Archivio 2008

Viene introdotta la classe dei gruppi di riflessioni proiettivi, la quale generalizza la nozione di gruppo generato da riflessioni. Si mostra come diversi aspetti riguardanti la combinatoria e la teoria delle rappresentazioni dei gruppi di riflessioni complessi trovano una descrizione naturale in questo contesto pi� generale.

Si discutono alcune proprietà degli spazi poliedrali, introdotti da Klee, e si discutono alcuni aspetti isomorfi di tali spazi (partendo dal recente lavoro di Fonf-Vesely).

We prove optimal interior regularity for solutions to the obstacle problem for a class of second order differential operators of Kolmogorov type. We treat smooth obstacles as well as non-smooth obstacles. All our proofs follow the same line of thought and are based on blow-ups, compactness, barriers and arguments by contradiction. This problem arises in financial mathematics, when considering path-dependent derivative contracts with the early exercise feature

The geometrical structure of space has always fascinated people, and Gauss was perhaps the first to try to settle this experimentally. Since then it has been the big open problem in fundamental physics. In this talk we examine the hypothesis of Volovich that space time is p-adic at the Planck scale. That spacetime geometry could be based on a p-adic or even a finite field seems to have been suggested first in the 1950's. Enrico Beltrametti and his collaborators (Cassinelli and Blasi) in the late 1960's and early 1970's were among the earliest in exploring this line of thought. Igor Volovich formulated his hypothesis in 1987.

Years ago representation theory was a very specialized field, and very few non-specialists had much interest in it. This situation has changed profoundly in recent times. Due to the efforts of people like Gelfand, Harish-Chandra, Lang- lands, Witten, and others, it has come to occupy a central place in contemporary mathematics and theoretical physics. This talk takes a brief look at the myriad ways that representations of groups enters mathematics and physics. It turns out that the evolution of this subject is tied up with the evolution of the concept of space itself and the classifi cation of the groups of symmetries of space. This talk takes a brief look at the myriad ways that representations of groups enters mathematics and physics. It turns out that the evolution of this subject is tied up with the evolution of the concept of space itself and the classification of the groups of symmetries of space.

It is remarkable that Euler, who preceded Gauss and Riemann, is still very much with us. The ramifications of his work are still not exhausted, three hundred years after his birth. In number theory,in algebraic geometry,in topology,in the calculus of variations, and in analysis, both conceptual and numerical, not to mention mechanics of particles and solid bodies, astronomy, hydrodynamics, and other applied areas, the ideas that he generated are still motivating mathematicians. In this talk, which will require no specialized background, I shall focus on his pioneering work in the theory of summability of divergent series, which was the precursor to the entire modern theory of divergent series and integrals.

We consider a model of non-isothermal phase separationtaking place in a confined container. The order parameter is governed by a viscous or nonviscous Cahn-Hilliard type equation which is coupled with a heat equation for the temperature . The former is subject to a nonlinear dynamic boundary condition recently proposed by physicists to account for interactions with the walls, while the latter is endowed with a standard (Dirichlet, Neumann or Robin) boundary condition. We analyze issues like well-posedness and the asymptotic behavior of the solutions within the theory of infinite-dimensional dynamical systems (that is, global and exponential attractors and their stability with respect to some physical parameters). We also intend to present results about convergence to equilibria.

Nella prima parte del seminario verra` richiamata la nozione di signature per un sistema binario e coerente S e verra` mostrato che, in problemi di affidabilita`, essa ha un ruolo determinante nel caso di componenti con tempi di vita scambiabili. Approfondendo l'analisi del ruolo dell'ipotesi di scambiabilita`, si mettera` in luce l'interesse di varie possibili condizioni di simmetria per il sistema, ottenute generalizzando la scambiabilita` dei tempi di vita. Nella seconda parte del seminario, verra` quindi presentata una discussione circa il significato della signature in casi di non scambiabilita` e circa le connessioni con insolite questioni algebriche inerenti gruppi di permutazione. Parte della discussione verte su un'attivita` di collaborazione in corso con Jorge Navarro (Universidad de Murcia).

Most conventional time integrators (ODE solvers) in linear spaces are constructed by using a clever combination of essentially two primitive operations (i) Evaluating the ODE vector field (ii) Taking linear combinations of such derivative evaluations. Of course we must allow for the computation of the vector field at "unknown points" thus leading to implicit schemes. But in this way we can recover Runge-Kutta-, multistep-, collocation-, projection- and general linear methods as well as many other types of schemes. Suppose that we replace the linear space by a manifold. Then it is no longer possible to take linear combinations of the vector field at different points, since they are now tangent vectors which belong to different spaces. One way of seeing Lie group integrators is a way to generalize the two primitive building blocks in such a way that the "same methods" work also on manifolds. In this talk, we shall give a first introduction to Lie group integrators. We begin by presenting a few examples where the methods have shown a good potential. Secondly, we explain the right setting for these integrators, using the language of group actions on a manifold. Trying to generalize conventional methods, one immediately runs into many challenges, we will explain some of them. Many problems have been solved in the last decade, but there are still open problems. We will discuss both.

Cocycle deformations of Hopf algebras are noncommutative analogues (in the sense of Connes's noncommutative geometry) of principal fiber bundles. I will show how to extend the classical theory of polynomial identities to these objects and how to use these extended identities to construct versal families of deformations of quantum principal fiber bundles (joint work with Eli Aljadeff).

Questo seminario, di carattere generale, sara' una carrellata su una serie di problematiche apparentemente scollegate ma tutte riconducibili allo studio di rappresentazioni di gruppi come isometrie di spazi iperbolici. In particolare si cercheranno di evidenziare i legami tra lo spazio di Teichmuller, la geometria iperbolica in dimensione tre ed alcuni problemi di teoria geometrica dei gruppi.

Schubert varieties have been introduced in the 19th century to solve problems in enumerative geometry. These well-known varieties are indexed by permutations and many of their properties can be expressed combinatorially in terms of permutations. As a further example of this interplay between geometry and combinatorics, a solution of a long open problem will be presented, namely the determination of the singular locus of a Schubert variety.

Vengono studiati alcuni aspetti della teoria degli invarianti diagonali dei gruppi finiti generati da riflessioni. Tale studio permette di dimostrare l'esistenza di una estensione multivariata della corrispondenza di Robinson-Schensted e fornisce un algoritmo puramente combinatorico per decomporre il prodotto tensoriale di rappresentazioni irriducibili del gruppo simmetrico.

Il termine "quantizzazione" in matematica ha assunto significati molto diversi tra loro. Ultimamente sono in corso alcuni tentativi per cercare di stabilire legami piu' precisi tra i vari approcci alla quantizzazione. In particolare un progetto di Weinstein risalente ai primi anni '90 cercava di stabilire un ponte fra quantizzazione per deformazione (stretta) e quantizzazione geometrica. Ci si propone di spiegare come questo programma possa essere aggiornato alla luce delle nuove conoscenze sulla integrazione simplettica di varieta' di Poisson ponendo l'enfasi su alcuni esempi concreti di spazi omogenei di Poisson.

Basic phenomenology of human color vision has been widely taken as an inspiration to devise explicit color correction algorithms. The behavior of these models in terms of significative image features (such as, e.g., contrast and dispersion) can be difficult to characterize. To cope with this, we propose to use a variational formulation of color contrast enhancement that is inspired by the basic phenomenology of color perception. In particular, we devise a set of basic requirements to be fulfilled by an energy to be considered as `perceptually inspired', showing that there is an explicit class of functionals satisfying all of them. We single out three explicit functionals that we consider of basic interest, showing similarities and differences with existing models. The minima of such functionals is computed using a gradient descent approach. We also present a general methodology to reduce the computational cost of the algorithms under analysis from ${cal O}(N2)$ to ${cal O}(Nlog N)$, being $N$ the number of input pixels.

In questo lavoro consideriamo un modello semplificato della circolazione atmosferica delle medie latitudini, che possiamo considerare come modello minimale del clima terrestre. Il modello adotta una versione semplificata delle equazioni della fluidodinamica in sistema di riferimento non inerziale, chiamate equazioni quasi-geostrofiche, adatte alla descrizione dei fenomeni atmosferici aventi scale spaziali superiori a circa 1000 Km e scale temporali superiori a circa un giorno, come i cicloni extratropicali. Il sistema in esame e' forzato e dissipativo, dove il forcing (baroclino) e' dato dalla differenza T di temperatura imposta fra equatore e polo, mentre i processi viscosi dissipano energia e momento alla superficie. Al crescere del parametro che controlla il forcing, il sistema passa, attraverso una sequenza di biforcazioni, da avere un equilibro stabile a "vivere" in un attrattore strano. Studiamo le proprieta' della misura invariante del sistema in funzione del parametro di forcing T, ottenendo che il valore dell'entropia metrica, della dimensione di Kaplan-Yorke, e del volume della bounding box dell'attrattore (il minimo parallelepipedo nello spazio delle fasi che lo contiene) obbediscono a power-law scalings rispetto a T. Analoghi risultati si ottengono quando si vanno a considerare alcuni osservabili fisici del sistema, quali l'energia totale ed il vento medio. Le leggi di scaling potrebbero essere d'aiuto per migliorare la comprensione della circolazione globale dell'atmosfera, ancora oggi oggetto di intenso studio a livello fondamentale.

Il Seminario Si terr

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In this lecture I will introduce the notion of hypermap~: a pair of permutations representing the embedding of graphs on surfaces. A nice bijection, due to Ossona de Mendez and Rosenstiehl, showing a coding of hypermaps by connected permutations, will be presented. This will be used to give the structure of a family of polynomials in two variables defined by weighted Dyck paths and whose coefficients are related to Stirling numbers.

There are many algorithms for minimization when the objective function is differentiable or convex, but few options when it is neither. We describe two simple algorithmic approaches for minimization of nonsmooth, nonconvex objectives: BFGS (a new look at an old method), and Gradient Sampling (a method that, although computationally intensive, has a nice convergence theory, which we will describe). Both methods require the user to provide a routine that computes the function value and, if it exists, the gradient at a given point,the idea being that the function is virtually never evaluated at a point where it is not differentiable, even though it is typically not differentiable at local optimizers. Applications abound in engineering, particularly control.

La normale orizzontale delle ipersuperfici H-regolari nel gruppo di Heisenberg è stata studiata attraverso equazioni differenziali non lineari. Studieremo alcune proprietà delle superfici H-regolari utilizzando risultati noti per una certa classe di PDE, le leggi di conservazione.

Recenti studi sulle proprietà intrinseche di ipersuperfici nel gruppo di Heisenberg, spazio metrico dotato della struttura cosiddetta subRiemanniana, hanno portato ad introdurre diverse nozioni di grafico di una funzione, che sono state essere utilizzate per affrontare il problema delle superfici minime. Ci soffermeremo, in particolare, sui cosiddetti t-grafici e X-grafici, e mostreremo come t e X grafici minimi debbano essere localmente limitati.

Il problema di produrre metriche a curvatura costante su varieta' kahleriane (in particolare algebriche) e' uno dei piu' classici della geometria complessa. In questo seminario verrà esposto brevemente lo stato dell 'arte prima del lavoro di Perelman sul flusso di Ricci, e come questo abbia condotto a nuovi fondamentali risultati. Tempo permettendo, si mostrerà come alcuni problemi aperti legati alla congettura di Tian-Yau-Donaldson, siano ora attaccabili.

ABSTRACT. In questo seminario, presenteremo i recenti progressi ottenuti con Alberto Bressan sull'esistenza di controlli quasi ottimali in forma di feedback. Dato un generico problema di ottimizzazione per un sistema di equazioni ordinarie x'=f(x,u), in generale non ci si puo' aspettare di trovare controlli quasi ottimali che siano continui. Si deve quindi introdurre un'opportuna classe di controlli discontinui U(x) tali che il costo corrispondente sia vicino a quello ottimale e, allo stesso tempo, tali che il sistema di equazioni differenziali continui ad ammettere soluzione. Mostreremo come il problema possa essere risolto in termini di controlli "patchy", una particolare classe di controlli costanti a tratti, e confronteremo il risultato con altri presenti in letteratura.

The Whitney algebra is the analog for a matroid of the exterior algebra of a vector space. In this talk we describe the construction of the Whitney algebra and investigate its basic properties. In particular, we show that it is a universal object with respect to vector representations of a matroid. This is joint work with Henry Crapo.