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Seminario del 2018
2018
17 maggio
Carlo Sinestrari
nell'ambito della serie: SEMINARI DI ANALISI MATEMATICA BRUNO PINI
Seminario di analisi matematica
Nel 2009, Caffarelli, Roquejoffre e Savin hanno introdotto una nozione non
locale di perimetro di insiemi, detto perimetro frazionario. Dalla
variazione prima del perimetro si ottiene la curvatura media frazionaria
di un insieme, che è definita da un operatore integrale con nucleo
singolare. Da allora, vari autori hanno studiato queste nozioni, ottenendo
ad esempio proprietà di regolarità per superfici minime non locali,
esistenza di superfici di tipo Delaunay a curvatura frazionaria costante,
e disuguaglianze isoperimetriche.
Più recentemente, è stato considerato il moto di superfici secondo la
curvatura media frazionaria, che è il flusso gradiente del perimetro non
locale, ottenendo risultati di esistenza e unicità per soluzioni deboli e
proprietà di invarianza. Dopo aver richiamato queste proprietà, ci
soffermeremo su un risultato in collaborazione con E. Cinti ed E.
Valdinoci, che dimostra l'esistenza di superfici che sviluppano
singolarità di tipo "collo di bottiglia" (neckpinch). E' interessante
notare che, come conseguenza della natura non locale della curvatura
frazionaria, tali singolarità si sviluppano in qualunque dimensione,
inclusa quella orrispondente al caso di curve nel piano. In questo aspetto
l'evoluzione si differenzia da quella classica, dove le curve si
contraggono a un punto senza sviluppare singolarità in base al teorema di
Grayson.