Calcolo delle Variazioni II




         Laurea Specialistica in Matematica - A.A. 2006/2007


      IMPORTANTE: gli studenti interessati a seguire il corso sono invitati a contattare la docente per e-mail all'indirizzo: tesi@dm.unibo.it


      Introduzione:

L'omogenizzazione 'e una teoria matematica che si propone di stabilire il comportamento macroscopico di un sistema "microscopicamente" eterogeneo, al fine di descrivere alcune caratteristiche rilevanti del mezzo eterogeneo (per esempio la sua conduttivita' elettrica o termica). Il che significa che un materiale eterogeneo e' sostituito da un materiale fittizio omogeneo (il materiale "omogenizzato") le cui caretteristiche globali sono una buona approssimazione di quelle del materiale originale. Dal punto di vista matematico questo significa essenzialmente che le soluzioni di una famiglia di problemi che dipendono da un parametro 'piccolo' (problemi con valori al contorno assegnati, minimi di opportuni funzionali), convergono in un qualche senso, al tendere del parametro a zero, ad un problema "omogenizzato" indipendente dal parametro (problema con valori al contorno assegnati, minimi di un opportuno funzionale).

La Gamma-convergenza e' un tipo di convergenza variazionale che serve per descrivere il comportamento asintotico di famiglie di problemi di minimo. E' uno strumento molto potente e flessibile ampiamente usato in Calcolo delle Variazioni e nella teoria delle PDE (Partial Differential Equations), e in particolare nella teoria dell'omogenizzazione. Viene anche utilizzato in altri campi, tipicamente nelle situazioni in cui interviene un limite variazionale oppure si ha a che fare con un processo di approssimazione (per esempio nella formalizzazione del passaggio da sistemi discreti a teorie nel continuo, nella modellizzazione di film sottili o di piatti, nella descrizione di materiali compositi non lineari etc etc).

Il corso ha lo scopo di descrivere le principali caratteristiche delle nozioni sopra descritte insistendo su diverse applicazioni, non necessariamente ristrette al campo del Calcolo delle Variazioni. Si intende anche dare una introduzione (semplificata) ad alcuni soggetti di ricerca attiva.


      Obbiettivi formativi:

Introduzione alla teoria dell'omogenizzazione e panoramica su alcune delle principali tecniche in essa usate.
In particolare, introduzione alla teoria della Gamma-convergenza e degli spazi di Sobolev pesati.
Scopo del corso e' fornire gli strumenti matematici adeguati per la comprensione di qualche pubblicazione scientifica recente sull'argomento.


      Programma:

Convergenza debole e debole-star negli spazi di Banach.
Alcune classi di spazi di Sobolev con e senza peso.
Alcuni problemi variazionali di tipo ellittico.
Omogenizzazione di equazioni ellittiche.
Breve introduzione alla Gamma-convergenza.
Caratterizzazione della Gamma-convergenza per problemi integrali 1D.
Applicazione ad alcuni problemi di omogenizzazione.


      Prerequisiti:

Analisi Matematica I, II, III, IV.
Istituzioni di Analisi Superiore I.
NOTA BENE: in presente corso NON e' legato nei contenuti al corso di Calcolo delle Variazioni I.


      Testi:

Doina Cioranescu and Patrizia Donato,
An Introduction to Homogenization, Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, 1999.

Andrea Braides,
Gamma-Convergence for Beginners , Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, 2002.

Baldi, A.; Tesi, M. C.
A Gamma-convergence Approach to Non-Periodic Homogenization of Strongly Anisotropic Functionals.
M3AS, volume 14, pages 1735-1759, december 2004. (paper in pdf format m3as.pdf)