LI - Massimi, minimi e minimax: dai metodi sintetici alle sorgenti del calcolo infinitesimale

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Nelle scienze pure, nelle scienze applicate, nella vita di tutti i giorni ci si trova continuamente di fronte a question di massimo e di minimo, di ''ottimo'' e di ''pessimo''. Per esempio:

- sopra una superficie, piana o curva, qual'e' il percorso minimo fra due punti?

- in un mezzo trasparente, omogeneo o non omogeneo, quale traiettoria segue un raggio luminoso per passare da un punto A a un punto B, assumendo il principio generale dell'ottica geometrica secondo il quale, fra tutti i percorsi possibili,  la luce sceglie quello che minimzza il tempo di percorrenza?

- quali dimensioni deve avere un barattolo cilindrico affinche', a parita' della quantita'  di  materiale usato, abbia capacita' massima?

-  fra tutti i poligoni con un fissato numero di lati e di assegnato perimetro, qual'e' quello di area massima?

- fra tutte le regioni piane di assegnato perimetro, qual'e quellla di area massima? - nel getto del peso, quale inclinazione si deve imprimere alla spinta inziale affinche' l'attrezzo cada
alla maggior distanza possibile?

Problemi di massimo e di minimo quali quelli isoperimetrici o dell'ottica geometrica elencati qui sopra, furono gia' studiati dagli antichi Greci. Un Teoremo di Erone caratterizza la traiettori di un raggio luminoso riflesso da uno specchio piano e stabilisce il principio secondo il quale l'angolo di incidenza e quello di riflessione sono uguali fra loro.. La dimostrazione del Teorema di Erone usa esclusivamente la Geometria Euclidea, e puo' venire imitata e generalizzata, come vedremo, per risolvere vari altri problemi isoperimetrici o dell'ottica geometrica.
A partire dal XVII secolo, la teoria generale dei valori estremi (massimi e minimi) e' divenuta uno dei principi sistematici fondamentali della Scienza. I primi passi di Fermat nel suo calcolo differenziale furono suggeriti dal
desiderio di studiare con metodi generali le questioni di massimo e di minimo Il programma del Laboratorio vertera' precisamente sui seguenti argomenti

a) Problemi isoperimetrici e problemi dell'ottica geometrica
trattati con i metodi sintetici della geometria euclidea, e successivamente con metodi analitici.

b) Estremizzazioni delle funzioni polinomiali reali : definizione ''algebrica'' del polinomio derivato e sua applicazione a problemi di massimo e  di minimo: il metodo di Fermat.

c) Estensione del metodo di Fermat ad alcune funzioni razionali : appicazione ai  problemi della riflessione e della  rifrazione.

PREREQUISITI RICHIESTI. Nozioni  di base della Geometria Euclidea, della trigonometria, e della teoria dei polinomi

MODALITA' DI SVOLGIMENTO. Il Laboratorio verra' svolto dapprima mediante lezioni frontali. Successivamente verranno proposti agli studenti   problemi di massimo, di minimo,   di minimo-massimo e di massimo-minimo, tratti dalla geometria, dall'analisi e da alcune scienze applicate. I problemi proposti si potranno risolvere coi metodi sintetici e analitici introdotti ed illustrati in precedenza.

Orario

LUN 28 gennaio – MER 30 gennaio – VEN 1 febbraio

pomeriggio, Aula Pincherle