Calcolo delle Variazioni II
Laurea Specialistica in Matematica - A.A. 2006/2007
IMPORTANTE: gli studenti interessati a seguire
il corso sono invitati a contattare la docente per e-mail
all'indirizzo: tesi@dm.unibo.it
Introduzione:
L'omogenizzazione 'e una teoria matematica che si propone di stabilire il
comportamento macroscopico di un sistema "microscopicamente" eterogeneo,
al fine di descrivere alcune caratteristiche rilevanti del mezzo eterogeneo
(per esempio la sua conduttivita' elettrica o termica). Il che significa che un
materiale eterogeneo e' sostituito da un materiale fittizio omogeneo
(il materiale "omogenizzato") le cui caretteristiche globali sono una
buona approssimazione di quelle del materiale originale.
Dal punto di vista matematico questo significa essenzialmente che le
soluzioni di una famiglia di problemi che dipendono
da un parametro 'piccolo' (problemi con valori al contorno assegnati,
minimi di opportuni funzionali), convergono in un qualche senso,
al tendere del parametro a zero, ad un problema
"omogenizzato" indipendente dal parametro (problema con valori al
contorno assegnati, minimi di un opportuno funzionale).
La Gamma-convergenza e' un tipo di convergenza variazionale che
serve per descrivere il comportamento asintotico di famiglie di
problemi di minimo. E' uno strumento molto potente e flessibile
ampiamente usato in Calcolo delle Variazioni e nella teoria delle PDE (Partial
Differential Equations), e in particolare nella teoria dell'omogenizzazione.
Viene anche utilizzato in altri campi, tipicamente nelle situazioni
in cui interviene un limite variazionale oppure si ha a che fare con un
processo di approssimazione (per esempio nella formalizzazione del
passaggio da sistemi discreti a teorie nel continuo, nella modellizzazione
di film sottili o di piatti, nella descrizione di materiali
compositi non lineari etc etc).
Il corso ha lo scopo di descrivere le principali caratteristiche delle nozioni
sopra descritte insistendo su diverse applicazioni, non necessariamente
ristrette al campo del Calcolo delle Variazioni. Si intende anche dare una
introduzione (semplificata) ad alcuni soggetti di ricerca attiva.