Simmetrie, rotazioni, trecce: alla scoperta dei gruppi

Dati due triangoli congruenti nel piano cartesiano, sapreste descrivere ed implementare in geogebra la trasformazione geometrica che porta l'uno a sovrapporsi all'altro? Riflettendo su questo problema, emergeranno alcuni concetti molto significativi, che inizieremo ad assimilare meglio studiando concretamente i movimenti rigidi che fissano un poligono regolare. Affronteremo successivamente alcuni problemi nell'ambito, apparentemente lontano, dell'aritmetica: meravigliandoci di scoprire che i concetti introdotti in ambito geometrico potranno gettar luce anche su questi. Prenderà così corpo sotto i nostri occhi una struttura fondamentale, detta di gruppo, che prometterà di aiutarci a capire aspetti importanti di problemi molto diversi tra loro. Inizieremo anche a cercare relazioni tra gruppi distinti: ci accosteremo, in particolare, all'idea affascinante che due gruppi, sebbene provenienti da contesti del tutto diversi, possano "funzionare nello stesso modo" e dunque essere essenzialmente "lo stesso gruppo" : così che risultati validi per l'uno, semmai facili da dimostrare o intuire nel suo contesto, valgano anche per l'altro. Faremo, infine, altri esempi di ambiti e problemi al cui fondo si ritrovi la struttura di gruppo, soffermandoci in particolare su un oggetto matematico molto concreto e, al tempo stesso, ricco di affascinanti rimandi: le trecce.

Nel corso vedremo certamente qualche definizione ed alcuni teoremi, ma il suo scopo non è quello di presentare contenuti pienamente formalizzati e rigorosi. Vogliamo, invece, offrirvi una prima presa di contatto concreta ed intuitiva con alcuni fondamentali concetti e, più ancora, darvi un'idea viva di un aspetto importante e, crediamo, affascinante del modo di pensare dei matematici. Gli incontri avranno perciò carattere laboratoriale: si svilupperanno attorno a problemi a cui lavorerete perlopiù in gruppo e mettendo sempre concretamente le mani, con l'aiuto di geogebra e di opportuni modellini, negli oggetti di volta in volta considerati.

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