minime generalizzazioni),
- richiami di analisi funzionale (spazi di Sobolev, Lax Milgram, ...) finalizzati alla formulazione variazionale di problemi ellittici,
- teoria dell'approssimazione in spazi di Sobolev: Lemma di Deny-Lions e Lemma di Bramble-Hilbert,
- interpolazione di Lagrange ed errore di interpolazione in spazi di Sobolev,
- metodo di Galerkin per problemi ellittici e stime dell'errore: Lemma di Céa,
- formulazione mista di problemi ellittici e sua discretizzazione di Galerkin.

Parte 2: Algebra Lineare Numerica. Docente: Prof. V. Simoncini


* Metodi iterativi per sistemi lineari di grandi dimensioni
- Spazi di Krylov e generalità sui metodi di tipo proiettivo;
- CG, MINRES, GMRES: derivazione algoritmica e proprietà di convergenza con dipendenza dalla discretizzazione;
* Metodi di accelerazione
- Strategie di preconditionamento: fattorizzazioni incomplete, Algebraic Multigrid (AMG), operator preconditioning;
- Varianti inesatte e strategie di Sketching (randomized NLA);
* Appendice
- Equazioni matriciali per Equazioni differenziali;




Dettaglio

( Registro delle lezioni completo del corso per l'a.a. 202x-202x, 55 ore.)

Il corso prevede 55 ore. L'attività didattica alternerà lezioni frontali (con lucidi/tavoletta grafica/lavagna) da parte di entrambi i docenti, con applicazioni immediate al computer in ambiente Matlab con supervisione del docente, in cui gli studenti saranno incoraggiati ad implementare quanto appena visto a lezione.

Prerequisiti:

Concetti fondamentali acquisiti durante i corsi di analisi matematica e calcolo numerico della laurea triennale, Conoscenze di PDEs e di analisi funzionale sono utili, ma quello che serve verrà fornito dal corso.
Conoscenze dell'ambiente computazionale Matlab.


Testi di Consultazione:

- "Iterative methods for sparse linear systems", Y. Saad, SIAM 2003 (2nd edition), libro online
- "Recent computational developments in Krylov subspace methods for linear systems", Valeria Simoncini and Daniel B. Szyld, Num. Linear Algebra w/Appl, v. 14, n.1 (2007), pp.1-59. (2007). articolo (versione degli autori)
- "Mixed Finite Element Methods and Applications", Daniele Boffi, Franco Brezzi, Michel Fortin: Springer, 2013 libro Springer
- "Mathematical Theory of Finite Elements", Leszek F. Demkowicz, SIAM, 2023 libro SIAM
- "Numerical Approximation of Partial Differential Equations", Alfio Quarteroni, Alberto Valli: Springer, 1994 libro Springer
- Finite difference and Spectral Methods for ordinary and partial differential equations, N. Trefethen.
- "An analysis of the Finite Element Method", G. Strang, G. J. Fix, Prentice-Hall Inc, 1973
- Altre refs e materiale di studio verranno aggiunti durante il corso.

Materiale del corso :


- Appunti delle lezioni su Virtuale
- Appunti: Autovalori di matrice di rigidezza e di massa.
- Lucidi: Precondizionamento

Esercitazioni pratiche:


Esercitazione dell'11/11/2025: Testo , mmread.m , tols2000.mtx , ellipt.mat .
Esercitazione dell'25/11/2025: Testo , mio_cg.m , pacchetto funzioni 2D prof. Ruggeri (su virtuale)

Appelli:


Modalità d'esame:

L'esame è costituito da due parti: i) una prova orale sul contenuto del corso, ii) la presentazione di un articolo scientifico di approfondimento/avanzamento dei contenuti del corso, deciso insieme ai docenti. La presentazione può includere aspetti computazionali, ma non è obbligatorio.

Articoli scientifici per l'esame :



Modulo NLA:
Harmonic Ritz values , Paige, Parlett e van der Vorst
MINRES Convergenza superlineare di MINRES e qualche stima (cita altre fonti)
Peaks and plateaux Cullum e Greenbaum (fino a sezione 4 esclusa)
LUinc Esistenza di LU incomplete
Costante di Crouzeix e suoi sviluppi per l'analisi di ||p(A)||
E1 E2. Discussione su stime di GMRES.




Informazioni utili: